专题研究 １４６ ＺＨＵＡＮＴＩＹＡＮＪＩＵ变变限积分函数的若干问题研究
限积分函数的若干问题研究◎熊良鹏 江文辉 程 苗 （江西科技师范大学数学与计算机科学院，南昌 ３３００３８）
【摘要】以数学分析课程体系中涉及变限积分函数的求题的需要，吕纪荣等［２］、熊良鹏［５］等进一步从不同研究角度导性质为理论基础，探讨了这些性质在极限计算及积分不给出了下列性质：
等式证明两类问题教学中的重要应用．
性质１ 若ｆ在［ａ，ｂ］上连续，且ｕ１【关键词】变限函数；导数；柯西中值定理；常微分方程（ｘ），ｕ２（ｘ）均为可导函数，定义ψａ，ｂ］
【基金项目】江西科技师范大学博士科研启动基金项目５（ｘ）＝ｕ１（ｘ）
ｆ（ｔ）ｄｔ，，ｘ∈［ａ，ｂ］，则ψ３在［（２０１９ＢＳＱＤ０１７）；江西科技师范大学教育教学改革研究项上处处可导，
且∫
ｕ２（ｘ）
ψ５′（ｘ）
＝
ｆ（ｕ２（ｘ））ｕ２′（ｘ）
－
目（ＪＧＹＢ－１９－１００－５４）
ｆ（ｕ１（ｘ））ｕ１′（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ］．
实际上，变限函数的求导问题经常涉足被积函数为多２０１７年全国硕士研究生入学考试数学卷（数学三）第
变量混合的情况，此时我们不能直接按照性质１来求导，而１５大题如下：计算极限
是需要通过变形等值过渡到熟悉的形式，一般拆分和变量替换可实现这一目标．下面我们通过性质２和性质３来对这
ｕ
ｘｌｉｍ
→０＋
∫ｘ０
ｅ
ｘ－ｕｄｕｘ３．
一情况作“抛砖引玉”式介绍．
性质２
若ｆ在［ａ，ｂ］上连续，定义ψ上面的试题主要考查用洛必达法则解决未定式极限的∫６ｘ（ｘ）＝
(ｘ－ｔ)ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ∈［ａ，ｂ］，则ψ
计算，但这类题型的首要技巧和难点一般不在洛必达法则ａ
６
在［ａ，ｂ］上处处可导，且
运用本身，而在于会正确处理与该商式相关的变限函数求 ψ６′（ｘ）＝
∫ｘａ
ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ∈［ａ，ｂ］．导问题．事实上，变限函数的求导是历年硕士研究生入学考证明：被积函数为含有ｘ，ｔ两个变量的情况，不能直接试和各高校数学分析（包括微积分）课程期末考试常见的求导，但可以先利用积分性质拆分，即
高频考点，其涉足了包含极限运算等很多方面．不少教材和ψ文献在总结变限函数的导数时，通常只介绍最基本的四种６（ｘ）＝
情况
［３－４］
对相关的一些情况作了扩充研
＝
∫ｘ
(ｘ－ｔ)ｆ（ｔ）ｄｔ
究［１－２．５］，但往往比较分散，即便有文献，不够系统．本文在归纳总结变限＝ｘ∫
ａｘ
ｘｆ（ｔ）ｄｔ－
ｘ积分函数最常见的求导模式基础上，发散探讨了变限函数∫
ａ
∫ａｔｆ（ｔ）ｄｔ
ｘ
∫ｘａ
ｆ（ｔ）ｄｔ－
ａ
ｔｆ（ｔ）ｄｔ，
求导技巧在极限计算及不等式证明等两类问题中的应用．
因此
一、变限函数的求导规则
ψ（ｘ）＝
(ｘａａ
我们参考华东师范大学数学科学院编写的《数学分析》(ｘ∫ｘ
ｆ（ｔ）ｄｔ－ｘ
∫ｘ
６′ｔｆ（ｔ）ｄｔ)′
＝ｘ教材来温故变限积分函数的定义．
ａ
ｆ（ｔ）ｄｔ)′－
(ｘ
∫
∫ａ
ｔｆ（ｔ）ｄｔ)′
定义［４］
设ｆ在［ａ，ｂ］上可积，由Φ（ｘ）＝
，
＝∫ａｆ（ｔ）ｄｔ＋ｘｆ（ｘ）－ｘｆ（ｘ）
ｘｘ∈［ａ，ｂ］定义了一个以积分上限ｘ为自变量的函数∫
ｘａ
ｆ（ｔ）ｄｔ＝
∫
，称为ａ
变上限函数．类似的，可定义变下限函数ψ（ｘ）＝
ｂ∫ｆ（ｔ）ｄｔ．
ｘ
ｆ（ｔ）ｄｔ，
性质３
若ｆ在［ａ，ｂ］上连续，定义ψ７（ｘ）＝
ｘ∈［ａ，ｂ］．变上限函数和变下限函数统称为变限函数．
ｔ）ｄｔ，ｘ∈［ａ，ｂ］，则ψ３在［ａ，ｂ］上处处可导，且ψ７′∫ｘａ
ｆ（ｘ－
（ｘ）＝进一步，若给定ｆ在［ａ，ｂ］上连续，为满足深入处理问
ｆ（ｘ－ａ），ｘ∈［ａ，ｂ］．
