1．在△ABC中，AB＝AC＝6
，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的
例题演练
一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．
【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．
∵AB＝AC＝6∴BC＝
，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D， AB＝12，BD＝CD＝6，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝BD＝DC＝6， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴AE＝AF
∵∠DAH＝∠FAH＝45°， ∴EH＝HF， ∵AE：DE＝2：1， ∴AE＝4，DE＝2， ∴BE＝
＝
＝2
，
∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴CF＝BE＝2
，
∵EG＝CG，EH＝FH， ∴GH＝CF＝
（2）结论：∠DGH＝90°是定值．
．
理由：连接BE，CF，设CF交BE于点O，BE交AC于J．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF， ∵∠AJB＝∠CJO， ∴∠COJ＝∠BAJ＝90°， ∴CF⊥BE，
∵EH＝HF，EG＝GC， ∴GH∥CF，
∵CD＝DB，CG＝GE， ∴DG∥BE， ∴DG⊥GH，
∴∠DGH＝90°．
（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JG．
由题意AJ＝JC＝3∵∠BAJ＝90°， ∴BJ＝
＝
＝3
，
，AB＝6
，
∵AJ＝JC，EG＝CG， ∴JG＝AE＝2， ∵BG≤BJ+JG， ∴BG≤3
+2，
+2．
∴BG的最大值为3
2．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AC的中点，EF＝EC，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，连接FG、FC；点D为BC中点，连接GD，直线GD与直线CF交于点N． （1）如图1，若∠FCA＝30°，DC＝
，求CF的长；
（2）连接BG并延长至点M，使BG＝MG，连接CM． ①如图2，若NG⊥MB，求证：AB＝
CM；
②如图3，当点G、F、B共线时，∠BCH＝90°，连接CH，CH＝BC，请直接写出
的值．
【解答】解：（1）如图1中，连接DE，过点E作EJ⊥CF于J．
∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ACB＝∠B＝45°， ∵AE＝EC，BD＝DC， ∴DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝90°， ∴∠EDC＝∠ECD＝45°， ∴ED＝EC， ∵CD＝
，
，
∴EC＝ED＝EF＝
∵∠ECF＝30°，EJ⊥CF， ∴CJ＝FJ＝EC•cos30°＝， ∴CF＝2CJ＝3．
（2）①如图2中，连接DE，EN．
∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∵AE＝EC，BD＝DC， ∴DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝90°， ∴∠EDC＝∠ECD＝45°， ∴ED＝EC，
∵∠GEF＝∠DEC＝90°， ∴∠GED＝∠FEC， ∵EG＝EF，ED＝EC， ∴△GED≌△FEC（SAS），
∴∠EGD＝∠EDG＝∠EFC＝∠ECF， ∵DG＝CF，∠EFC+∠EFN＝180°， ∴∠EGN+∠EFN＝180°， ∴E，G，N，F四点共圆，
∴∠ENF＝∠EGF＝45°，∠GNE＝∠EFG＝45° ∴∠ENC＝∠ENG＝45°， ∴∠GNC＝90°， ∵EG＝EC，
∴△NEC≌△NEG（AAS）， ∴NG＝NC， ∵NG⊥BM， ∴∠NGB＝90°， ∵BG＝GM，BD＝DC， ∴DG∥CM，DG＝CM，
∴∠M＝∠DGB＝90°， ∴四边形CMGN是矩形， ∵NG＝NC，
∴四边形CMGN是正方形，
∴NC＝CM＝GN＝MG＝2CF，设CF＝DG＝DN＝FN＝m，则BG＝GM＝2m， ∴BD＝∴BC＝2DB＝2∴AB＝∴
＝
BC＝＝CM．
＝m， m， ，
＝
m，
∴AB＝
②如图3中，
∵CH＝BC，
∴可以假设BC＝5k，CH＝4k．则AC＝∴AE＝EC＝EF＝EG＝∴FG＝
EG＝k，
k，
k，
∵CH⊥CB，∠ACB＝45°， ∴∠BCH＝90°， ∴∠ACH＝45°，
∵EF＝EC， ∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠HCF＝∠HCA+∠ECF＝45°+∠ECF，∠HFC＝∠EFG+∠EFC＝45°+∠EFC， ∴∠HCF＝∠HFC， ∴HF＝HC＝4k，
∴＝＝．
3．已知△ABC是等边三角形，CD⊥AB交AB于M，DB⊥BC，E是AC上一点，EH⊥BC，垂足为H，EH与CD交于点F，连接BE． （1）如图1，若EC＝AC，EH＝6，求BE的长；
（2）如图2，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，AG交CD于Q，求证：BG＝CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接FG，交BE于N，连接MN，若AGF的面积为49
，求MN的长．
＝，△
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∵EH⊥BC， ∴tan∠ACB＝∴HC＝
＝2
＝， ＝，
，
∵cos∠ACB＝∴EC＝4
，
∵EC＝AC， ∴AC＝10
，
∴BC＝AC＝10，
，
＝2
；
∴BH＝BC﹣CH＝8∴BE＝
＝
（2）如图2，过点A作AP⊥BD，交BD的延长线于P，
∴∠APB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BCD＝30°，AB＝AC＝BC，∠AMC＝∠BMC＝90°， 又∵BD⊥BC，
∴∠ABP＝30°＝∠ACD， 在△ACM和△ABP中，
，
∴△ACM≌△ABP（AAS）， ∴AP＝AM，BP＝CM，
∵将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处， ∴AG＝AF，
在Rt△APG和Rt△AMF中，
，
∴Rt△APG≌Rt△AMF（HL）， ∴PG＝MF，
∴BP﹣PG＝CM﹣MF， ∴BG＝CF；
（3）如图3中，连接AD，延长BD到S，使得DS＝SD，则DB＝DS＝DA，∠ADS＝2∠ABD＝∠S＝60°，则△ADS是等边三角形，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠S＝60°， ∴DQ∥AS，
∴AQ：QG＝SD：DG＝5：3，设AD＝DB＝5k，DG＝3k，则BG＝CF＝2k， ∴EF＝FC＝2k，FH＝k，BE＝2∴CD＝2DA＝2k，FD＝8k，AB＝5
