北京市延庆区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题含答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是 （ ） A．

B．

C．

D．

2．若图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为(

A．40° B．50° C．60° D．70°

3．若x=-1，则下列分式值为0的是（ ） A．1x1

B．xC．x1x1

D．x21xx

4．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A．6

B．9 C．12 D．18 5．下列计算错误的是（ ）

A．（3）2＝3

B．326 C．3＋2＝5

D．632 6．下列运算正确的是（ ） A．x6B．

x2y2xy2x3x

xyxy C．

x3y3xy D．

xy1 7．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A．5，12，13

B．1，2，5 C．1，3，2

D．4，5，6

8．如图所示在ABC中，AB边上的高线画法正确的是( )

A． B．

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)

C． D．

二、填空题

9．若代数式x3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．

10．如图，∠ABC中，∠B＝20°，D是BC延长线上一点，且∠ACD＝60°，则∠A的度数是____________ 度．

11．为庆祝建党100周年，某邮政局推出纪念封系列，且所有纪念封均采用形状、大小、质地都相同的卡片，背面分别印有“改革、开放、民族、复兴”的字样，正面完全相同．如下图，现将6张纪念封洗匀后正面向上放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的纪念封背面恰好印有“改革”字样的可能性大小是____________．

12．如图，线段AB，CD相交于点O，AO=BO，添加一个条件， 能使AOCBOD，所添加的条件的是___________________________．

13．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是_________．

14．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__

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15．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB∠OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是___．

16．在Rt∠ABC中，∠C＝90º，∠B＝30º，BC＝4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的动点，点F是边AC上的动点，则DE＋EF的最小值是______________． 三、解答题

317．计算：（1）12273；

（2）2201545. 418．已知：如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF＝DC，BC∠FE，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．

19．解分式方程：

2x71. x32x621，甲、乙两位同学的解x21x120．学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：答过程分别如下：

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老师发现这两位同学的解答过程都有错误.

请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正. （1）我选择哪位同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）

（2）该同学的解答从第几步开始出现错误（填序号），错误的原因是什么. （3）请写出正确解答过程. 21．当x=2﹣1时，求代数式

1x1x12的值． x2x4x4x122．如图，点D是等边∠ABC的边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E．

(1)依题意补全图形；

(2)判断∠ADE的形状，并证明． 23．列方程解应用题：

第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．北京冬奥会的配套设施“京张高铁”——北京至张家口高速铁路，已经全线通车，全长约175千米．原京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第一条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题．京张高铁的平均速度是原京张铁路的5倍，可以提前5小时到达，求京张高铁的平均速度．

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24．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上．

(1)计算线段AB的长度 ； (2)判断∠ABC的形状 ； (3)写出∠ABC的面积 ；

(4)画出∠ABC关于直线l的轴对称图形∠A1B1C1．

25．如图，∠ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝5，BD＝2．求线段DF的长度．

26．尺规作图：

已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P． 求作：直线PQ，使直线PQ∥MN．

小智的作图思路如下： ∠如何得到两条直线平行？

小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．

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∠如何得到两个角相等？

小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”． ∠画出示意图：

∠根据示意图，确定作图顺序．

（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：∠AB平分∠PAN， ∠∠PAB＝∠NAB． ∠PA ＝PQ，

∠∠PAB＝∠PQA （ ∠ ）． ∠∠NAB ＝∠PQA．

∠PQ∥MN （ ∠ ）．

（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）

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27．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．

(1)依题意补全图形；

(2)猜想EF和EG的数量关系并证明； (3)求证：ED＋EF＝2EM．

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参：

1．B 【解析】 【分析】

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】

解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选B． 【点睛】

此题主要考查了轴对称图形的概念，关键是正确找出对称轴的位置． 2．B 【解析】 【分析】

根据全等三角形的对应角相等即可解答. 【详解】

解：已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长， 由图可知边a相邻的两个角分别为60°，70°， 所求角为边a的对角， 所以∠1=180-60°-70°=50°. 所以本题选B. 【点睛】

掌握两个三角形全等，对应边，对应角相等是解答本题的关键. 3．D 【解析】 【分析】

根据分式的值为零的条件即可求出答案．

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【详解】

1解：A、当x1时，原式=，故A不选；

2B、当x=-1时，原分式无意义，故B不选； C、当x=-1时，原式=2，故C不选； D、当x=-1时，原式=0，故选D. 故选：D. 【点睛】

本题考查分式的值为0的条件，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型． 4．C 【解析】 【分析】

