2023年春九年级数学中考一轮复习《数与式》解答题培优提升专题训练(附答案)

3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，

（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b 0，a+b 0，a﹣c 0． （2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣2|a﹣c|．

4．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 ；表示﹣2和1两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （2）如果|x+1|＝2，那么x＝ ；

（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．

（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝ ． （5）当a＝ 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．

5．小明父亲上星期买进某公司股票2000股，每股25元，表为本周每日该股票的涨跌情况．（单位：元）

星期 市值涨跌

一 +0.5

二 +1.2

三 ﹣2.5

四 +1.8

五 ﹣0.5

，其中x＝2．

注：①正数表示股市比前一天上升，负数表示比前一天下降．②周六、周日休市 （1）周四收盘时，每股 元

（2）本周内最高价每股 元，最低价值每股 元．

（3）已知该股民买进股票时付了成交额1.5‰的手续费，卖出时付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税．如果他在星期五收盘前将全部股票卖出，计算一下他的收益情况．

6．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道． （1）通道的面积是多少平方米？ （2）剩余草坪的面积是多少平方米？

7．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么

＝|a±b|，那么如何将双重二次根式

0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（＝a，且使化简； 例如化简：

； ＝

即m•n＝b，那么

＝|

（a＞0，b＞0，a±2）2+（±

＞

）2＝a即m+n

|，双重二次根式得以

∵3＝1+2且2＝1×2， ∴3+2∴

＝（＝1+

）2+（

的形式，且能找到m，n（m＞0，

）2+2

×

由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成

n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）填空：（2）化简：①（3）计算：

+

＝ ；②

．

＝ ；

8．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）

＝

＝

；

，

（二）＝＝＝﹣1；

（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简

的方法叫分母有理化． （1）请用不同的方法化简①参照（二）式化简（2）化简：9．阅读下列材料：

通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：＝

＝2+＝2 +

：

＝ ． ②参照（三）式化简+

+…+

．

＝ ．

我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如

，

这样的分式就是假分式；再如：

，

这样的分式就是真分式．类

似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：

；

再如：

解决下列问题：

＝x+1+

（1）分式是 分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式（3）把分式

化为带分式的形式为 ； 化为带分式；如果

的值为整数，求x的整数值．

10．某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）：

进出数量 （单位：吨） 进出次数

2

1

3

3

2

﹣3

4

﹣1

2

﹣5

（1）这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？请说明理由； （2）根据实际情况，现有两种方案：

方案一：运进每吨冷冻食品费用500元，运出每吨冷冻食品费用800元； 方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是600元； 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 11．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号例如：

＝1×4﹣2×3＝﹣2，

的意义是

＝ad﹣bc．

＝（﹣2）×5﹣4×3＝﹣22． 的值；

的值．

（1）按照这个规定请你计算

（2）按照这个规定请你计算：当|x﹣2|＝0时，12．小明在解决问题：已知a＝∵a＝∴a﹣2＝﹣

＝，

，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的： ＝2﹣

，

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1，

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简（2）若a＝

+

+

+…+

；

，求4a2﹣8a+1的值．

13．从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下： 1＝12， 1+3＝4＝22， 1+3+5＝9＝32， 1+3+5+7＝16＝42，

1+3+5+7+9＝25＝52，

（1）从1开始，n个连续的奇数相加，请写出其求和公式； （2）计算：11+13+15+17+19+21+23+25．

（3）已知1+3+5+…+（2n﹣1）＝2025，求整数n的值． 14．计算：（a+2b+c）（a+2b﹣c）﹣（a+b﹣c）（a﹣b+c）． 15．先阅读，后探究相关的问题

【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

【探究】（1）如图，先在数轴上找出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动3个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ；