k， k，AE＝3
k，
由（2）可知：Rt△APG≌Rt△AMF， ∴∠PAB＝∠MAF， ∴∠GAF＝∠PAB＝60°， 又∵AG＝AF，
∴△AGF是等边三角形，
在△DFG中，∠FDG＝60°，由DG＝3k，DF＝8k，可得FG＝7k ∵∠FCE＝∠FEC＝30°， ∴EF＝FC，
∵EH⊥BC，DB⊥BC， ∴EF∥BG， ∴∠NEF＝∠NBG，
∵EF＝CF＝BG，∠ENF＝∠BNG， ∴△NEF≌△NBG（ASA）， ∴BN＝NE， ∵BM＝AM， ∴MN＝AE＝∵△AGF的面积为49∴
FG2＝49
，
， ，
∴FG＝7k＝14，
∴k＝2， ∴MN＝3
．
4．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图1，点D在BC上，DE⊥BC于点D，连接BE，若∠DBE＝60°，AC＝4BD＝2
，求线段AE的长；
，
（2）如图2，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，F是CD的中点，连接BF，若∠BAD＝∠CBF，求证：∠DBF＝45°；
（3）如图3，A点关于直线BC的对称点为A'，连接A'C，点D是△A'AC内部一动点且∠ADC＝90°，若AC＝4，当线段A'D最短时，直接写出△ABD的面积． 【解答】（1）解：如图1中，过点E作EQ⊥AB，交AB延长线于点Q，则四边形BQED是矩形，
∴BD＝QE＝
，
在Rt△BQE中，∠QBE＝30°， ∴
，
，
在Rt△ABC中，∴AQ＝10， 在Rt△AQE中，
，
．
（2）如图2中，在BF上取一点M，使得BM＝AD，并且延长MF至点H，使MF＝FH，连接CM，DH．
在△BAD和△CBM中，
，
∴△BAD≌△CBM（SAS）， ∴BD＝CM，∠ABD＝∠BCM， ∵F是CD的中点， ∴DF＝CF，
在△DFH和△CFM中，
，
∴△DFH≌△CFM（SAS）， ∴DH＝CM，∠H＝∠FMC， ∴DH＝BD，∠H＝∠FMC＝∠DBH， 又∵∠FMC是△BMC的外角，
∴∠FMC＝∠BCM+∠MBC＝∠ABD+∠MBC， ∵∠ABD+∠MBC+∠DBF＝90°， ∴2∠DBF＝90°， ∴∠DBF＝45°．
（3）如图3中，取AC的中点F，连接A′F，DF，过点F作FT⊥AB于T．
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AC＝4， ∴AB＝AC＝
AC＝2
，∠BAC＝45°，
∵AF＝FC＝2，FT⊥AB， ∴AT＝FT＝
AF＝
，
＝2
，
，
∵AB＝BA′＝2∴BT＝AT＝∴A′F＝
，A′T＝3
＝
∵∠ADC＝90°，AF＝CF， ∴DF＝AC＝2， ∵DA′≥A′F﹣DF， ∴DA′≥2
﹣2，
∴当A'，D，F共线时，DA′的值最小，此时FD′＝DF＝2， 过点D′作D′R⊥AA′于R， ∵FT⊥AB， ∴D′R∥FT， ∴∴
＝＝
﹣
， ， ，
∴D′R＝
∴S△D′AB＝×2
×（﹣）＝．
5．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．
（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+
A′C最小时，求S△A′BC．
【解答】解：（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：
∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE， ∴∠EBD＝90°， ∵∠ABE＝75°， ∴∠ABD＝15°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠DBC＝30°， ∴在直角△BDG中有DG＝∵∠ACB＝45°，
∴在直角△DCG中，CG＝DG＝2，
＝2，
＝
，
∴BC＝BG+CG＝∴AC＝
BC＝
， ；
，
（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG＝
证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图：
∴∠END＝90°， 由旋转可知∠EBD＝90°， ∴∠EDB＝45°
∴∠END＝∠EBD＝90°， ∴E，B，D，N四点共圆，
∴∠BNE＝∠EDB＝45°，∠NEB+∠BDN＝180° ∵∠BDC+∠BDN＝180°，∠BCD＝45°， ∴∠BEN＝∠BDC， ∴∠BNE＝45°＝∠BCD， 在△BEN和△BDC中，
，
∴△BEN≌△BDC（AAS）， ∴BN＝BC， ∵∠BAC＝90°，
在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线， ∵∠BAC＝∠END＝90°， ∴EN∥AB， ∵A是CN的中点， ∴F是EC的中点，
∵G是BC的中点， ∴FG是△BEC的中位线， ∴FG∥BE，FG＝BE， ∵BE⊥BD， ∴FG⊥BD， ∵∠ABD＝30°， ∴∠BFG＝60°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BGF＝75°， 设AC＝a，则AB＝a， 在Rt△ABD中，AD＝∴FG＝BE， ∴FG＝
，
，BD＝BE＝
，
∵GM⊥AB，
∴△BGM是等腰三角形， ∴MG＝MB＝
在Rt△MFG中，∠MFG＝60°， ∴
MF＝MG，
，
，
，
∴MF＝
∴BF＝BM+MF＝
在Rt△BFH中，∠BFG＝60°， ∴FH＝
＝
a， ﹣
a＝，
，
∴HG＝FG﹣FH＝又∵CD＝∴
＝
，
＝
∴HG＝；
，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接
（3）设AB＝a，则BC＝DN，如图3，
由旋转可知A′B＝AB＝a， ∵
＝
＝
，
＝
＝
，
∴，
又∠A'BN＝∠CBA'， ∴△A′BN∽△CBA′， ∴∴A'N＝
＝A'C，
最小，即是A'D+A'N最小，此时
，
根据旋转和两点之间线段最短可知，D、A'、N共线，即A'在线段DN上，
设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，
∵D，N分别是AC，BC的中点， ∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥AB， ∵AB⊥AC， ∴DN⊥AC，
∵∠A＝∠A''FA＝∠A''DA＝90°， ∴四边形A''FAD是矩形， ∴AF＝A''D，A''F＝AD＝2， ∵又A''B＝AB＝4， 设AF＝x，
在直角三角形A''FB中，A''B2＝A''F2+BF2， ∴42＝22+（4﹣x）2， 解得x＝
．
∴此时S△A''BC＝S△ABC﹣S△AA''B﹣S△A''AC＝AB•AC﹣AB•A''F﹣AC•A''D＝×4×4﹣×4×2﹣×4×（4﹣2
）＝4
﹣4．
．以
6．△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点． （1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．
【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴AD＝
BD＝4
，
∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF＝60°，
∴∠EAG＝∠GAF＝30°， ∴EG＝GF， ∵AE＝2
，
， ＝
＝2
，
∴DE＝AE＝2∴BE＝
∵△ABC，△AEF是等边三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴CF＝BE＝2
，
∵EN＝CN，EG＝FG， ∴GN＝CF＝
（2）结论：∠DNM＝120°是定值．
．
理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，
∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°， ∵EN＝NC，EM＝MF， ∴MN∥CF， ∴∠ENM＝∠ECF， ∵BD＝DC，EN＝NC， ∴DN∥BE， ∴∠CDN＝∠EBC， ∵∠END＝∠NDC+∠NCD，
∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．
（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．
∵AJ＝CJ，EN＝NC，
∴JN＝AE＝∵BJ＝AD＝4∴BN≤BJ+JN， ∴BN≤5
，
， ，
∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．
∵KJ＝AJ•tan30°＝∴KN＝
，
，JN＝
，
在Rt△HKN中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°， ∴HN＝NK•sin60°＝
×
＝， ×＝7
．
∴S△ADN＝•AD•NH＝×4
7．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，过点B作BD⊥AC交AC于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE＝BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H． （1）若BF＝4，求△ADQ的面积； （2）求证：CH＝2BQ；
（3）如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC交AC于点R．当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．
【解答】（1）解：∵AB＝BC＝6，∠ABC＝90°， ∴AC＝
AB＝6
，
∵BD⊥AC， ∴AD＝CD＝BD＝3
，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴Q到AB，BC边的距离相等， ∴
＝
＝
＝＝，
∴AQ＝AF，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝6，BF＝4， ∴AF＝∴AQ＝×2
﹣＝
，
＝
＝，
＝
，
＝2
，
在Rt△ADQ中，∠ADQ＝90°，DQ＝∴S△ADQ＝•AD•DQ＝×3
×
当BF＝4时，△ADQ的面积为；
（2）证明：过点C作CG⊥AC，交AC的延长线于G，
∵CG⊥AC，BD⊥AC， ∴BD∥CG， ∵AD＝CD， ∴AQ＝GQ，
∴DQ是△ACG的中线， ∴CG＝2DQ，
∵∠ACB＝∠BAC＝45°，∠DCG＝90°， ∴∠BCG＝∠DCG﹣∠BCD＝45°， ∴∠EAH＝∠GCF， ∵AF⊥EH，
∴∠BAF+∠AEH＝90°，
∵∠BAF+∠BFA＝90°，∠BFA＝∠CFG， ∴∠AEH＝∠CFG， ∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF， ∴AE＝CF，
在△HAE与△GCF中，
，
∴△HAE≌△GCF（ASA）， ∴AH＝CG， ∴AH＝2DQ，
∵AC＝2BD＝AH+CH＝2（BQ+DQ）＝2BQ+2DQ， ∴CH＝2BQ；
（3）解：如图2中，连接BM，过点A作AK⊥AB，且AK＝AB，连接NK，
∵BE＝BF＝3，∠EBF＝90°， ∴EF＝
BE＝3
，
∵M为EF中点， ∴BM＝EM＝FM＝∴∠BAK＝90°，
∵AM绕点A逆时针旋转90°得AN， ∴AM＝AN，∠MAN＝90°， ∴∠BAM＝∠KAN， 在△ABM与△AKN中，
，
∴△ABM≌△AKN（SAS）， ∴BM＝KN＝
，∠ABM＝∠AKN，
为半径的圆上移动， ，
∴N在以K为圆心，
∴当且仅当K，N，R三点共线时，NR长度最小， ∵当NR取最小值时，∠RAK＝∠RNA＝45°， ∴AR＝CR＝3∵NK＝∴RN＝
，
，AR＝CR＝3
＝
，
＝
，
，∠ABM＝∠AKN＝45°，
∴AN＝CN＝
∵MN＝AN＝3，∠ABM＝45°，∠FBM＝45°，
∴F在AB上，E在CB延长线上， 如图3中，过M作MH⊥BE于H，
∴∠MHB＝90°，∠HMB＝∠HBM＝45°， ∴MH＝BH＝
BM＝，
，
＝
+3+，
+3
．
＝
，
∴CH＝BC+BH＝6+＝
在Rt△HCM中，∠MHC＝90°，MC＝∴L△CMN＝CM+CN+MN＝
+
∴当NR最小时，△CMN的周长为：
8．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点F为DE中点，连接CF．
（1）如图1所示，若点D正好在BC边上，求证：∠B＝∠ACE；
（2）如图2所示，点D在BC边上，分别延长CF，BA，相交于点G，当tan∠EDC＝3，CG＝5时，求线段BG的长度； （3）如图3所示，若AB＝4
，AE＝2
，取CF的中点N，连接BN，在△ADE
绕点A逆时针旋转过程中，求线段BN的最大值．
（1）证明：如图1中，
BAC＝∠DAE＝90°， BAD＝∠CAE， AB＝AC，AD＝AE， BAD≌△CAE（SAS）， ACE＝∠B． 2）解：如图2中．过点G作GH⊥BC于H．
ACE＝∠ACB＝45°， DCE＝90°， tan∠EDC＝
＝3，
CD＝m，EC＝3m， ABD≌△ACE，
【解答】∵∠∴∠∵∴△∴∠
（
∵∠∴∠∵∴可以假设∵△∴BD＝EC＝3m， ∴BC＝4m，AB＝AC＝2
m，
∵DF＝FE，∠DCE＝90°， ∴CF＝DF＝EF， ∴∠FDC＝∠FCH，
∴tan∠GCD＝tan∠EDC＝3， ∴
＝3，
∵HB＝GH， ∴BH＝3CH， ∴D与H共点， ∴GD＝3m，CG＝∴m＝
，
， ＝．
＝
，
＝
m＝5，
∴AC＝AB＝2∴AG＝
∴BG＝AB+AG＝3
（3）解：如图3中，取AC的中点G，连接AF，BG，NG．
∵AE＝AD＝2∴DE＝
，∠EAD＝90°，
，
AF＝2
∵EF＝FD， ∴AF＝DE＝
，
∵AG＝GC，CN＝NF， ∴GN＝AF＝
，
∵AB＝AC＝4∴BG＝
，AG＝GC＝2＝
，∠BAG＝90°，
＝2
，
∵BN≤BG+GN， ∴BN≤
，
．
∴BN的最大值为
9．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．
（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度； （2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB＝
AB+GC；