先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可． 【详解】

A.6与3的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B.93，与3不是同类二次根式；

C.1223，与3被开方数相同，故是同类二次根式； D.1232，与3被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 【点睛】

本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键． 5．C 【解析】 【分析】

根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得． 【详解】 解：A、323，计算正确，此选项不符合题意；

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B、32326，计算正确，此选项不符合题意； C、3和2，非同类二次根式，不能合并，此选项符合题意； D、63632，计算正确，此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】

本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则． 6．D 【解析】 【分析】

根据分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】

解：A、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故A错误；

B、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故B错误；

C、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误；

D、分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故D正确； 故选：D． 【点睛】

本题考查了分式的基本性质，分式分基本性质分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变． 7．D 【解析】 【分析】

根据勾股定理的逆定理逐项分析解题即可． 【详解】

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解：A.52122169,132169 52122132

5，12，13能构成直角三角形，

故A不符合题意； B.

12225,(5)25

1222(5)2

1，2，5能构成直角三角形，

故B不符合题意； C.

12(3)24,224

12(3)222

1，3，2能构成直角三角形， 故C不符合题意； D.

425241,6236，4136

4，5，6不能构成直角三角形，

故D符合题意， 故选：D． 【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．B 【解析】 【分析】

直接利用高线的概念得出答案． 【详解】

在ABC中，AB边上的高线画法正确的是B， 故选B． 【点睛】

此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．

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9．x3 【解析】 【分析】

根据二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可． 【详解】

解：∠代数式x3在实数范围内有意义， ∠x30． ∠x3．

故答案为：x3． 【点睛】

本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是解题关键． 10．40 【解析】 【分析】

直接根据三角形外角的性质可得结果． 【详解】

解：∠∠B＝20°，∠ACD＝60°，∠ACD是∠ABC的外角， ∠∠ACD=∠B+∠A，

∠AACDB602040， 故答案为：40． 【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键 111．

3【解析】 【分析】

根据简单概率公式求出任意抽取一张纪念封的所有情况6种从中找出改革的纪念封的情况，代入公式计算即可． 【详解】

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解：任意抽取一张，等可能的情况一共有6种，其中印有改革纪念封的情况有2种， ∠从中随机抽取一张，抽出的纪念封背面恰好印有“改革”字样的可能性大小=1故答案为．

321． 63

【点睛】

本题考查简单事件的概率，掌握概率公式，找出满足改革纪念封条件的情况是解题关键． 12．CODO或AB或CD或AC//BD 【解析】 【分析】

先根据对顶角相等可得AOCBOD，再根据三角形全等的判定定理即可得． 【详解】

由对顶角相等得：AOCBOD，

AOBO，

当CODO时，由SAS定理可证AOCBOD，

当AB时，由ASA定理可证AOCBOD， 当CD时，由AAS定理可证AOCBOD，

当AC//BD时，则AB，由ASA定理可证AOCBOD， 故答案为：CODO或AB或CD或AC//BD． 【点睛】

本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 13．18或21 【解析】 【详解】

分两种情况：∠当8为腰时，此三角形的周长=8+8+5=21；∠当5为腰时，此三角形的周长=8+5+5=18．

14．在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【解析】 【分析】

根据角平分线的性质即可证明.

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【详解】

因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线. 【点睛】

此题主要考查角平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质. 15．5 【解析】 【分析】

根据勾股定理可计算出OB的长度，即点P在数轴正半轴表示的数． 【详解】

解：在Rt∠OAB中，OA=2，AB=1， ∠OB=OA2AB222125，

∠以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为5． 故答案为：5． 【点睛】

本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算OB的长度是解题的关键． 16．3 【解析】 【分析】

根据线段中点的性质可得BDDC2，作点D关于直线AB的对称点G，如图所示，连接DG交AB于点H，过点G作GFAC，交AB于点E，此时，G、E、F三点共线，且是垂线段，可得DEEF取得最小值，由平行线的判定和性质可得

BGEBAEF30，依据等角对等边及含有30角的直角三角形的特殊性质可得BDDE2，DH1BD1，利用勾股定理可得BH，在RtABC中，BC4，设283，在RtAEF中，继续利用勾股定理及3ACx，则AB2x，运用勾股定理可得AB含有30角的直角三角形的特殊性质即可得． 【详解】