（2）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离表示为 ；如果|AB|＝3，那么x为 ；

（3）要使代数式|x+2|+|x﹣3|取最小值时，则整数x的值为 ． （4）当x为 时，|x+4|+|x﹣2|＝12．

16．观察下列等式：

＝1﹣，

＝

，

＝

，

将以上三个等式两边分别相加得：

+

+

＝1﹣

＝1﹣＝．

＝ ． +

+

+…+

＝ ；

（1）猜想并写出：（2）直接写出计算结果：（3）探究并计算： ①②

．

．

17．【例题讲解】因式分解：x3﹣1．

∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立． ∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）． 【方法归纳】

设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】

（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝ ； （2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；

（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．

18．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式A＝

，B＝

，A﹣B＝

﹣（

）＝

＝

＝2，则A是B

解得

．

的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式C＝

，D＝

，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说

明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式P＝

，Q＝

，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”

是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式M＝

，N＝

（a，b，c为整数），M是N的

“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值．

19．某农户2020年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为18000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b＜a）．该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000千克，需8人帮忙，每人每天付工资25元，农用车运费及其他各项税费平均每天100元． （1）分别用a，b表示两种方式出售水果的收入．

（2）若a＝1.3元，b＝1.1元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好．

（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到15000元，而且该农户采用了（2）中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少（纯收入＝总收入﹣总支出）？ 20．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．

观察与操作：

（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：a2+2ab+b2＝（a+b）2，验证了完全平方公式；即：多项式 a2+2ab+b2 分解因式后，其结果表示正方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积．

（2）当他拼成如图③所示的矩形，由面积相等又得到：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），即：多项式 a2+3ab+2b2 分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个整式的积． 问题解决：

（1）请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式：a2+4ab+3b2．（画图说明，并写出其结果）

（2）试猜想面积是2a2+5ab+3b2的矩形，其长与宽分别是多少？（画图说明，并写出其结果）

参

1．解：（1）当x+y＝2，xy＝7时， x2y+xy2＝xy（x+y）＝7×2＝14；

（2）∵xm＝3，xn＝2，

∴x3m+2n＝x3m•x2n＝（ xm）3•（xn）2＝27×4＝108． 2．解：原式＝＝

，

．

，

将x＝2代入得：原式＝

3．解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|， c﹣b＞0，a+b＜0，a﹣c＜0； 故答案为：＞，＜，＜；

（2）原式＝c﹣b+[﹣（a+b）]﹣[﹣2（a﹣c）] ＝c﹣b﹣a﹣b+2a﹣2c ＝a﹣2b﹣c．

4．解：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3﹣2＝1；表示﹣2和1两点之间的距离是：1﹣（﹣2）＝3； （2）|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， x＝1或x＝﹣3．

（3）∵|a﹣3|＝4，|b+2|＝3， ∴a＝7或﹣1，b＝1或b＝﹣5，

当a＝7，b＝﹣5时，则A、B两点间的最大距离是12， 当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2； （4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间， |a+3|+|a﹣5|＝（a+3）+（5﹣a）＝8．

（5）当a≥4时，原式＝a+5+a﹣1+a﹣4＝3a，这时的最小值为3×4＝12

当1≤a＜4时，原式＝a+5+a﹣1﹣a+4＝a+8，这时的最小值为1+8＝9

当﹣5≤a＜1时，原式＝a+5﹣a+1﹣a+4＝﹣a+10，这时的最小值接近为1+8＝9 当a≤﹣5时，原式＝﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4＝﹣3a，这时的最小值为﹣3×（﹣5）＝15 综上可得当a＝1时，式子的最小值为9 故答案为：

（1）1；3；（2）1或﹣3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9． 5．解：（1）由题意可得，

周四收盘时的每股价格为：25+0.5+1.2﹣2.5+1.8＝26（元）， 故答案为：26； （2）由题意可得，

周一的收盘价，每股为：25+0.5＝25.5（元）， 周二的收盘价，每股为：25.5+1.2＝26.7（元）， 周三的收盘价，每股为：26.7﹣2.5＝24.2（元）， 周四的收盘价，每股为：24.2+1.8＝26（元）， 周五的收盘价，每股为：26﹣0.5＝25.5（元）， 故答案为：26.7，24.2； （3）由题意可得，

