维普资讯 http://www.cqvip.com Ｃｏｒｎｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 二维截断奇异值分解方法在图像恢复中的应用 张海燕，闵 涛，艾克锋 ＺＨＡＮＧ Ｈａｉ—ｙａｎ，ＭＩＮ Ｔａｏ，ＡＩ Ｋｅ—ｆｅｎｇ 西安理工大学理学院，西安７１００５４ Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ｏｆ Ｘｉ’ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ ７ １ ００５４，Ｃｈｉｎａ Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｈａｎｇｈａｉｙａｎ０５３６＠１ ２６．ｃｏｒｎ ＺＨＡＮＧ Ｈａｉ－ｙａｎ，ＭＩＮ Ｔａｏ，ＡＩ Ｋｅ－ｆｅｎｇ．２－Ｄ ＴＳＶＤ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｄｅｂｌｕｒｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００８，４４（１）：６０－６２． Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｅ ｅｘｐｒｅｓｓ ｔｈｅ ＴＳＶＤ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅｄ ２－Ｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ ｐｒｏｄｕｃｔｓ，ｔｈｕｓ ｉｌ ｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ ｈｏｗ ｔｏ ｇｅｔ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｉｌｌ——ｐｏｓｅｄ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｎｄ ｈｏｗ ａｌｌ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｍａｔｒｉｘ ｃａｌｌ ｂｅ ａｖｏｉｄｅｄ．Ｅｘｐｅｒｉ ｅｎｅｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ａ ｇｒｅａｔ ｅｆｆｅｃｔ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｄｅｂｌｕｒｉｎｇ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂｌｏｃｋ Ｔｏｅｐｌｉｔｚ ｍａｔｒｉｘ；Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ ｐｒｏｄｕｃｔ；２－Ｄ ＴＳＶＤ；ｉｍａｇｅ ｄｅｂｌｕｒｉｎｇ 摘要：研究了二维截断奇异值分解（２一Ｄ ＴＳＶＤ）ｇ－大规模图像恢复中的应用，起到了正则化的作用，克服了问题固有的不适定 性．同时也解决了由于存储有限带来的问题。实验结果表明，该方法恢复效果显著。 关键词：块特普利茨矩阵；Ｋｒｏｎｅｅｋｅｒ内积；二维截断奇异值分解；图像恢复 文章编号：１００２—８３３１（２００８）Ｏｌ一００６０—０３ 文献标识码：Ａ 巾图分类号：ＴＰ３９１ １引言 在此基础上利用现代的计算方法去求解。此类问题的图像退化 图像恢复问题一直伴随着数字图像技术的不断发展而发 模型经过一些变换，可以化为第一类卷积型积分方程。在成像 展。对图像恢复领域的研究开始于上个世纪五六十年代，当时 过程中，景物上的一个点不是仅仅反映到图像上的一个对应 人们在实践当中花费了大量的人力和财力得到了许多照片，但 点，而是被弥散成图像平面上的一个区域。因此，图像上的每个 这些图像很模糊，在当时的技术条件下根本无法看清，没有任 点是景物的许多点经混合叠加的反映 。成像过程带有混合叠 何使用价值。幸运的是科学家们坚信这些图像中包含丰富的信 加的过程，在数学上可用一个叠加积分来描述： 息，终于经过不懈的努力恢复出图像的原始信息，才有今天相 ｆ ｒ 对成熟且广泛应用的图像恢复技术。经过最近４０多年的研究， ｇ（ｘ， ）＝ｉ ＪＨ（ｘ，ｓｑｙ，ｒ／ ，ｒ／）ｄ ７７＋尺（ ，， ） （１） 图像恢复技术已经广泛应用于诸如空间探索、天文观测、物质 其中Ｈ（ｘ， ；， ，７７）叫做点扩散函数或系统冲击响应，它表示离 研究、遥感遥测、军事科学、医学影像、交通监控、刑事侦察等众 散图像的每一个像点受￣ｌＪＨ（ｘ，ｓｑｙ，７７）的影响而扩散。