（3）如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当GB﹣GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．
【解答】（1）解：如图1中，过点F作FH⊥AE于H．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝4，BC＝
AB＝2
，
∵AE＝EC＝AC＝2，EG＝GC，
∴EG＝CG＝1，
∵∠AFE＝90°，∠AEF＝30°， ∴EF＝AE•cos30°＝∴FH＝EF＝
，
FH＝，
，HE＝
∴GH＝HE+EG＝， ∴FG＝
（2）证明：如图2中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．
＝
＝
．
∵AM＝MC，∠ABC＝90°， ∴BM＝AM＝CM， ∵AC＝2AB， ∴AB＝AM＝BM，
∴∠BAM＝∠AMB＝∠ABM＝60°， ∴∠BMC＝120°，
∵AE＝2AF，∠EAF＝60°， ∴∠BAF＝120°+∠EAC， ∵AM＝MC，EG＝GC， ∴GM＝AE＝AF，GM∥AE， ∴∠CMG＝∠EAC，
∴∠BMG＝120°+∠CMG＝120°+∠EAC＝∠BAF， ∴△BAF≌△BMG（SAS）， ∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG， ∴∠FBG＝∠ABM＝60°，
∴△BFG是等边三角形， ∴BG＝FG， ∴BG＝EF+EG＝
（3）解：如图3中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．在MC上取一点D，使得MD＝MG，连接DG，BD．
AE+CG＝
AB+CG．
同法可证：△BAF≌△BMG（SAS）， ∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG， ∴∠FBG＝∠ABM＝60°， ∴△BFG是等边三角形， ∴BG＝FG，
∵AM＝CM，EG＝CG， ∴MG＝AE，
∵AB＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝6，AM＝CM＝3， ∵AE＝AC＝3，MG＝， ∴MD＝MG＝， ∵
＝
＝，∠DMG＝∠GMC，
∴△MDG∽△MGC， ∴
＝
＝，
∴DG＝CG，
∴GB﹣CG＝GB﹣DG≤BD，
∴当B，D，G共线时，BG﹣CG的值最大，最大值为BD的长， ∴直线AB，AC，BG围成的三角形为△ABD， ∵AD＝AM+DM＝3+＝∴S△ABD＝×
×
， ＝
，
．
∴当GB﹣GC最大时，直线AB，AC，BG所围成三角形的面积为
10．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接BE，交CD于点F．
（1）如图1，若∠ABE＝15°，BC＝
+1，求DF的长；
（2）如图2，若BF＝AC，过点D作DG⊥BE于点G，求证：BE＝CE+2DG； （3）如图3，若R为射线BA上的一个动点，以BR为斜边向外作等腰直角△BRH，M为RH的中点．在（2）的条件下，将△CEF绕点C旋转，得到△CE'F'，E，F的对应点分别为E'，F'，直线MF'与直线AB交于点P，tan∠ACD＝，直接写出当MF'取最小值时
的值．
【解答】（1）解：如图1中，过点F作FH⊥BC于H．
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°， ∵∠DBC＝45°，
∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°， ∵FH⊥CH， ∴∠FHC＝90°， ∴∠HFC＝∠HCF＝45°， ∴CH＝FH， 设FH＝CH＝m， ∵∠ABE＝15°，
∴∠FBC＝45°﹣15°＝30°， ∴BH＝∴
HF＝
m，
m+m＝+1，
∴m＝1， ∴CF＝∵CD＝
CH＝BC＝
，
， ﹣
＝
．
∴DF＝CD﹣CF＝
（2）证明：如图2中，连接DE，过点D作DH⊥DE交BE于H．
∵∠ADC＝∠FDB＝90°，DB＝DC，BF＝AC， ∴Rt△BDF≌Rt△CDA（HL）， ∴∠DBF＝∠ACD， ∵∠BFD＝∠CFE， ∴△BFD∽△CFE， ∴
＝
，
∴＝，
∵∠DFE＝∠BFC， ∴△DFE∽△BFC， ∴∠DEF＝∠BCF＝45°， ∵DH⊥DE， ∴∠HDE＝90°，
∴∠DHE＝∠DEH＝45°， ∴DH＝DE，
∵∠BDC＝∠EDH＝90°， ∴∠BDH＝∠CDE， ∵DB＝DC，DH＝DE， ∴△BDH≌△CDE（SAS）， ∴BH＝EC，
∵DH＝DE，DG⊥EH， ∴GH＝EG， ∴DG＝EH，
∴BE＝BH+HE＝EC+2DG．
（3）解：如图3中，过点M作MJ⊥BC于J，过点P作PK⊥BC于K．
∵△BHR，△DBC都是等腰直角三角形， ∴∠DBC＝∠HBR＝45°， ∴∠HBC＝90°，
∵∠H＝∠HBJ＝∠MJB＝90°， ∴四边形BHMJ是矩形，
∴BH＝MJ，HM＝BJ， ∵BH＝HR，HM＝MR， ∴MJ＝2BJ， ∴tan∠MBJ＝
＝2，
∴点M的在射线BM上运动，
∴当C，F′，M共线，且CM⊥BM时，F′M的值最小． 设AD＝m， ∵tan∠ACD＝＝
，
m，
∴CD＝BD＝3m，DF＝AD＝m，CF＝CF′＝2m，BC＝3∵∠CMB＝90°，tan∠CBM＝∴BM＝∴BJ＝HM＝∴MR＝
m， m，CM＝
＝2，
m，
m，
m，JM﹣BH＝HR＝
设BK＝PK＝n，CK＝2n， ∴n＝
m，
m，CK＝2
m，PC＝m﹣2m，
m，
∴BK＝PK＝
∴PF′＝PC﹣CF′＝
∴＝＝．
11．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，连接AD，F为AD中点，连接CF并延长交AB于点G，连接EF． （1）当∠DAB＝30°，BE＝2时，求DC的值；
（2）如图2，当BE：AG＝3：4时，试判断AG2、GE2、CD2之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝4，M是AB中点，连接CM，三角形内有一点P到点M的距离是1，连接BP，将BP绕点P逆时针旋转90°得到PN，当线段AN长度取最大值时，设直线PN与直线BC的交点为H，请直接写
出的值．
【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，DE⊥AB， ∴△DEB为等腰直角三角形， ∴DE＝BE＝2，BD＝2
，
在Rt△DAE中，∠BAD＝30°，DE＝2， ∴AE＝2
，AD＝4，
+2，
AB＝
＝
，
；
∴AB＝AE+BE＝2
∴BC＝AB•sin45°＝∴DC＝BC﹣BD＝
（2）如图2，过点B作BM⊥AB，且BM＝AG，连接CE、CM、EM， ∵F是AD的中点，△ACD和△AED是直角三角形， ∴AF＝DF＝CF＝EF，
∴∠FAC＝∠FCA，∠FAE＝∠FEA，
∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，∠EFD＝∠FAE+∠FEA＝2∠FAE，
∴∠CFE＝∠CFD+∠EFD＝2∠FAC+2∠FAE＝2（∠FAC+∠FAE）＝2∠CAB＝90°， ∴∠FCE＝∠FEC＝45°， ∵∠ABM＝90°， ∴∠CBM＝45°，
在△CAG和△CBM中，
，