解：∵D为BC的中点，且BC4，

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∴BDDC2，

作点D关于直线AB的对称点G，如图所示，连接DG交AB于点H，过点G作

GFAC，交AB于点E，此时，G、E、F三点共线，且是垂线段，可得DEEF取得最

小值，

∵点D关于直线AB的对称点G， ∴DGBE， ∵GFAC， ∴GFAC90， ∴GF∥BC，

∴BGEBAEF30， ∴DEBGEB30， ∴BDEB30， ∴BDDE2，DH∴GEDE2， 在RtBDH中，

1BD1， 2BHBD2DH23，

∵BDE为等腰三角形，且DGBE， ∴BE2BH23，

在RtABC中，BC4，设ACx，则AB2x， ∴42x22x，

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解得：x∴AB4343或x（舍去）， 3383， 3∴AEABBE23， 323，AEF30， 3在RtAEF中，AE∴AF3， 3∴EFAE2AF21， ∴GFGEEFDEEF3， 故答案为：3． 【点睛】

题目主要考查轴对称的性质，平行线的判定和性质，勾股定理及含有30角的直角三角形的特殊性质，等腰三角形三线合一的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 17．（1）333；（2）【解析】 【分析】

（1）先根据算术平方根和立方根的意义进行化简，最后进行加法运算即可； （2）根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可. 【详解】

3（1）12273 15 42333，

333，

（2）2201545， 41112205，

445120， 815. 4试卷第9页，共19页

【点睛】

此题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 18．见解析 【解析】 【分析】

证明∠ABC∠∠DEF即可． 【详解】 ∠BC∠FE， ∠∠1 ＝∠2 ∠AF＝DC，

∠AF＋FC＝DC＋CF． ∠AC＝DF．

在∠ABC和∠DEF中，

12，ACDF, AD,∠∠ABC∠∠DEF（ASA） ． ∠AB＝DE．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，关键是证明三角形全等． 19．x1 6【解析】 【详解】

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试题分析：方程两边同时乘以2x3，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得. 试题解析：方程两边同时乘以2x3，得

4x2x37 ，

整理得：6x=1 ， 得：x=1 ， 61是原方程的解 ， 61 . 6经检验：x= 原方程的解为x=20．（1）我选择甲同学的解答过程进行分析；（2）甲同学从第∠步开始出现错误，错误的原因是对分式进行通分时，将分母乘以x+1,而分子没有乘以x+1；（3）程见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据甲和乙的解答过程判别，选择擅长的即可； （2）由分式加减运算法则和分式的基本性质求解； （3）根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】

（1）我选择甲同学的解答过程进行分析（或者选择乙均可）， 故答案为甲（答案不唯一）；

（2）甲同学在第∠步计算错误，对分式进行通分时，将分母乘以x+1，而分子没有乘以x+1，

故答案为∠，通分时，将分母乘以x+1，而分子没有乘以x+1； （3）

21 x21x121x1x1x1，

1,正确解答过x12x1x12x1x1x1x1，

x1x1，

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1xx1x1， 1. x1【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质． 21．-12,-.

x12【解析】 【分析】

直接利用分式的混合运算法则将原式化简，再将x的值代入计算可得． 【详解】 解：原式=1x2x2x1-

x1x11， x1x2x12x1 x1当x=21时， 原式=﹣【点睛】

本题考查的知识点是分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值. 22．(1)见详解；

(2)∠ADE为等边三角形，证明见详解． 【解析】 【分析】

（1）利用作∠ADE=∠B，作出∠ADE的边DE，利用同位角相等两直线平行得出DE∥BC； （2）根据等边三角形性质∠A=∠B=∠C=60°，根据平行线性质得出∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，得出∠DAE=∠ADE=∠AED=60°即可 (1)

解：过点D作∠ADE=∠B， ∠∠ADE=∠B，

12=．

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∠DE∥BC，

(2)

解：∠ADE为等边三角形， ∠∠ABC为等边三角形， ∠∠A=∠B=∠C=60°， ∠DE∥BC，

∠∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°， ∠∠DAE=∠ADE=∠AED=60°， ∠∠ADE为等边三角形 【点睛】

