第３５卷第５期 江西理工 大学学报 Ｖｏ１．３５，Ｎｏ．５ ２０１４年１０月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｃｔ． ２０１４ 文章编号：２０９５—３０４６（２０１４）０５—００８５—０６ ＤＯＩ：１０．１３２６５￣．ｃｎｋｉ．ｊｘｌｇｄｘｘｂ．２０１４．０５．０１６ 功率放大器非线性特性及预失真建模研究 王金友，金巧，孙汉 （江西理工大学信息工程学院，江西赣州３４１０００） 摘 要：论文针对功率放大器的非线性失真问题，分别以无记忆功率放大器和有记忆功率放大器 输入／输出数据为基础，通过对给定数据进行拟合处理，建立了放大器的非线性多项式数学模型， 并采用归一化均方误差、误差矢量幅度衡量模型的效果．针对放大器的非线性特性．采用前向串 级补偿方法，得到预失真处理器的数学模型，对系统进行输入输出模拟，得到补偿后的系统输入／ 输出效果．最后针对信道干扰问题，通过相邻信道功率比的指标来评价所建模型对相邻信道的干 扰程度分析． 关键词：功率放大器；多项式传输模型；线性最小二乘拟合；线性化；预失真补偿 中图分类号：ＴＮ９１４ 文献标志码：Ａ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｐｒｅｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｐｏｗｅｒ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ＷＡＮＧ Ｊｉｎｙｏｕ，ＪＩＮ Ｑｉａｏ，ＳＵＮ Ｈａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇａｎｚｈｏｕ ３４１０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｗｅｒ ａｍｐｌｉｉｆｅｒ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔ／ｏｕｔｐｕｔ ｄａｔａ ｏｆ ｍｅｍｏｒｙｌｅｓｓ ｐｏｗｅｒ ａｍｐｌｉｉｆｅｒ ａｎｄ ｍｅｍｏｒｙ ｐｏｗｅｒ ａｍｐｌｉｉｆｅｒ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ａｍｐｌｉｉｆｅｒ ｂｙ ｆｉｔｔｉｎｇ ｔｈｅ ｄａｔａ ｔｏ ａ ｇｉｖｅｎ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ａｎｄ ｕｓｉｎｇ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｍｅａｎ ｓｑｕａｒｅ ｅｒｒｏｒ，ｅｒｒｏｒ ｖｅｃｔｏｒ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｔｏ ｍｅａｓｕｒｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅ１．Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｍｐｌｉｆｉｅｒ，ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｐｕｔｓ ｆｏｒｗａｒｄ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｐｒｅ－ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｒｗａｒｄ ｃａｓｃａｄｅ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｅｓ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔ ａｎｄ ｏｕｔｐｕｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔ／ｏｕｔｐｕｔ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｄ ｓｙｓｔｅｍ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ ｐｒｏｂｌｅｍ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｅｖａｌｕａｔｅｓ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ａｄｊａｃｅｎｔ ｃｈａｎｎｅｌ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｄｊａｃｅｎｔ ｃｈａｎｎｅｌ ｐｏｗｅｒ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｏｗｅｒ ａｍｐｌｉｉｆｅｒ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌ；ｌｉｎｅａｒ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｆｉｔｔｉｎｇ；ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ； ｐｒｅｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ 的发展具有重要的现实意义．信号的功率放大是 ０ 引 嗣 电子通信系统的关键功能之一。其实现模块称为功 率放大器（ＰＡ，Ｐｏｗｅｒ Ａｍｐｌｉｉｆｅｒ），简称功放．功放输 功率放大器是通信系统的重要部件之一。对于 出信号相对于输入信号可能产生非线性变形，这将 远距离通信具有非常重要的作用．放大器的特性 带来无益的干扰信号，影响信息的正确传递和接 对信号的传输质量具有较大影响，研究如何消除放 收，此现象称之为非线性失真．传统电路设计上。可 大器的非线性影响，使信号可靠传输，对通信技术 通过降低输出功率的方式减轻非线性失真效应． 收稿日期：２０１４—０５—０５ 作者简介：王金友（１９８８一），男，硕士研究生，主要从事无线传输等方面的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｈｚｗｊｙ１＠ｑｑ．ｃｏｎ． 第３５卷第５期 王金友，等：功率放大器非线性特性及预失真建模研究８７ 表１线性拟合系数 表２拟合效果及评价指标统计表 ２．５ ２．０ １．５ １．ｏ 船 Ｏ．５ Ｏ ０ ０．２ ０．４ ０．６ ０．８ １．０ １．２ １．４ 从表３中看出。拟合度指标尺 随 的增加而 输入幅度Ｉｘ（ｎ）『 增加，当Ｋ＝４时， 再增加，拟合度几乎不变，此时 图２ ４阶模型和实际模型输入，输出幅度散点图 的误差不到百分之一；归一化均方差ＮＭＳＥ和误差 ４．２无记忆功率大器预失真处理模型 表３拟合效果及评价指标统计表 问题一中要求根据线性化原则以及“输出幅度 ”和“功率最大化”约束［３１，利用数据文件１给出 的某功放无记忆效应的输入一输出测试数据来建立 预失真模型．预失真技术是指在功率放大器的前端 构造一个同其特性相反的预失真器。从而抵消功放 的非线性失真。实现整个系统的线性化．预失真线性 矢量幅度ＥＶＭ随Ｋ的增加而减小．不同阶次的模 化原理框图如图３所示．其实现机理如图４所示． 型对实测值的拟合程度不同，随着拟合模型阶次Ｋ 值的增加，拟合程度也随之增加，６阶模型拟合程 度最好．但为了计算的简便和模型的实用性，选择 ４阶模型对功率放大器进行识别，识别模型为： ４ （ｎ）＝ ｈｋｘ （ｎ） （３） 怛： 冲 ２．９１ｌ １５２４－０．０５８９２７３８ｉ 图３预失真线性化原理框图 其中ｈ＝ ０．３０３５６２６—０．３６４２６１５６ｉ ０．５０７７４１２＋０．１７４５１８３３ 在图３中， （ｔ）和 （ｔ）的含义如问题一中所 ０．０４８７２５４—０．２２４７５６６０ 述，），（￡）为预失真器的输出．功放输入一输出传输特 ４阶模型拟合效果图如图２所示． 性为Ｇ（・），预失真器特性为Ｆ（・），则预失真处理 江西理工大学学报 ／ 一， ／ ／ ／ ／ ２０１４年１０月 （２．９１ １－０．