图像退 多领域ｆ１１。 化就是受Ｈ（ｘ， ；ｙ，７７）影响所致，多数情况下系统是时不变的， 尽管这些领域中观测图像的来源不同，观测系统的性质各 在图像中反映为位移不变（在图像领域中常称为空间不变），则 异，但是研究表明，观测系统模型通常可以简化为线性移不变 Ｈ（ ， ；ｙ，７７）可用Ｈ（ｘ－ｓ￣，Ｙ一７７）表示。于是，连续退化模型可进一 卷积模糊（ｂｌｕｒ）加上与图像信号不相关的高斯白噪声。线性移 步写成下面的卷积型积分方程： 不变卷积模糊（ｂｌｕｒ）可以用观测系统的点扩散函数（ＰＳＦ，Ｐｏｉｎｔ ｆ ｒ Ｓｐｒｅａｄ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ）来生成。从这种意义上讲，图像恢复就是根据 Ｊ ＪＨ（ｘ－－ｊｌ，Ｙ一７７） ，７７）ｄ￣ｄｎ＋Ｒ（ｘ，Ｙ） （２） 观测图像、观测系统的点扩散函数来求解一个真实图像的估 由于该问题为第一类Ｆｒｅｄｈｏｌｍ积分方程，属于数学物理 计值 方程反问题，因此自身就具有不适定性，使用一般的求解方法 将得不到有效的解，文章下面讨论的２－Ｄ ＴＳＶＤ方法是一种正 ２图像退化模型 则化方法，是求解该类问题的有效工具 ｌ。 在实际中碰到的许多图像恢复问题，当退化不太严重时， 常用线性位移不变系统模型来恢复图像。本文考虑的是具有线 ３二维积分方程的离散化 性的、空间位移不变的成像系统，对于非线性位移变系统，可以 讨论积分核可分离的二维反卷积问题，也就是说，要处理 基金项目：国家自然科学基金（ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎｍｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｕｎｄｅｒ Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．５０５７９０６１）；高等院校博士学科点专项科研基金（ｔｈｅ Ｃｈｉｎａ Ｓｐｅｃｉａｌｉｚｅｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｆｕｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｄｏｃｔｏｒａｌ Ｐｒｏｇｒａｍ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．１ ０６－２２０５４６）。 作者简介：张海燕（１９８０一），女，硕士研究生，主要研究方向：反问题和图像恢复；闵涛（１９６３一），男，教授，博士，主要研究方向：反问题和图像恢复； 艾克锋（１９７７一），男，硕士研究生，主要研究方向：数理方程反问题。 维普资讯 http://www.cqvip.com 张海燕，闵 涛，艾克锋：二维截断奇异值分解方法在图像恢复中的应用 ２００８，４４（１） ６１ 的是二维的第一类Ｆｒｅｄｈｏ１ｍ积分方程，一般形式如下 （ｙ－ｙ＇）ｆ（ ， ） （３） 都是Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵的话，那么．４ＱＡ就是块Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵，本文 主要讨论具有这种特殊结 ４ ２一Ｄ ＴＳＶＤ方法 从上面的讨论可以看出，直接对模糊矩阵进行奇异值分 解，其计算量相当得大，并且对于实际问题往往会显得为 力。前面介绍了用两个Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵的张量积（Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积）形 式表示了可分离的２一Ｄ离散化问题，下面就结合这种特殊的 性质，探求更为实用、有效的算法，使其适合于求解大规模图像 这里，ｃ和ｃｃ，都是函数。比如，当图像被高斯点扩散函数模 糊时，就有 ，ｃ（ ）＝ｃｃ，（ ） ７、／ ＝２ ￣ｒ＿＿ ｅｘｐ（＼ 一ｌ（２ ））ｔ／ 其离散化结果可用下面的对称带状Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵来描述 （如） ：ｆｅ（－｝（ ） （４） 反模糊问题。现在就从这个角度出发，研究一下问题的２一Ｄ 【０ 其它 使用中矩形积分法则对积分方程进行离散化处理。