本题考查作平行线，作一个角等于已知角，等边三角形性质与判定，平行线性质，掌握作平行线方法，作一个角等于已知角基本作图，等边三角形性质与判定，平行线性质是解题关键．

23．京张高铁的平均速度为175 km/h． 【解析】 【分析】

设原京张铁路的平均速度为x km/h，则新京张高铁的平均速度是5x km/h，根据时间差为5h列出方程并解答． 【详解】

解：设原京张铁路的平均速度为x km/h，则新京张高铁的平均速度是5x km/h， 依题意得：

2101755， x5x解得x=35．

经检验，x=35是所列方程的根，并符合题意．

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所以，5x535175km/h

答：京张高铁的平均速度为175 km/h． 【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 24．(1)10 (2)直角三角形 (3)5

(4)图形见解析 【解析】 【分析】

（1）根据勾股定理计算即可；

（2）求出BC、AC的长即可判断∠ABC的形状；

（3）由（2）可知∠ABC是直角三角形，直接利用公式求面积；

（4）分别画出A、B、C关于直线l的轴对称点A1、B1、C1，再依次链接A1、B1、C1即可． (1)

AB123210 (2)

AC123210，BC224225 ∠AB2AC220BC2

∠∠ABC的形状是一个直角三角形 (3)

由（2）可知∠ABC是直角三角形

11∠SABC=ABAC=1010=5

22(4)

图形如图所示：

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【点睛】

本题考查网格中作对称及利用勾股定理求边长，属于常规题，解题的关键是熟练在网格中找到线段所在的直角三角形． 25．1 【解析】 【分析】

由勾股定理可求CD＝1，由“AAS”可证∠BFD∠∠ACD，可得CD＝DF＝1． 【详解】

解：∠AD和BE是∠ABC的高， ∠∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°． ∠∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°． ∠∠DAC ＝∠DBF． ∠∠ABC＝45°， ∠∠DAB＝45°． ∠∠ABC＝∠DAB． ∠DA＝DB． 在∠ADC与∠BDF中， ADCBDF DADBDACDBF∠∠ADC∠∠BDF（ASA）． ∠AC＝BF＝5．

在Rt∠BDF中，∠BDF＝90°， ∠BD2＋DF2＝BF2．

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∠BD＝2，BF＝5， ∠DF＝1

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．

26．（1）图见解析（2）等边对等角；内错角相等，两直线平行；（3）图见解析 【解析】 【分析】

（1）根据题意即可尺规作图进行求解；

（2）根据角平分线与等腰三角形的性质得到内错角相等，故可求解； （3）作PH∠MN于H点，再作PH∠PQ即可． 【详解】

（1）如图1，PQ即为所求；

（2）证明：∠AB平分∠PAN， ∠∠PAB＝∠NAB． ∠PA ＝PQ，

∠∠PAB＝∠PQA （等边对等角）． ∠∠NAB ＝∠PQA．

∠PQ∥MN （内错角相等，两直线平行）．

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故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行； （3）如图2，PQ为所求．

【点睛】

此题主要考查尺规作图的运用，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行线的判定、垂直平分线的作法． 27．(1)见详解；

(2)EF=EG；理由见详解； (3)见详解． 【解析】 【分析】

（1）根据要求画出图形即可；

（2）由题意，得到EM垂直平分OD，则OE=DE，得到∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，由角平分线的定义，得∠AOC=∠BOC，再由三角形的外角性质，即可得到结论成立； （3）在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，则ED＋EF =OH，然后有OD=2EM，再证明∠ODG∠∠OHG（AAS），得到OD=OH，即可得证． (1)

解：根据题意，如图：

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(2)

解：EF=EG； 理由如下：如图，

∠点M为线段OD的中点，EM∠OD， ∠线段EM是∠OED的高，也是中线， ∠EM垂直平分OD，∠OME=90°， ∠OE=DE，

∠∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°， ∠OC是∠AOB的角平分线， ∠∠AOC=∠BOC，

∠∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO， ∠∠EFG=∠EGF， ∠EF=EG； (3)

解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：

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则EH=EF， ∠OE=DE，

∠ED＋EF=OE+EH=OH，

∠∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点， ∠OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°， ∠OD=2EM；∠EHG=45°， ∠∠AOC=∠BOC，OG=OG， ∠∠ODG∠∠OHG（AAS）， ∠OD=OH， ∠ED＋EF＝2EM． 【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．

试卷第19页，共19页