数学学习与研究 ２０２１５
.com.cn. All Rights Reserved. ＺＨＵＡＮＴＩＹＡＮＪＩＵ证明：被积函数同样为含有ｘ，ｔ两个变量的情况，不能直接求导，也不方便利用积分性质拆分，需要作变量替换进行转化．为此，
令ｘ－ｔ＝ｕ，则ψ７（ｘ）＝
证明
专题研究 １４７此题要证两个数的差大于０，并且这两个数都
是被积函数不明时的定积分，很难具体地进行计算，因此可以考虑引入辅助函数，利用求导作为工具加以处理．
＝－＝
因此ψ７′（ｘ）＝
∫ｆ（ｘ－ｔ）ｄｔ
ｘａ
令函数Ｇ（ｔ）＝下证Ｇ（ｔ）＞０．
(∫
ｔ
０
τ（ｕ）ｄｕ
)∫τ（ｕ）ｄｕ，τ∈［０，１］．
２
－
ｔ
０
３
∫
ｘ－ａ
∫
０
ｘ－ａ
ｆ（ｕ）ｄｕ
由于Ｇ（０）＝０，所以只需证明Ｇ（ｔ）在［０，１］上单调递增即可．
考察导数Ｇ′（ｔ）＝２τ（ｔ）
０
ｆ（ｕ）ｄｕ，
上述性质１～性质３作为重要工具广泛适用于关联变限积分函数求导的各类不同的问题中．在下一环节，我们将探讨并列举变限求导性质在极限计算及不等式证明两个专门数学对象中的应用．
二、应用举例
(∫
ｘ－ａ
０
ｆ（ｕ）ｄｕ′＝ｆ（ｘ－ａ）．
)
τ（ｔ）２
为了讨论方便，这里取ζ（ｔ）＝τ２（ｔ）
[(∫τ（ｕ）ｄｕ)－τ（ｔ）]，ｔ∈［０，１］．
ｔ０
２
(∫τ（ｕ）ｄｕ)
ｔ０
ｔ
－τ３（ｔ）＝
ζ′（ｔ）＝２τ（ｔ）[１－τ′（ｔ）]＞０，因此函数ζ（ｔ）单调递增，故有ζ（ｔ）＞ζ（０）＝０．
]，ｔ∈［０，１］，则
[２(∫τ（ｕ）ｄｕ)－
０
ｘ.com.cn. All Rights Reserved.ｘ→０＋
例１ 计算ｌｉｍ
∫ｅ
ｘ０
ｕ
ｘ－ｕｄｕ
３这表明了Ｇ′（ｔ）＝τ（ｔ）ζ（ｔ）＞０，故得证．
．
三、结 论
熟练掌握连续变限积分函数的求导技巧，对解决微积分体系中的很多重要问题起到关键作用．本文从各类大中型考试中关联变限函数并出现频率较高的两类问题出发，进一步归纳总结了变限函数求导的方法和技巧，并用例子的形式强化了对这些方法的应用，是对数学分析（包括高等数学）课程教学的有益探索和补充．
解 这是一个典型的
０
型未定式极限，因此可以考虑０
用洛必达法则解决，但由于分子的结构是一个需要换元的变限函数形式，为了方便求导，需要按照性质３的模式对分子进行化简处理．设ψ（ｘ）＝ｕ＝ｗ，则
ψ（ｘ）＝－
＝
∫ｅ
ｘ０
ｕ
ｘ－ｕｄｕ，作换元，令ｘ－
此时，由洛必达法则有：ｌｉｍ
∫ｅ
ｘ０
∫ｅ
０ｘ
ｘ－ｗ
ｗｄｗｗｄｗ＝ｅ
ｘ
【参考文献】
ｘ－ｗ
∫ｅ
ｘ０
－ｗ
ｗｄｗ，
［１］曲健民，杨高全．关于积分上限函数的几个定理［Ｊ］．数学理论与应用，２００４，２４（４）：４７－４８．
［２］吕纪荣，王士虎．关于变限积分函数求导问题的研
ｘ→０＋
∫ｘ
０
ｅｕ
ｘ－ｕｄｕｘ３＝ｌｉｍ
ｅｘ
ｘ
ｘ→０＋
∫ｅ
ｘ０－ｗ
－ｗ
ｗｄｗ
究与应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１５，１９：１３４－１３５．
［３］同济大学数学系．高等数学（上册）：第６版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８：２３７－２３８．
［４］华东师范大学数学系．数学分析（上册）：第５版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：２０４－２０６．
［５］熊良鹏．一元连续变限函数的求导［Ｊ］．五邑大学学报（自然科学版），２０１４，２８（１）：５－９．
＝ｌｉｍ
ｘ→０＋
∫ｅ
０
ｘ３ｗｄｗｘ３２ｅ－ｘｘ２
＝ｌｉｍ＝．
３ｘ→０＋３ｘ例２ 设函数τ（ｕ）可导，τ（０）＝０，０＜τ′（ｕ）＜１，ｕ∈［０，１］．求证
(∫τ（ｕ）ｄｕ)
１０
２
－
∫τ（ｕ）ｄｕ＞０．
１０
３
数学学习与研究 ２０２１５