这样， 对ｖ 的积分就可以近似为ｎ项的求和 （￡，（ｙ－ｙ＇ ，Ｙ ） ｎ— ∑（￡，（ （ ， ）＝ （ ， ） 这里Ｙｌ 是积分节点，＿厂代表计算的近似解。接着，用另一组和逼 近对 的近似 ，（（ ） （ ， ） 一ｍ一 ∑，（（ 一钆 ） （钆 ， ）＝ （ ， ） 这里瓤 也是积分节点。并且在ｍｎ个点（ ）上取 （ ，咒）＝ｇ（ ， ），ｉ＝１，…，ｍ，ｊ＝ｌ，…，ｎ 这样，最终就可以构造成一个ｍｎ阶的线性方程组，包含 有ｍｎ个未知量厂（ ）。 下面再引入下面四个矩阵Ａ，Ａ，Ｆ，Ｇ。 Ａ￣ｉ＝ｍ－。Ｋ（Ｘｉ－Ｘ ，）＇Ａｊｌ＝ｎ （￡，（ ）， （钆 ， ｆ Ｇ （ ， ） ｉ＝１，‘一，ｍ，ｊ＝ｌ，…，ｎ 现在，定义一个ｍｘｎ矩阵 ，它对应于 的积分，则有 （钆 ， ）＝ｎ （￡，（肿 （钆 ，Ｙｌ ）’户１，…，ｎ，ｋ＝ｌ，…，ｍ ｆ：ｌ 于是，可以得到 ：ＦＡ 。 同样地，定义一个ｍＸｎ矩阵缈，它对应于 的积分，则有 ｍ （ ｙｉ）＝ｍ ，（（ 广 ）６（ｘ＾ ，乃）， ＝１，…，ｍ√＝１，…，凡 ＾：ｌ 于是ｑｔ＝Ａｑ，－－ＡＦ￣ 。又 －Ｇ，这样就可以得到了二维反卷积问 题的离散化形式ＡＦＡＴ＝Ｇ。 最后，为了将其转化为线性方程组的标准形式，就要对矩 阵Ａ， 计算Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ内积，其结果是一个ｍｎｘｍｎ的矩阵： ａｌ４ ａｌ２，４…ａｌ Ａ ＝ ０２４ ａ＝Ａ…口２ ａ ４口 …ａｎｎＡ 同时也需要解释一下‘ｖｅｃ’的概念，如果 是一个ｍＸｎ矩 阵，将其按列写成 （ …，％） ，这样定义一个长为ｍｘｎ向 量ｖｅｃ（ ）：（ ｌ… ） 。 Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ内积与‘ｖｅｃ’的定义由下面的重要关系式联系 起来 （ＡＱＡ）ｖｅｃ（Ｘ）＝ｖｅｃ（ＡＸＡ ） （５） 这样就有Ａ ＿ｒ＿Ｇ甘（ ）ｖｅｃ（Ｆ）＝ｖｅｃ（Ｇ） （６） 右端是一个系数矩阵为ｎ２Ｘｎ 的线性方程组，有ｎ 个未知 量，相应的线性系统是一维的，则适合于理论研究，而左端是矩 阵表达方式，更适合于数值计算。值得一提的是，如果Ａ和 ＴＳＶＤ解，这样的矩阵的所有计算就能够避免，相应地计算效 率就会大大提高。 现在，要处理的问题就是二维卷积型积分方程的离散化形 式（５）。 ２一Ｄ ＴＳＶＤ解就是用 的ＳＶＤ形式来定义的。 的奇异值分解可以表示成两个矩阵的奇异值分解。假定Ａ和 的奇异值分解可以由下式给出 二 Ａ＝ ∑Ｖｒ＝ ＵｔＯ＇ｉｖＴ，Ａ＝ ∑Ｖｒ＝ ｕ￣＇ｙＴ ｌ ｌ＝１ 那么，由Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ内积的性质有 ＝（ ）（∑ｏＥ－）（ ）＝∑∑（ ）（ ）Ｔ（７） 仁ｌ ＝ｌ 可以看到，奇异值和奇异向量顺次结合构成了 的奇 异值分解，Ａ和 的奇异值的乘积组成了 ）Ａ的ｍｎ个奇异 值，Ａ和 的所有左右奇异值向量的张量积构成了ＡＱＡ的左 右奇异值向量。因此，对．４ＱＡ进行奇异值分解，只需计算Ａ和 的奇异值分解ｌ ３ｌ８１。 下面，令ｖｅｃ（Ｆｋ）代表２一Ｄ ＴＳＶＤ解，它是将 按行或列 排成一列， 是相应的２一Ｄ矩阵形式。这里，ｋ就是２一Ｄ ＴＳＶＤ 的截断参数，也就是包含在正则化解中 ）Ａ的奇异值的个 数。得到ｖｅｃ（Ｆｋ）可以由下式给出 眦（耻∑ （ ’， Ｏ＇ｊ０＂ｉ 这里的求和是取 的前ｋ个最大值。使用关系式（ ｏ Ａ）ｖｅｃ（Ｘ）＝ｖｅｃ（ＡＸＡ ） 可以得到 Ｔ一Ｆ ∑ ｖ ，Ｔ （８） 下面总结２一Ｄ ＴＳＶＤ的计算步骤如下： （１）将可分积分核分解成两个比较小的矩阵的张量积； （２）根据１一Ｄ ＴＳＶＤ解形式，将２一Ｄ ＴＳＶＤ解表示出来； （３）根据张量积的性质，将解的向量形式转化为矩阵形式， 编制程序，同时也可以提高执行速度； （４）找出两矩阵共ｍｎ个奇异值乘积的前ｋ个最大的值， 并记录相应的左右奇异值向量； （５）根据式（８）进行求解。 ５数值模拟 下面通过一个１００ｘ７５图像反模糊问题来展示一下２一Ｄ ＴＳＶＤ算法。这里取原始图像为Ｊ．Ｈ．ｗｉｌｋｉｎｓｏｎ——舍入误差的 创始人。模糊矩阵Ａ和 通过式（４）得到，即进行高斯脉冲谱 维普资讯 http://www.cqvip.com ６２ ２００８，４４（１） Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（Ｉｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 函数模糊，取 ＝２．