∴△CAG≌△CBM（SAS）， ∴CG＝CM，∠ACG＝∠BCM， ∵∠ACG+∠BCG＝90°，
∴∠BCM+∠BCG＝90°，即∠MCG＝90°， ∴∠GCE＝∠MCE＝45°， 在△GCE和△MCE中，
，
∴△GCE≌△MCE（SAS）， ∴GE＝ME，
根据题意，设BE＝3x，则AG＝BM＝4x， ∴ME＝
∴GE＝ME＝5x，
∴AB＝AG+GE+BE＝4x+5x+3x＝12x， ∴AC＝BC＝∵BD＝
AB＝6
x， x﹣3
x＝3
x，
x）2＝18x2，GE2＝（5x）2＝25x2，
x， ＝5x，
BE＝3
∴CD＝BC﹣BD＝6
∴AG2＝（4x）2＝16x2，CD2＝（3即AG2+CD2＝GE2； （3）如图3，连接CN、BN，
∵△ABC为等腰直角三角形，M为AB的中点， ∴AM＝BM＝CM＝2，CM⊥AB，BC＝
AB＝2
，
根据题意可知，BP＝PN，∠BPN＝90°， ∴BN＝
BP，∠PBN＝∠PNB＝45°，
∴∠MBC﹣∠PBC＝∠PBN﹣∠PBC， 即∠MBP＝∠CBN，
∵＝＝，
∴△BMP∽△BCN， ∴∠BMP＝∠BCN，∵MP＝1， ∴CN＝
，
为半径的圆，
＝
，
∴点N的运动轨迹为以C为圆心，
∴当且仅当A、C、N三点共线时AN取最大值，
如图4，过点N作NQ⊥MC交MC延长线于Q，过H作HO⊥BN于点O， ∵AN取最大值时∠BNP＝∠BCN＝90°， ∴P点在CM上， ∵∠BPN＝90°， ∴∠NPQ＝∠PBM， 在△PQN和△BMP中，
，
∴△PQN≌△BMP（AAS）， ∴BM＝PQ＝2，PM＝QN＝1， ∴CP＝1，
∴S△APN＝S△APC+S△NPC＝CP•AM+CP•QN＝×1×（2+1）＝， ∵∠BOH＝∠BCN＝90°，∠OBH＝∠CBN， ∴△OBH∽△CBN， ∴即
＝＝
， ，
∴BO＝2OH， ∵∠PNB＝45°， ∴OH＝ON， ∴BO＝2ON， ∵BN＝
＝
，
＝
，
∴BO+ON＝3ON＝3OH＝
即OH＝，
＝，
∴S△BHN＝BN•OH＝
∴＝＝．
12．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．
（1）如图1所示，若BC＝4，在D点运动过程中，当tan∠BDE＝CD的长；
（2）如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF＝CF；
时，求线段
（3）如图3，若AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，
PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°
P为线段CC′上一点，且CC′＝
得到BQ，连接PQ，K为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．
【解答】解：（1）如图1，连接BE， ∵AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAD+∠BAE， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE（同角的补角相等）， 在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠ABE＝∠C，BE＝CD， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠C+∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠ABC＝90°， ∴BE⊥BC，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝
＝
，
设BE＝8x＝CD，则BD＝11x， ∵BC＝BD+CD，BC＝4， ∴11x+8x＝4，
解得x＝∴CD＝8×
， ＝
；
（2）证明：如图2，连接BE，过点A作AG⊥AF，交CF于点G， 由（1）得，BE⊥BC， ∵点F是DE的中点，
∴BF＝DE（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）， 同理AF＝DE， ∴BF＝AF， ∴∠ABF＝∠BAF，
∵∠BAC＝90°，点M在CA的延长线上， ∴∠BAM＝90°＝∠BAF+∠MAF， 在Rt△ABM中，∠ABM+AMB＝90°， ∴∠AMB＝∠MAF， ∴FM＝AF， ∴FM＝BF＝DF，
∴∠BMD＝∠FDM，∠MBD＝∠FDB，
在△BDM中，∠BMD+∠MBD+∠BDM＝180°， ∴∠BMD+∠MBD+∠FDB+∠FDM＝180°， ∴2∠FDM+2∠FDB＝180°， ∴∠FDM+∠FDB＝90°＝∠BMD， ∴MD⊥BD，
∴∠AMN＝∠ANM＝∠BMD＝45°， ∴AM＝AN，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS）， ∴∠ABM＝∠ACN，
同理△ABF≌△ACG（ASA）， ∴BF＝CG，AF＝AG，EG＝
AF，
∵AD＝AF，
∴CG＝AD，
∴AD+BE＝GF+BF＝GF+CG＝CF， 故AD+BF＝CF；
（3）如图3，在AC上取点M，使AC＝
AM，即构造∠ABM＝30°，∠AMB＝60°
的Rt△ABM，将BM绕点B顺时针旋转60°得BN，连接MN，R为MN的中点， ∵AB＝2
，AB＝AC，
﹣2，
∴AM＝MR＝2，CM＝AC﹣AM＝2过点C作CT⊥MR于点T，
由BM绕点B顺时针旋转60°得BN知，△BMN为等边三角形， ∴∠BMN＝60°，
∴∠CMT＝180°﹣∠AMB﹣∠BMN＝60°， ∴MT＝CM•cos60°＝CM＝∵RT＝MR﹣MT＝3﹣∴CT＝RT，
即△RCT为等腰直角三角形， ∴CR＝
CT＝3
﹣
， ，
﹣1，CT＝MT•tan60°＝MT•
＝3﹣
，
∵∠MCP＝∠ACC'，∠CAC'＝∠CMT＝60°， ∴△MCD∽△ACC'， ∴PM＝CM＝2
﹣2，
由旋转知△BMN和△BPQ都是等边三角形，R和K分别是它们一条边上的中点， ∴
＝
，∠MBR＝∠PBK＝30°，
即∠MBP+∠PBR＝∠RBK+∠PBR， ∴∠MBP＝∠RBK， ∴△BKR∽△BPM， ∴
＝
＝
，
，
即RK＝PM＝3﹣
若C、K、R三点不共线则围成三角形， 根据三角形三边关系CR+RK＞CK， ∴当点C、K、R三点共线时，CK值最大，
此时CK＝CR+RK＝3﹣+3﹣．
13．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．现将△DCE绕点C旋转． （1）如图1，若A、D、E三点共线，AD＝
，求点B到直线CE的距离；
（2）如图2，连接AE、BD，点F为线段BD的中点，连接CF，求证：AE⊥CF； （3）如图3，若点G在线段AB上，且AC＝8，AG＝7请直接写出
OC+
OA+
OG的最小值．
，在△ACG内部有一点O，
【解答】解：（1）如图1，作BG⊥CE交CE延长线于G， ∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 又∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△CDA≌△CEB（SAS）， ∴BE＝AD＝
，∠CEB＝∠CDA，
∵∠CDE＝45°，
∴∠CDA＝135°＝∠CEB，