2000×25.5×（1﹣1.5‰﹣1‰）﹣2000×25﹣2000×25×1.5‰＝797.5（元）， 即他在星期五收盘前将全部股票卖出，将盈利797.5元． 6．解：（1）b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2 ＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2 ＝6ab+5b2（平方米）．

答：通道的面积是（6ab+5b2）平方米．

（2）（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2） ＝8a2+6ab+12ab+9b2﹣6ab﹣5b2 ＝8a2+12ab+4b2（平方米），

答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米． 7．解：（1）填空：

＝

﹣

；

＝

（2）①②（3）＝＝＝故答案为8．解：（1）①

+

+． ﹣＝+

+＝

；

＝＝＝

+﹣+

； ；

；+．

＝

＝

﹣

；

②＝＝＝﹣；

（2）原式＝故答案为：（1）①

+﹣

+；②

﹣

+…+

＝＝．

9．解：（1）是真分式，故答案是：真； （2）

＝

＝1﹣； ＝

＝2﹣

；

．

故答案是：1﹣（3）∵

＝

的值为整数，且x为整数；

∴x+1为3的约数，

∴x+1的值为1或﹣1或3或﹣3； ∴x的值为0或﹣2或2或﹣4．

10．解：（1）根据题意得：（﹣3）×2+4×1+（﹣1）×3+2×3+（﹣5）×2＝﹣9． 答：这天冷库的冷冻食品比原来减少了；

（2）方案一：|（﹣3）×2+（﹣1）×3+（﹣5）×2|×800+（4×1+2×3）×500＝20200；

方案二：[|（﹣3）×2+（﹣1）×3+（﹣5）×2|+4×1+2×3]×600＝17400， ∵17400＜20200 ∴选择方案二较合适．

11．解：（1）原式＝5×（﹣2）﹣（﹣3）×（﹣4）＝﹣10﹣12＝﹣22； （2）∵|x﹣2|＝0，∴x﹣2＝0， 解得：x＝2，

则原式＝3×（﹣2）﹣2×14＝﹣34． 12．解：（1）原式＝（﹣1＝10﹣1＝9； （2）a＝∴a﹣1＝

，

＝

+1， ﹣1）+（

﹣

）+（

﹣

）+…+（

﹣

）＝

∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1，

∴原式＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5． 13．解：（1）S＝n2；

（2）11+13+15+17+19+21+23+25

＝（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25）﹣（1+3+5+7+9） ＝132﹣52 ＝169﹣25 ＝144；

（3）∵1+3+5+…+（2n﹣1）＝2025， ∴2n﹣1＝， ∴n＝45．

14．解：原式＝（a+2b）2﹣c2﹣a2+（b﹣c）2 ＝a2+4ab+4b2﹣c2﹣a2+b2﹣2bc+c2 ＝4ab+5b2﹣2bc，

15．解：（1）∴点B所表示的数与2.5互为相反数， ∴点B所表示的数为﹣2.5，

又∵点A向左移动3个单位，得到点C，点A所表示的数是2.5，

∴点C所表示的数为2.5﹣3＝﹣0.5， ∴BC＝|﹣2.5+0.5|＝2， 故答案为：﹣2.5，﹣0.5，2； （2）由题意可知，

数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离表示为|x+2|， 当AB＝3，即|x+2|＝3，解答x1＝1，x2＝﹣5， 故答案为：|x+2|，1或﹣5； （3）∵|x+2|+|x﹣3|取最小值，

