用FFT做频谱分析

用FFT做频谱分析

一、实验目的

(1) 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉FFT子程序。 (2) 熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。

(3) 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。 (4) 熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。 (5) 初步了解用周期图法做随机信号谱分析的方法。

二、实验原理与方法

在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要的地位，对有限长序列，我们可以使用离散傅里叶变换(DFT)。这一变换不但可以很好地反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N时，它的DFT定义为

X(k)x(n)W，WNeknNn0N1j2N

逆变换为

1N1kn x(n)X(k)WNNk0有限长序列的DFT是其z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅里叶变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。

FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。 它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的FFT是以2为基数的，其长度N2L，其中，L为正整数。它的效率高，程序简单，使用非常方便。当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。

1) 在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生的三种误差

(1) 混叠。序列的频谱是被采样信号的周期延拓，当采样速率不满足奈奎斯特定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。

避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解。在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，可在采样前先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。

(2) 频谱泄露。实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。

泄露不能与混叠完全分开，因为泄露导致频谱的扩展，从而造成混叠。为了减少泄露的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。

(3) 栅栏效应。DFT是对单位圆上z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用DFT来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所拦住，而不能被我们观察到的现象。

减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的末端填补一些零值，从而变动DFT的点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。

2) 用FFT计算线性卷积

用FFT可以实现两个序列的圆周卷积。在一定的条件下，可以使圆周卷积等于线性卷积。一般情况，设两个序列的长度分别为N1和N2，要使圆周卷积等于线性卷积的充要条件是FFT的长度N≥N1+N2。对于长度不足N的两个序列，分别将它们补零延长到N。

当两个序列中有一个序列比较长的时候，我们可以采用分段卷积的方法，具体有以下两种方法。

(1) 重叠相加法。将长序列分成与短序列相仿的片段，分别用FFT对它们作线性卷积，再将分段卷积各段重叠的部分相加构成总的卷积输出。

(2) 重叠保留法。这种方法在长序列分段时，段与段之间保留有互相重叠的部分，在构成总的卷积输出时只需将各段线性卷积部分直接连接起来，省掉了输出段的直接相加。

3) 用周期图法(平滑周期图的平均法)对随机信号做谱分析

实际中许多信号往往既不具有有限能量，同时又是非周期性的。无限能量信号的基本概念是随机过程，也就是说无限能量信号是一随机信号。周期图法是随机信号做谱分析的一种方法，它特别适用于用FFT直接计算功率谱的估值。

将长度为N的实平稳随机序列的样本x(n)再次分割成K段，每段长度为L，即L=N/K。每段序列仍可表示为

xi(n)=x(n+(i-1)L) 0≤n≤L-1，1≤i≤K

这里在计算周期图之前，先用窗函数w(n)给每段序列xi(n)加权，K个修正的周期图定义为

() ILi1LUx(n)w(n)ein0L12jnT,K i1,2,...式中，U表示窗口序列的能量，有

1L12Uw(n)

Ln0在此情况下，功率谱估计量可表示为

1KwSNX()ILi

Ki1

三、实验内容

(1) 已知有限长序列x(n)[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]，要求： 1.用FFT求该序列的DFT、IDFT的图形。

2.假设采样频率Fs20Hz，序列长度N分别取8、32和，用FFT计算其幅度频谱和相位频谱。

(2) 用FFT计算下面连续信号的频谱，并观察选择不同的采样周期Ts和序列长度N值对频谱特性的影响：

xa(t)e0.01t(sin2tsin2.1tsin2.2t) t≥0

(3) 已知序列x(n)3cos(0.4n)sin(5n)，1≤n≤15；y(n)0.8n，1≤n≤20。用FFT

实现快速卷积，并测试直接卷积和快速卷积的时间。

(4)设xa(t)3sin(200t)sin(100t)cos(50t)，用DFT分析xa(t)的频谱结构，选择不同的截取长度Tp，观察截断效应，试用加窗的方法减少频谱间干扰。

1.频率fs400Hz，T1/fs。

2.采样信号序列x(n)xa(nT)(n)，(n)是窗函数，选取两种窗函数：矩形窗和哈明窗。

NfsTp，3.对x(n)做2048点DFT，作为xa(t)的近似连续频谱Xa(jf)。N为采样点数，

Tp为截取时间长度，取三种长度0.04s、40.04s、80.04s。

四、实验预习

(1) 认真阅读实验原理，明确本次实验任务，读懂例题程序，复习有关序列运算的理论知识，了解实验方法。

(2) 根据实验任务预先编写实验程序。

(3) 预习思考：快速傅里叶变换(FFT)与离散傅里叶变换(DFT)有什么联系？简述使用FFT的必要性。

五、实验报告

(1) 列出调试通过的实验程序，打印或描绘实验程序产生的图形曲线。

(2) 思考题：对一个有限长序列进行DFT等价于将该序列周期延拓后进行DFS展开，因为DFS也只是取其中一个周期来计算，所以FFT在一定条件下也可以用于分析周期信号序列。如果实正弦信号为sin(2fn)，f=0.1，用16点FFT来做DFS运算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗？

六、实验参考

1. 与DFT和FFT相关的MATLAB函数

与DFT和FFT相关的MATLAB函数主要包括fft和ifft。 1) fft 语法：

Y=fft(X) Y=fft(X,n)

Y=fft(X,[],dim) Y=fft(X,n,dim)

介绍：Y=fft(X)语句中，如果X是矩阵，则计算该矩阵每一列的傅里叶变换；如果X是数组，则计算第一个非单元素维的离散傅里叶变换。

Y=fft(X,n)语句可计算X的n点的DFT。如果X的长度小于n，则在X的后面补0。如果X的长度大于n，则对X进行截取。当X是一个矩阵时，X的每一列的长度按照统一的方法进行调整。

Y=fft(X,[],dim)和Y=fft(X,n,dim)语句可根据参数dim在指定的维上进行离散傅里叶变换。

2) ifft 语法：

介绍：ifft函数和fft函数的调用类似，所不同的就是fft的输入参数是时域信号，而ifft的输入参数是频域信号。

Y=ifft(X) Y=ifft(X,n)

Y=ifft(X,[],dim) Y=ifft(X,n,dim)