∴∠GEB＝180°﹣∠CEB＝180°﹣135°＝45°， ∴BG＝BE•sin45°＝
×
＝；
，
即点B到直线CE的距离为
（2）如图2，延长DC，使CH＝DC，连接BH，设EA交CF于O， ∵
＝＝
，∠CDF＝∠HDB，
∴△CDF∽△HDB， ∴∠FCD＝∠BHD， ∴BH∥CF，
∵∠HCB＝∠ECH+∠ECB，∠ECA＝∠ECB+∠BCA，∠ECH＝∠BCA＝90°， ∴∠HCB＝∠ECA， 又∵CH＝CE，BC＝AC， ∴△HCB≌△EAC（SAS）， ∴∠BHC＝∠CEA， ∵∠BHC＝∠FCD， ∴∠BHC＝∠FCD＝∠CEA，
∵∠ECF+∠FCD＝∠ECD＝90°， ∴∠ECA+∠ECF＝90°，
∵∠CEA+∠ECF+∠EOC＝180°， ∴∠EOC＝90°， ∴AE⊥CF；
（3）如图3，OG逆时针旋转90°且O'G＝2OG，即OO'＝A'G＝2AG，并延长A'G交BC于M，
∵∠OGA+∠AGO'＝90°，∠A'GO+∠AGO'＝90°， ∴△AOG∽△A'O'G，且相似比为1：2， ∴O'A'＝2OA，
即OC+OO'+O'A'＝OC+2OA+∵
OC+
OA+
OG＝
OG， （OC+2OA+OC+OC+
OA+
OG），
OG有最小值， OG有最小值，最小值为
A'C，
OG，作A'G⊥AG，且
∴当OC+OO'+O'A'最小时，即当OO'在线段CA'上时作A'H⊥CB延长线于H， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠MBG＝45°， 又∵GM⊥AB，
∴△MGB为等腰直角三角形， ∵AC＝8，AG＝7∴AB＝8
，
OA+
，MG＝BG＝AB﹣AG＝8
，
，
﹣7＝，MB＝BG＝2，
∵A'G＝2AG＝14
∴A'M＝A'G+MG＝15∵HMA'＝45°，
∴△A'MH为等腰直角三角形， ∴A'H＝MH＝
A'M＝15，
∴CH＝BC+MH﹣MB＝21， ∴A'C＝∴
OC+
OA+
＝
＝3
， A'C＝
×
＝3
．
OG的最小值为
14．已知，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F． （1）如图1，当∠CDE＝30°，AD＝1，BD＝3时，求线段DE的长； （2）如图2，当CE＝DE时，求证：点E为线段AF的中点；
（3）如图3，当点D与点A重合，AB＝4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CG⊥AB于点G， ∵AD＝1，BD＝3， ∴AB＝4，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，CG⊥AB， ∴CG＝AG＝AB＝2， ∴DG＝1， ∴CD＝
＝
＝
，
∵∠CDE＝30°，∠CED＝90°， ∴DE＝CD•cos∠CDE＝
•cos30°＝
×
＝
；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DM⊥CD交CE的延长线于点M，连接AM，
在CG上截取GN＝DG，连接DN， ∵CG⊥AB，GN＝DG， ∴△DGN是等腰直角三角形， ∴∠DNG＝45°， ∴∠CND＝135°， ∵DM⊥CD，
∴∠CDM＝∠AGC＝∠ACB＝90°， ∴∠DCG+∠CDG＝∠CDG+∠ADM＝90°， ∴∠DCG＝∠ACM，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，CG⊥AB， ∴AG＝CG，
∴AG﹣DG＝CG﹣GN，即DA＝CN，
∵∠CED＝∠CDM＝∠DEM＝90°，CE＝DE，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠EDM＝∠DME＝45°， ∴CE＝DE＝EM， ∴CD＝DM＝
DE，
∴△CDN≌△DMA（SAS）， ∴∠AND＝∠DAM＝135°，
∴∠CAM＝∠DAM﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°， ∴∠CAM＝∠ACB， ∴AM∥BC， ∴∠AME＝∠FCE， ∵∠AEM＝∠FEC， ∴△AEM≌△FEC（ASA）， ∴AE＝EF，
∴点E为线段AF的中点；
（3）如图3，延长EH至点E′，使HE′＝EH，延长EG至点E″，使GE″＝EG，连接E′E″，取AC中点Q，连接EQ，BQ， ∵AB＝4，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴AC＝BC＝2
，
∵点Q是AC中点， ∴CQ＝∴BQ＝
，
＝
＝
，
∵∠AEC＝90°，点Q是AC中点， ∴EQ＝AC＝∴BE的最大值为
，
+
，
∵HE′＝EH，GE″＝EG， ∴HG＝E′E″， ∵EH⊥BC，EG⊥AB，
∴E、E′关于BC对称，E、E″关于AB对称，
∴∠E′BH＝∠EBH，∠E″BG＝∠EBG，BE′＝BE″＝BE， ∴∠E′BE″＝2∠ABC＝90°， ∴E′E″＝
BE，
∴HG＝BE，
+
，
∵要使GH最大，必须BE最大，BE的最大值为∴GH长度的最大值为
×（
+
）＝
+1．
15．等腰直角△ACB中，∠C＝90°，点D为CB延长线上一点，连接AD，以AD为斜边构造直角△AED（点E与点C在直线AD的异侧）． （1）如图1，若∠EAD＝30°，AE＝
，BD＝2，求AC的长；
（2）如图2，若AE＝DE，连接BE，猜想线段BE与线段AD之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若AC＝4，tan∠BAD＝，连接CE，取CE的中点P，连接DP，当线段DP最短时，直接写出此时△PDE的面积．
【解答】解：（1）∵∠EAD＝30°，AE＝∴DE＝
，AD＝2DE＝
，
，∠E＝90°，
∵AD2＝AC2+CD2， ∴10＝AC2+（AC+2）2， ∴AC＝1或AC＝﹣3（舍去）， ∴AC＝1； （2）BE＝
AD，理由如下：
如图2，取AD的中点H，连接CH，
∵AE＝DE，BC＝AC，∠ACB＝∠AED＝90°， ∴∠ADE＝∠DAE＝∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝∴∠CAD＝∠BAE， ∵H是AD的中点， ∴AH＝∴AE＝∵
AE，CH＝AD AH，
，
AC，AD＝
AE，
∴△EAB∽△HAC， ∴
，
∴BE＝×＝AD；
（3）如图3，过点B作BG⊥AD于G， ∵AC＝AB＝4，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°， ∴AB＝
＝
＝4
，
∵tan∠BAD＝， ∴
＝tan∠BAD＝，
设BG＝m，AG＝3m，且m＞0， ∵BG2+AG2＝AB2， ∴m2+（3m）2＝（4解得：m＝∴BG＝
， ，AG＝
， ）2，
∵∠DGB＝∠DCA＝90°，∠BDG＝∠ADC， ∴△BDG∽△ADC，
∴＝＝，即＝＝，
∴BD+4＝DG，BD＝
，
DG+，
∴BD＝4，DG＝∴AD＝4
，CD＝8，
延长CD至F，使DF＝CD＝8，连接EF，以AD为直径作⊙O，连接OB，OF， OF与⊙O交于点E′，
∵点P是线段CE的中点，点D是CF的中点， ∴DP＝EF，
当线段DP最短时，EF最短， ∵点E在⊙O上，
∴EF最短时，点E为OF与⊙O的交点，即E与E′重合，
∵CB＝DB＝4，AO＝DO，