即数轴上表示数x的点到表示﹣2，3的距离之和最小，

∴当﹣2≤x≤3时，|x+2|+|x﹣3|的值最小，其最小值为|﹣2﹣3|＝5， 又∵x为整数，

∴整数x为﹣2，﹣1，0，1，2，3， 故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3；

（4）由（3）可知|x+4|+|x﹣2|的最小值为|﹣4﹣2|＝6，要使|x+4|+|x﹣2|＝12， 因此．x＜﹣4或x＞2，

故有﹣x﹣4+2﹣x＝12或x+4+x﹣2＝12， 解得x＝﹣7或x＝5， 故答案为：﹣7或5． 16．解：（1）故答案为：（2）＝1＝1﹣＝

；

；

+

﹣+

＝； +…+

﹣

﹣

；

+﹣+﹣+…+

故答案为：（3）①

＝（1﹣+﹣+﹣+…+＝＝②＝

（1﹣；

）

﹣+﹣）

（1﹣﹣++﹣﹣++﹣+…+

+

）

﹣

﹣

+

）

＝×（1﹣﹣＝

．

17．解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12， ∴﹣m＝﹣1， ∴m＝1， 故答案为：1；

（2）设另一个因式为（x2+ax+k），

（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k， ∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k， ∴a+1＝3，a+k＝﹣3， 解得a＝2，k＝﹣5； 答：k的值为﹣5；

（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下： 设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1）， ①（x2+1）（x2+ax+b） ＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b ＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b， ∴a＝0，b+1＝1，b＝1， 由b+1＝1得b＝0≠1， ②（x2+x+1）（x2+ax+1）

＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1， ∴a+1＝0，a+2＝1，

解得a＝﹣1．

即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），

∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．

答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积． 18．（1）C不是D的“雅中式”，理由如下，

＝

＝．

即：C不是D的“雅中式”． （2）

∵P是Q的雅中式． 又∵P关于Q的雅中值为2． ∴E﹣2x2﹣6x＝2（9﹣x2）． ∴E＝6x+18． ∴P＝

＝

＝

．

．

∵P的值也为整数，且分式有意义．

故3﹣x＝±1，或3﹣x＝±2，或3﹣x＝±3，或3﹣x＝±6且x≠﹣3， ∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9．

符合条件的x的值之和为：0+1+2+4+5+6+9＝27．

（3）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1．

＝1．

整理得：（﹣b﹣c+a+4）x+bc﹣5a＝0． 由上式子恒成立，则：

．

消去a得：bc﹣5b﹣5c+20＝0． ∴b（c﹣5）﹣5（c﹣5）＝5． ∴b（c﹣5）＝5（c﹣4）， ∴b＝

，

∵a、b、c的整数．

∴c﹣4、c﹣5是L连续整数．

当c﹣4＝2、c﹣5＝1时，b＝10，c＝6，a＝12 ∴a﹣b+c＝8．

当c﹣4＝0、c﹣5＝﹣1时，c＝4，b＝0，a＝0． ∴a﹣b+c＝4．

当c﹣4＝4，c﹣5＝5时，c＝10，b＝6，a＝12， ∴a﹣b+c＝16．

当c﹣4＝﹣4，c﹣5＝﹣5时，c＝0，b＝4，a＝0， ∴a﹣b+c＝﹣4

综上：a﹣b+c的值为：8或4或16或﹣4．

19．解：（1）将这批水果拉到市场上出售收入为：18000a﹣＝18000a﹣3600﹣1800＝（18000a﹣5400）（元）． 在果园直接出售收入为：18000b（元）．

（2）当a＝1.3时，市场收入为18000a﹣5400＝18000×1.3﹣5400＝18000（元）． 当b＝1.1时，果园收入为18000b＝18000×1.1＝19800（元）． 因为18000＜19800，所以应选择在果园出售． （3）因为今年的纯收入为19800﹣7800＝12000（元）， 所以

×100%＝25%，

×8×25﹣

×100

所以增长率为25%．

20．解：a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b）， 图形如下：

（2）2a2+5ab+3b2＝（a+b）（2a+3b），所画图形如下：