５，ｂａｎｄ＝ｌＯ，此外还添加了均值为０，方差为 原始图像 模糊图像 ０．００１的高斯噪音。下面各图分别代表原始图像Ｆ，加噪音的模 糊图像Ｇ＝ＡＦＡ ＋Ｅ，还有１０个重构图像 。在每一个图像上 面标记着ｋ的取值。可以观察到，起初当ｋ的值增加时，图像质 量渐佳，后来噪音Ｅ的影响突现出来。在整个过程中，除重构 的第一幅图峰值信噪比为３３．０１以外，其余各图基本都在 ｌ０，３３．０１３ ｄＢ ５０，３３．０２７ ｄＢ １００，３３ ０３３ ｄＢ ２００，３３ ０３７ ｄＢ ３００，３３ ０３９ ｄＲ ３３．ｏ３附近，可见图像质量改善不大。 原始图像 加噪音的模糊图像 ５００，３３．４００ ｄＢ １ ０００．３３．０４０ ｄＢ ２０００，３３．０４１ ｄＢ ４ ０００，３３．０４１ ｄＢ ５ ０００，３３．０４１ ｄＢ ｌｏ ５０ ｌｏｏ 一 圈囵圈圈 １５０ ２００ ＿囵圈圈圈 圈墨因霜 图２ ２－Ｄ ＴＳＶＤ对模糊图像的恢复结果 ２５０ ３００ ３５０ ４５０ 音的模糊图像，以及如何有效地选取最佳截断参数，这些都是 后面进一步要研究解决的问题。（收稿日期：２００７年７月） ＿一一■豳 参考文献： ［１］邹谋炎＿反卷积和信号复原ｆＭ］．北京：国防工业出版社，２００１：１－６． 图１ ２－Ｄ ＴＳＶＤ对加噪音模糊图像的恢复结果 ［２］Ｙｏｕ Ｙｕ－Ｌｉ，Ｋａｖｅｈ Ｍ．Ａ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｊｏｉｎｔ ｂｌｕｒ ｉｄｅｎ— ｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｍａｇｅ ｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｍａｇｅ ｐｒｏ－ 下面考虑一下仅有模糊算子作用时，应用该算法得到的结 ｃｅｓｓｉｎｇ．１９９６．５（３）：４１６－４２８． 果，对其仍然进行高斯脉冲谱函数模糊，取 ＝２．５，ｂａｎｄ＝ｌＯ，这 ［３］Ｈａｎｓｅｎ Ｐ Ｃ．Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｌｏｎ Ｔｏｏｌｓ．（２００１－０９）．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ２．ｉｍｍ．ｄｔｕ 时Ａ的条件数为１．４３６ ８ｅ＋０１３，属于高度病态问题。下面各图 ｄｋ／－ｐｅｈ／．Ｒｅｇｕｔｏｏｌｓ／ｒｅｇｕｔｏｏｌｓ．ｈｔｍ１． 分别代表原始图像Ｆ，模糊图像Ｇ：Ａ ｒ，还有１０个重构图 ［４］黄小为，吴传生，朱华平．求解不适定问题的ＴＳＶＤ正则化方法［Ｊ１．武 像 。在每一个图像上面标记着ｋ的取值及相应的峰值信噪比。 汉理工大学学报，２００５，２７（２）． ［５］Ｈａｎｓｅｎ Ｐ Ｃ．Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｏｔａｌ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ［ＥＢ／Ｏｌ 】． （２００６—１２）．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ２．ｉｍｍ．ｄｔｕ．ｄｋ／－ｐｃｈ／． ６结论 ［６］张贤达．矩阵分析与应用［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４：３４ １—４００． 本文讨论的图像ｌ灰复问题是一类二维反卷积问题。求解规 ［７１徐仲，张凯院，陆全．Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵类的快速算法［Ｍ】．西安：西北工业 模大以及不适定性，是处理该问题的最大难点。２－Ｄ ＴＳＶＤ为 大学出版社，２００１． 求解大规模图像恢复问题提供了新的思路，对于模糊图像的恢 【８］Ａｎｄｒｅｗｓ Ｈ Ｃ，Ｐａｔｔｅｒｓｏｎ Ｃ Ｌ．Ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ 复效果还是相当出色的；至于如何有效地利用该方法处理带噪 ｄｉｇｉｔａｌ ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ．１９７６，２４（１）：２６—５３． （上接５６页） ｔｅｒｒａｉｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｒｏｂｏｔｉｃｓ，２００５，２１（３）：３５４—３６３． ［３］Ａｒａｔ￣ｊｏ Ｆ，Ｒｉｂｅｉｒｏ Ｂ，Ｒｏｄｒｉｇｕｅｓ Ｉ Ａ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｆｏｒ Ｓｈｏｒｔｅｓｔ ［８］Ｐｏｔｔｓ Ｊ Ｃ，Ｇｉｄｄｅｎｓ Ｔ Ｄ．Ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ａｎｄ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｉｍ— ｐａｔｈ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，２００１， ｐｒｏｖｅｄ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｉｇｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｒｔｉｉｆｃｉａｌ ｓｅｌｅｃ－ １２（５）：１０６７—１０７３． ｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ，ＭＡＮ ａｎｄ Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ，１９９４， ［４］朱庆保．全局未知环境下多机器人运动蚂蚁导航算法［Ｊ１．软件学报， ２４（１）：７３—８７． ２００６，１７（９）：１８９１－１８９８． ［５］Ｈｕ Ｙａｎｒｏｎｇ，Ｙａｎｇ Ｓ Ｘ．Ａ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｂａｓｅｄ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ［９］Ｇａｎｔｌａ Ｄ，Ａｂｄｅｌ—Ａｔｙ—Ｚｏｈｄｙ Ｈ Ｓ，Ｅｗｉｎｇ Ｒ Ｌ．Ｎｅｗ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏ— ｒｉｔｈｍ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｉｏｃｈｅｍｉｃａｌ ｓｅｎｓｏｒ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｐａｔｈ ｐｌａｎｎｉｎｇ ｏｆ ａ ｍｏｂｉｌｅ ｒ０ｂ０ｌ［Ｃ］，／Ｐｒ０ｃｅｅ小ｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２００４ ＩＥＥＥ ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｆｅｎｃｅ ｏｎ Ｒｏｂｏｔｉｃｓ＆Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ Ｎｅｗ Ｏｒｌｅａｎｓ． ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ Ｍｉｄｗｅｓｔ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ＬＡ Ａｐｒｉｌ ２００４：４３５０—４３５５． Ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００２，Ｉ：５２—５５． ［６］Ｖａｓｃｏｎｃｅｌｏｓ Ｊ Ａ，Ｒａｍｉｒｅｚ Ｊ Ａ，Ｔａｋａｈａｓｈｉ Ｒ Ｈ Ｃ，ｅｔ ａ１．Ｉｍｐｒｏｖｅ— ［１０］Ｍｏｈａｍａｄ Ｍ Ｍ，Ｄｕｎｎｉｇａｎ Ｍ Ｗ，Ｔａｙｌｏｒ Ｎ Ｋ．Ａｎｔ ｃｏｌｏｎｙ ｒｏｂｏｔ ｍｅｎｔｓ ｉｎ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｍａｇｎｅｔｉｃｓ， ｍｏｔｉｏｎ ｐｌａｎｎｉｎｇ［Ｃ］，／ＥＵＲ０Ｃ０Ｎ ２００５ ＩＥＥＥ，２００５：２１３－２１６． ２００１，３７（５）：３４１４—３４１７． ［１ １］罗熊，樊晓平．具有大量不规则障碍物环境下机器人路径规划的新 ［７］Ｋｏｅｎｉｎｇ Ｓ，Ｌｉｋｈａｅｈｅｖ Ｍ．Ｆａｓｔ ｒｅｐｌａｎｎｉｎｇ ｆｏｒ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ ｉｎ ｕｎｋｎｏｗｎ 型遗传算法［Ｊ］．机器人，２００４，２６（１）：１１－１６．