∴OB∥AC，OB＝AC＝2，BF＝BD+DF＝4+8＝12， ∴∠FBO＝∠ACB＝90°， ∴OF＝
＝
﹣2﹣2＝2， ）＝
﹣
，
，
∴E′F＝OF﹣OE′＝2∴DP的最小值为×（2
过点E′作E′H⊥CF于点H，则E′H∥OB， ∴
＝
，即
，
＝
；
＝
，
∴E′H＝
∴S△PDE′＝S△CDE′＝×CD•E′H＝×8×∴当线段DP最短时，S△PDE＝
．
16．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．
（1）如图1，点M在BE上，连接CM，CM⊥BE，过点A作AF⊥BE于点F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H． ①若AE＝2，AB＝4，则S△AEC＝ 4 ； ②求证：MF＝MH．
（2）如图2，连接BM，EM，过点B作BM′⊥BM于点B，且满足BM′＝BM，连接AM′，MM′，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，请求
出
线
段
AM
′
的
取
值
范
围．
【解答】解：（1）①∵AE⊥AB，∠ABC＝90°， ∴AE∥BC，
∴S△AEC＝S△ABE＝×AB×AE＝4， 故答案为4；
②∵∠ABC＝90°＝∠AFB＝∠CMB， ∴∠ABF+∠CBM＝90°＝∠∠ABF+∠BAF， ∴∠BAF＝∠CBM，
又∵∠AFB＝∠BMC＝90°，AB＝BC， ∴△ABF≌△BCM（AAS）， ∴AF＝BM，BF＝CM， ∵AF⊥BE，CM⊥BE， ∴AF∥CM， ∴∠FAD＝∠HCD， ∵D为AC中点， ∴AD＝CD，
又∵∠ADF＝∠CDH， ∴△ADF≌△CDH（ASA）， ∴AF＝HC，DF＝DH，
∴BF﹣BM＝CM﹣AF＝CM﹣CH， ∴MF＝MH；
（2）如图2，连接CM，
∵BM′⊥BM，
∴∠MBM'＝∠ABC＝90°， ∴∠ABM'＝∠CBM， 又∵AB＝BC，BM＝BM'，
∴△CBM≌△ABM'（SAS）， ∴AM'＝CM， ∵AE∥BC，
∴S△ABC＝S△BEC＝18， ∴EC×BG＝18， ∴EC＝
＝9，
在△EMC中，EC﹣EM＜CM＜EM+EC， ∴6＜AM'＜12．
17．已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M是CE的中点．
（1）如图1，若点F与A重合，D在B，A延长线上时，直接写出BM，BD的数量关系 BD＝
BM ．
（2）如图2，若点F与A重合，且点C，E，D在同一直线上，连接BE，当AB＝AE＝2
，求BD的长．
，DE＝
，
（3）如图3，若等腰Rt△DEF的斜边EF在射线AC上运动时，AB＝2求BE+BD的最小值． 【解答】解：（1）BD＝如图1，连接AM，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴∠BAC＝∠EAD＝45°， ∴∠CAE＝90°， ∵M为CE中点． ∴CM＝AM，
∵BM＝BM，BC＝BA， ∴△BCM≌△BAM（SSS），
BM；
∴∠CBM＝∠MBA＝45°， 同理可得∠MDA＝45°， ∴∠BMD＝90°，
∴BD2＝BM2+DM2＝2BM2， ∴BD＝
BM；
BM；
故答案为：BD＝
（2）如图2，连接BD，过点C作CG⊥BD于点G，
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AE＝2∴BC＝AB＝2AC＝
AB＝
，AD＝DE＝AE××2
＝2
，
＝2
×
＝
，
，
在Rt△ACD中，取AC中点P，连接DP， ∴DP＝AP＝
＝AD，
∴△ADP是等边三角形， ∴∠CAD＝60° ∴∠ACD＝30°，
∵∠AED＝∠ACD+∠CAE，
∴∠CAE＝∠AED﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝45°+15°＝60°， ∵AB＝AE＝2
，
∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE，
∵AD＝DE，BD＝BD， ∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠ABD＝∠EBD＝30°，∠ADB＝∠EDB＝45°， ∴∠CBD＝60°，∠BCG＝30°， ∵∠BGC＝∠CGD＝90°， ∴BG＝BC＝∴DG＝CG＝3， ∴BD＝BG+DG＝
+3； ，CG＝
＝
＝3，
（3）如图，作点B关于射线AC的对称点M，连接CM并延长至点G，使MG＝DE， 连接BG，EM，DG，
∵AB＝AC＝2，∠ABC＝90°，点B与点M关于C对称，
∴四边形ABCM是正方形，EM＝BE， ∴∠BCM＝90°，BC＝CM＝AB＝2∵△DEF是等腰直角三角形，DE＝∴∠DEF＝45°＝∠ACM， ∴DE∥CG，DE＝MG， ∴四边形DEMG是平行四边形， ∴DG∥EM，DG＝EM， ∴DG＝BE，
∴BE+BD＝DG+BD，当且仅当B，D，G在同一条直线上时，DG+BD最小，即BE+BD最小，
此时，BE+BD＝BG＝∴BE+BD的最小值为
．
＝
＝
，
，∠ACM＝45°， ，∠EDF＝90°，
18．在平行四边形ABCD中，AE⊥EC于点E，AE＝EC．
（1）如图1，连接BD，若tan∠ADC＝3，BE＝1，求BD的值；
（2）如图2，连接AC，F是AC的中点，过点E作EG⊥AB于点G，延长GE交DC的延长线于点H，连接FH．请猜想CH、AG、FH的关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（1）的条件下，将△ABE绕点E顺时针旋转一定的角度α（0°＜a＜90°），得到△A'B'E，当∠A'＝∠A'EA时，停止旋转，此时边A'B'与边AE交于点P．点M是边BC上一动点，点N是平面内一点，△DMN是等边三角形，直接写出PN值
的
最
小．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DF⊥BC的延长线于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABE＝∠ADC， ∴∠DCF＝∠ABE， ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠DFC＝∠AEB＝90°， 在△DFC和△AEB中，
，
∴△DFC≌△AEB（AAS）， ∴CF＝BE＝1，DF＝AE，
又∵∠ABE＝∠ADC，tan∠ADC＝3， ∴tan∠ABE＝∴AE＝3， ∴DF＝AE＝3， 又∵AE＝EC， ∴EC＝3，
∴BF＝BE+EC+CF＝5，
＝tan∠ADC＝3，
在Rt△BDF中，BD＝（2）猜想：
＝；
FH＝CH+AG．理由如下：
如图2，连结GF、EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 又∵EG⊥AB， ∴EG⊥DH，
∴∠BGH＝∠AGH＝∠GHD＝90°， ∵AE⊥EC，AE＝EC， ∴△AEC是等腰直角三角形， 又∵F是AC的中点，即AF＝CF，
∴EF⊥AC，∠EAF＝∠ECF＝∠AEF＝∠CEF＝45°，AF＝EF＝CF， ∵∠AGH＝∠GHD＝90°，AE⊥EC，延长GE交DC的延长线于点H， ∴∠GAE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠CEH＝90°， ∴∠GAE＝∠CEH，而∠EAF＝∠CEF＝45°， ∴∠GAE+∠EAF＝∠CEH+∠CEF， 即∠GAF＝∠HEF， 在△AGE和△EHC中，