０５８９ｉ）ｙ＋（０．３０３６—０．３６４３ｉ）ｙ２＋ （Ｏ．５０７７＋０．１７４５ｉ） ＋（０．０４８７—０．２２４８ｉ）ｙ４＝ｐｘ 带预失 对于方程ｈ，ｙ＋ｈｚｙ％ｈ３ｙ３＋ｈ４ｙ４＝ｐｘ，有４个可行 预失真特性葫 Ｉ ／／ 真的放 解，再根据放大器的输入幅值和功率最大的原 则选择一个可行解． 通过对放大器的输入／输出特性统计，得到放 大器的期望放大系数为２．９６１２，取ｐ＝２．９６１２，绘制 预失真处理输入／输出关系散点图如图５所示． 婢 １ ｌ。 ／ 大器特性 ／ 放一大 器特性 归一化输入幅度 图４预失真技术实现机理 一 Ｓ 原理可表示为： （ｆ）＝Ｇ（ｙ（ｔ））：Ｇ（Ｆ（ （ｆ）））： Ｇ。Ｆ（ｘ（ｔ））＝ （ （￡）） （４） ｉ鹫 鉴 司 锯 黯 剐 Ｇ。 Ｌ表示为Ｇ（・）和Ｆ（・）的复合函数等于 （・）．线性化则要求： ｚ（￡）＝ （ｘ（ｔ））＝ｇ・ｘ（ｔ） （５） 式（５）中常数ｇ是功放的理想“幅度放大倍数”（ｇ＞ １）．因此，若功放特性Ｇ（・）已知，则预失真技术的 核心是寻找预失真器的特性Ｆ（・），使得它们复合 后能满足： （Ｇ。，）（ （ｔ））＝ （ｘ（ｔ））：ｇ・ｘ（ｔ） （６） 系统输入幅值Ｉ （ ）Ｊ 图５ 系统预失真处理器输入，输出幅值关系散点图 从图６中可以看出，系统在功率放大器的输出 幅度范围内几乎为理想线性．其归一化均方差 ＮＭＳＥ为一１２．４８９０９５３，误差矢量幅度ＥＶＭ值为 ２３．７４３５％，预失真模型建立的较为理想． 如果测得功放的输入和输出信号值，就能拟 合功放的特性函数Ｇ（・），然后利用式（６）可以求 得Ｆ（・）．在功放的特性Ｇ（・）已知条件下，求解方 程（６）是一类特殊的函数方程，求解的理论方法因 具体问题而定，而工程上常采取数值计算，用最小化 目标误差函数的方法，求得近似的Ｆ（・）．目标误差 函数的选取和判断准则因建模方法而异。总体原则 ２． ２． 是使预失真和功放的联合模型呈线性后误差最小． 对于无记忆功率放大器的非线性模型： ４ 皇 １． 趔 丑 ｚ（凡）：２ｌ一 （ｎ） ｋ＝１ （７） 镰１． 当输入系统预失真处理模块输入为 （ｎ）时， 输出为ｙ（ｎ）；ｙ（ｎ）再输入到功率放大器上得到放 ０． 大器的输出方程为： ４ （ ）＝ ｋ＝１ （凡） （８） 系统输入幅值Ｉ （ｎ）ｌ 图６ 系统带预失真处理器的输入，输出幅值关系散点图 由于预失真处理后，整个系统输出呈线性，即 。（ ） ・ｘ（ｎ），其中Ｐ为放大系数．所以有： ４ ４．３问题二的模型建立与求解 （９） ｚ（ｎ）＝ ＝１。 （ ） ・ｘ（ｎ） ４ ４－３．１ 有记忆功率放大器输入／输出特性及其传输 特性模型 所以Ｆ（・）为隐函数∑ｈｋｙ￣（ｎ）＝ｐ． ｎ）的方程： 问题二中要求根据数据文件２给出某功放有 记忆效应的输入一输出测试数据，建立此功放的有 第３５卷第５期 王金友，等：功率放大器非线性特性及预失真建模研究８９ 记忆的非线性特性的数学模型，并用ＮＭＳＥ评价所 建模型的准确度． 具有记忆效应的功放模型主要有Ｖｏｌｔｅｒｒａ级 数模型、Ｗｉｅｎｅｒ模型、Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ模型和记忆多 项式模型等 ．虽然Ｖｏｌｔｅｒｒａ级数针对记忆非线性 系统具有强大的建模能力，但其项数非常多，复杂 度高，不易于实现，因此采用记忆多项式模型．记 忆多项式模型可以看作Ｖｏｈｅｒｒａ模型和无记忆多 项式模型的一种折中，它在捕捉记忆效应的同时。 有效减少系数数量．根据问题一，对式（１）增加记 忆效应，可以写为： ＾ Ｍ （ｎ）＝ ｈｋｍＸ （ｎ－ｍ）＝ｈｌｏｘ（ｎ）＋ｈ１１ｘ（ｎ—１）＋… １ ｋ＝１ｍ＝０ （ｎ・ ） （凡） ２ｌ （ 一１）＋… （ｎ— ）＋… ｏＸ （ ）＋ １ （ 一１）＋…＋ｈｋ￣ｏｃ （ｎ—Ｍ） ｎ＝０，１，２，…，Ｎ （１０） 式（１０）中 表示记忆深度， 表示非线性阶数，诸 为系数．由于常用复值输入一输出信号，式（１０） 也可表示为便于计算的“和记忆多项式”模型： ｚ ｎ）：∑∑ （ｎ—ｍ）Ｉｘ（几一ｍ） ｋ＝１ ｍ：０ ｎ＝０，１，２，…，Ｎ （１１） 与问题一类似，根据功放的有记忆效应的复输 入一输出测试数据，使用非线性最小二乘拟合法ｌ７ 拟合式（１１），通过Ｍａｔｌａｂ编程求解． 