，
∴△AGE≌△EHC（AAS）， ∴AG＝EH，GE＝HC， 在△AGF和△EHF中，
，
∴△AGF≌△EHF（SAS）， ∴FG＝FH，∠AFG＝∠EFH， ∵∠AFG+∠GFE＝∠AFE＝90°，
∴∠EFH+∠GFE＝90°，即∠GFH＝90°， ∴△GFH为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：GH＝
FH，
又∵GH＝GE+EH，AG＝EH，GE＝HC， ∴
FH＝CH+AG；
（3）如图3，过点D作DR⊥BC于点R，在直线BC上R两侧各取一点M′、N′，使∠RM′D＝∠RN′D＝60°， ∴△DM′N′是等边三角形性质，
∴DM′＝DN′，∠M′DN′＝60°，∠DM′M＝180°﹣∠RM′D＝120°， 由（1）知，BE＝1，AE＝EC＝3， ∴AB＝CD＝
＝
，
∵∠A'＝∠A'EA，A′E＝AE＝3，B′E＝BE＝1， ∴A′E∥AB，tan∠A′＝∴tan∠A'EA＝tan∠A′＝， 作PH⊥A′E，则EH＝A′E＝， ∴PH＝EH•tan∠A'EA＝×＝， ∴PE＝
＝
＝
，
＝，
∵△DMN是等边三角形， ∴DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴∠MDM′+∠M′DN＝60°， 又∵∠NDN′+∠M′DN＝60°， ∴∠MDM＝∠NDN′，
∴△MDM′≌△NDN′（SAS），
∴∠DMM′＝∠DNN′＝60°，∠DM′M＝∠DN′N＝120°， ∴∠BN′N＝∠DN′N﹣∠DN′M′＝120°﹣60°＝60°， ∴点N始终在直线N′N上，PN的最小值为P到直线N′N的距离， 过点P作PN″⊥N′N于N″， 则∠PN″N′＝90°，
∵∠AER＝∠DRN′＝90°，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠DCR＝∠ABE， ∴△DCR≌△ABE（AAS）， ∴CR＝BE＝1，DR＝AE＝3，
在Rt△DRN′中，RN′＝∴EN′＝EC+CR+RN′＝4+
，
＝＝，
设PN″交BC于点T，则∠PTE＝∠N′TN″＝90°﹣60°＝30°，
∴ET＝＝＝﹣
，PT＝2PE＝，
﹣＝
，
∴TN′＝EN′﹣ET＝4+
∴TN″＝TN′•cos∠N′TN″＝（4+∴PN″＝PT+TN″＝
+2
+﹣
）×cos30°＝2
．
+﹣，
19．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边延长线上的任意一点，AE交CD于点G，∠AEB绕点E逆时针旋转后点B的对应点B′落在AE上，另一边EA′交CD的延长线于点F．
（1）如图1，若正方形ABCD的边长为1，∠AEB＝30°，求线段DF的长；
（2）如图2，若点G是CD的中点时，过点G作GH⊥AF于点H．求证：2＝CE；
DH
（3）如图3，若点G是CD的中点时，试探究CE、EF、AF有怎样的数量关系？直接写出结果．
【解答】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∠B＝∠BCD＝∠DCE＝90°， ∵∠AEB＝∠A′EA＝30°， ∴BE＝
AB＝
，EC＝BE﹣BC＝
﹣1，
，DG＝CD﹣CG＝
，
∴CG＝EC•tan30°＝1﹣，GE＝2GC＝2﹣
∵∠CGE＝∠A′EA+∠GFE＝60°， ∴∠GFE＝∠GEF＝30°， ∴FG＝GE＝2﹣
，
﹣
＝2﹣
．
∴DF＝GF﹣DG＝2﹣
（2）证明：如图2中，作AM⊥EF于M，HN⊥CF于N，HJ⊥AD于J．
∵AD∥BE，
∴∠DAG＝∠BEG＝∠AEF， ∵AB⊥BE，AM⊥EM， ∴AB＝AM＝AD，
在Rt△AFM和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△AFD（HL）， ∴∠MAF＝∠FAD， ∵∠MAE+∠MEA＝90°， ∴2∠FAD+2∠DAG＝90°， ∴∠FAD+∠DAG＝45°， ∴∠HAG＝45°， ∵GH⊥AF，
∴∠HAG＝∠HGA＝45°， ∴AH＝GH，
∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠HGF+∠HFG＝90°， ∴∠HAJ＝∠HGN， ∴△AHJ≌△GHN（AAS）， ∴JH＝HN，
∵四边形HJDN是矩形，
∴四边形HJDN是正方形，设边长为b，正方形ABC的边长为2a，则DG＝a，AJ＝GN＝a+b＝2a﹣b， ∴a＝2b， ∵AD∥CE， ∴
＝
，
∵DG＝GC，
∴AD＝CE＝2a＝4b， ∵DH＝∴b＝
b， DH，
DH＝2
DH．
∴CE＝4×
（3）解：结论：EF2＝CE2+AF2．理由如下， 如图3中，由（2）可知，tan∠HGN＝tan∠FAD＝
＝
＝，
∴DF＝AD＝b， AF＝∴b＝
，
b＝
AF，
＝
＝
b，
∵CF＝DF+CD＝4b+b＝
在Rt△EFC中，EF2＝EC2+CF2， ∴EF2＝CE2+（
AF）2，
∴EF2＝CE2+AF2．
20．如图，Rt△ABC中，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α，A、B的对应点分别为D、E．连接BE并延长，与AD交于点F． （1）如图1，若α＝60°，连接AE，求AE长度； （2）如图2，求证：
BF＝DF+CF；
（3）如图3，在射线AB上分别取点H、G（H、G不重合），使得BG＝BH＝1，在△ABC旋转过程中，当
FG﹣FH的值最大时，直接写出△AFG的面积．
【解答】解：（1）如图1，作AG⊥BE于G，
∵α＝60°， ∴∠BCE＝60°， ∵BC＝CE＝2，
∴△BCE为等边三角形， ∴∠ABE＝30°， ∵AB＝2，∠AGB＝90°， ∴AG＝1，BG＝∴GE＝2﹣
，
，
在Rt△AGE中，AE2＝AG2+GE2， ∴
，
（2）证明：如图2，作DM⊥BE延长线于M，CN⊥BE于N，
∵∠ECN+∠CEN＝∠DEM+∠CEN， ∴∠ECN＝∠DEM，
∵∠CNE＝∠EMD，CE＝ED， ∴△CEN≌△EDM（AAS） ∴CN＝EM，EN＝DM， ∵BC＝CE，CN⊥BE， ∴BN＝EN， ∴DM＝BN，
由旋转知：BC＝CE，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD， ∴∠FBC＝∠FAC， ∴∠AFB＝∠ACB＝45°， ∴∠DFM＝45°， ∴DM＝MF， ∴
，
∴ME＝FN， ∴CN＝FN， ∴，
∴
，
（3）取AC的中点O，连接OH、OF、OG，在OG上取
，
∵∠AFB+∠CFB＝90°， ∴
∵AH＝HB， ∴∴
，
， ，
∴OF2＝OQ×OG， ∵∠FOG＝∠QOF， ∴△FOG∽△QOF， ∴
，
∴，
的值最大， ＝
．
当F、H、Q三点共线时，此时可求出：S△AFG＝×3×
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- 7swz.com 版权所有 赣ICP备2024042798号-8
违法及侵权请联系：TEL:199 18 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务