根据表３分析拟合度衡量指标 、归一化均 方差ＮＭＳＥ和误差矢量幅度ＥＶＭ的值随Ｋ、Ｍ自 增变化的情况．得出当Ｋ＝５，Ｍ＝３时，拟合度衡量 指标尺 、归一化均方差ＮＭＳＥ和误差矢量幅度 ＥＶＭ的值均发生跳变，选取这组数据拟合有记忆 的功放模型．对应求出系数矩阵为： 日＝『ｈｌ ｈ２ ３］＝ －７．２２７４＋４．３５６４ｉ １ ３．３０６－６．０４９７ ３．６２４９＋１．５９８ｉ －０．０６６－０．０３６７ｉ ０．１ ３０８＋ｏ．０６９８ｉ－０．０７ １ ３－０．０３６２／ ０．０１３７＋０．０５０１ｉ一０．０１４１—０．０９１４ｉ ０．００１＋０．４６６ ０．０１３３＿一Ｄ．０４８９ 一Ｏ．０６６５＋０．０６３３ｉ ０．０７１７＋０．００２１ －０．００４＋０．０４７７ｉ ０．０３７２－０．０８４７ －０．０２５８＋０．０６４１ 通常情况下，功率放大器输出信号中只有奇次 阶的互调才会落在基波信号附近，偶次阶的互调都 落在远离基波的位置，即带内失真主要受奇次互调 的影响，而奇次互调只能由奇次方项式产生．对日 矩阵进行化简只取奇次阶项， ， ＝【ｈ】ｈ２ ３］＝ 一７．２２７４＋４．３５６４ ｌ３．３０６—６．０４９７ ３．６２４９＋１．５９８ ０ ０ ０ ０．０１３７＋０．０５０１ 一０．０１４１—０．０９１４ ０．００１＋０．４６６ｉ ０ Ｏ ０ —０．００４＋０．０４７７ ０．０３７２—０．０８４７ 一０．０２５８＋０．０６４１ｉ 将詹系数矩阵带人式（１１）可计算出有记忆功 放模型输出的模拟值．该模型实测值和模拟值对 应的幅度如图７所示。由图７可知有记忆的功放模 型拟合得很好．输出幅度与实测值保持一致． Ｓ — 罚 输入幅度ｌ （ｎ）ｌ 图７有记忆的功放实测值和模拟值幅度图 根据ＮＭＳＥ评价模型的准确度，如表４所示， 由表４中的各项ＮＭＳＥ值可知，有记忆的功放模型 的建立比较准确． 表４有记忆功放ＮＭＳＥ评价 有记忆功放模型评价项 ＮＭＳＥ值 输出幅度一实测值一模拟值 输出相位一实测值一模拟值 功放输出一实测值一模拟值 ４－３．２有记忆功率大器预失真处理模型 一 一一 根据线性化原则以及“输出幅度”和“功率 强 最大化”约束，以框图的方式建立预失真处理的模 弧 型实现示意图．问题Ａ中已求出记忆功放的多项 式模型Ｇ（・），所要建立的预失真模型也应为有记 忆的多项式预失真模型Ｆ（・）．多项式预失真的实 质是功放模型逆的非线性逼近问题，通过建立原 理框图寻找求解方法，然后计算预失真模型相关 参数． 根据联合特性模型，已知Ｇ（・），此处Ｇ（・）阶 数较高且与其它项相关，因此不能通过直接求解 Ｇ（・）反函数的方法反推Ｆ（・）．根据联合模型理想 输出值 ＝ （ｎ）＝ｐ・ （ ），又已知Ｇ（・），使用编程 Ｍａｔｌａｂ计算可对应求解Ｙ的值． 对于有记忆的预失真模型，要求联合输出尽量 线性化．由Ｇ（・）可知有记忆的功放模型是带有输 入记忆的多项式模型，那么对应的有记忆的预失真 模型即为带有输出记忆的多项式模型． 有记忆的预失真模型特性函数： 江西理工大学学报 １ ２０１４年１０月 来求得功放的特性函数模型，该模型简单，易于实 … 】 ｈ）＝ （１２） ｐ＊ｘ（ｎ）－ （ ｋ＝ｌ … 现，准确度高．能够很好的拟合功率放大器的非线 性特性，对于目前提高器件的灵敏度，降低器件的 交越失真，减少输出信号过零点附近的畸变，更具 ］・ｈ ｎ＝０，１，２，…，Ｎ Ｐ值的计算方法同问题一中类似，Ｐ＝９，９５８８． 已知 （１７，），由以上模型可求有记忆的预失真 模型的输出值，带入有记忆的功率放大器模型可求 出联合模型的输出值．该有记忆的联合模型输出 幅度和理想模型输出幅度关系如图８所示，可知有 记忆的联合模型输出幅度和理想模型输出幅度呈 很好的线性关系，斜率近似为ｌ，有记忆的联合模 型输出幅度接近于理想模型输出幅度值． 理想输出幅度ｌ （ｎ）Ｉ 图８有记忆的联合模型输出幅度和理想模型输出幅度 关系图 用ＮＭＳＥ判断有记忆的联合模型输出值与理 想输出值的近似程度。如表５所示．由表５中的各 项ＮＭＳＥ值可知，有记忆的预失真模型的建立比 较准确，有记忆的联合模型输出值与理想输出值 的很接近． 表５ 无记忆功放联合模型ＮＭＳＥ评价 联合模型评价项 ＮＭＳＥ值 输出幅度一理想值一模拟值 一ｌ８．３２０９ 输出相位一理想值一模拟值 －８．７２６５ 功放输出一理想值一模拟值 —１７－３５１４ 误差矢量幅度ＥＶＭ＝１３．５６５４％．联合模型对 信号的幅度失真程度为１３．５６５４％，失真度较小， 建立的有记忆的多项式预失真模型比较准确． ５模型与现有方法的对比 １）模型的优点．其一，采用无记忆多项式拟合 优势．其二，采用记忆多项式预失真技术能够很好 地兼顾到非线性和记忆效应的补偿，记忆多项式模 型具有鲁棒性好，系数提取方法简单，系数数量相 对较少的优点。经验证该模型很好地满足了相 关指标的评价要求，相对于目前其他的方法， 计算复杂度及预失真效果的控制此方法效果 更明显． ２）模型的缺点．采用的记忆多项式模型系数 估计算法存在复杂度和稳健性差的缺点，到目前为 止，尚未发现一种能够有效兼顾复杂度和稳健性的 估计算法．提取的功率放大器行为模型并不十分 精确拟合被测功率放大器，需要进一步研究新的行 为模型，算法需要优化，进一步提高功率放大器的 线性化能力． ３）模型的改进．文中所采用的记忆预失真模 型为记忆多项式模型，该模型系数数量太大，不利 于工程实现的进一步推广．针对这种方法找到其 自适应的预失真模型，将会使该模型更具工程使用 价值． 参考文献： ［１］Ｄｅｎｎｉｓ Ｒ，Ｍｏｒａｎ，Ｓｅｎｉｏｒ Ｍｅｍｂｅｒ，ｅｔ ａ１．Ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｅｍｏｒｙ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｄｉｇｉｔａｌ ｐｒｅｄｉｓｔｏｒｔｅｒ ｏｆ ＲＦ ｐｏｗｅｒ ａｍｐｌｉｉｆｅ￣［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００６，５４（１０）：３８５２—３８６０． 【２］Ｒａｖｉｖ Ｒａｉｃｈ，Ｈｕａ Ｑｉａｎ，Ｔｏｎｇ Ｚｈｏｕ，ｅｔ ａ１．Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ ｆｏｒ ｐｏｗｅｒ ａｍｐｌｉｉｆｅｒ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ ｐｒｅｄｉｓｔｏｒｔｅｒ ｄｅｓｉｇｎ【Ｊ】．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｖｅｈｉｃｕｌａｒ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００４，５３（５）：１４６８－１４７９． ［３］Ｔｉａｎｈａｉ Ｗａｎｇ．Ｖｏｌｔｅ￣ａ—ｍａｐｐｉｎｇ—ｂａｓｅｄ ｂｅｈａｖｉｏｒｌａ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｏｒ ｈｉ【ｇｈ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ［Ｊ１＿ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｍｉｃｒｏｗａｖｅ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，２００３，５１（５）：１４３３—１４４０． 【４］于翠屏．宽带功率放大器预失真技术的研究［Ｄ】．北京：北京邮电 大学．２００９． ［５】李波．无线通信中射频功率放大器预失真技术研究［ＤＩ．西安：西 安电子科技大学．２００９． ［６］王敏，王联国，刘成忠．基于ＱＲ－ＲＬＳ算法的预失真模型［Ｊ］．计算机 工程，２０１ １，３７（１４）：２８１—２８４． ［７】赵毅峰，姚彦，曹新容．数字预失真技术设计及实现『Ｊ］．厦门大学学 报，２０１０，４９（４）：５０１—５０４． ［８］司守奎，孙玺菁．数学建模算法与应用【Ｍ】．北京：国防工业出版 社．２０１１．
