高中数学抛物线大题精选30道（含答案）

抛物线大题30题

1 ．已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆4x25y220的一个焦点相同,

(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;

(2)求抛物线方程.

2

2 ．过抛物线y=4x的焦点作直线AB交抛物线于 A．B,求AB中点M的轨迹方程｡

3 ．已知直线l过定点A4,0,且与抛物线C:y22px(p0)交于P、Q两点,若以PQ为直径的圆经

过原点O,求抛物线的方程.

x2y21表示椭圆；q：抛物线yx22mx1与 4 ．已知p：方程

m2mx轴无公共点,若p是真命题且q是假命题,求实数m的取值范围．

5 ．在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦

点F在x轴上。

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

（3）设过点M(m,0)(m0)的直线交抛物线C于D．E两点，ME=2DM， 记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式。

6 ．直线y=2x与抛物线y=-x-2x+m相交于不同的两点 A．B，求

2

（1）实数m的取值范围；（2）∣AB∣的值(用含m的代数式表示).

7 ．已知抛物线C1:

y24px(p0),焦点为F2,其准线与x轴

1;且抛物线C1和椭圆C2的一个交点2交于点F1;椭圆C2:分别以F1、F2为左、右焦点,其离心率e记为M.

(1)当p1时,求椭圆C2的标准方程;

(2)在(1)的条件下,若直线l经过椭圆C2的右焦点F2,且与抛物线C1相交于A,B 两点,若弦长|AB|等于MF1F2的周长,求直线l的方程.

8 ．如图,已知直线l:ykx2与抛物线C:

x22py(p0)交于A,B两点,O为坐标原

点,OAOB(4,12)｡

(Ⅰ)求直线l和抛物线C的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P从A到B运动时, 求△ABP面积最大值.

9．设圆Q过点P(0,2), 且在x轴上截得的弦RG的长为4.

(Ⅰ)求圆心Q的轨迹E的方程;

(Ⅱ)过点F(0,1),作轨迹E的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB、CD 的中点分别为M,N,试判

断直线MN是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线C:y22px的准线方程x1,C与直线41:yx在第一象限相交于点P1,过P1作C1的平行线

2交抛物线

的切线m1,过P1作m1的垂线g1交x轴正半轴于点A1,过A1作

C于第一象限内的

点P2,过P2作抛物线C1的切线m2,过P2作m2的垂线g2交x轴正半轴于点A2,…,依此类推,在x轴上形成一点列A1,A2,A3,…,An(nN*),设点An的坐标为(an,0).

(Ⅰ)试探求an1关于an的递推关系式; (Ⅱ)求证:an32(Ⅲ)求证:

n13; 2n211. (2an3)nn1332nn134(2a13)2(2a23)611．已知直线l:ykxk1,抛物线C:y24x,定点M(1,1)｡

(I)当直线l经过抛物线焦点F时,求点M关于直线l的对称点N的坐标,并判断点N 是否在抛物线C上;

(II)当k(k0)变化且直线l与抛物线C有公共点时,设点P(a,1)关于直线l的对称点为Q(x0,y0),求x0关于k的函数关系式x0f(k);若P与M重合时,求x0的取值范围｡

12．位于函数y3x13的图象上的一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),,Pn(xn,yn),,这一系列点的4横坐标构成以5为首项,1为公差的等差数列xn. 2(Ⅰ)求点Pn的坐标;

(Ⅱ)设抛物线C1,C2,C3,,Cn,中的每一条的对称轴都垂直于x轴,对于nN第n条抛物线

*Cn的顶点为Pn,抛物线Cn过点Dn(0,n21),且在该点处的切线的斜率为kn,

求证:

1111. k1k2k2k3kn1kn1013．已知抛物线y24x的焦点为F, A．B为抛物线上的两个动点.

(Ⅰ)如果直线AB过抛物线焦点,判断坐标原点O与以线段AB为直径的圆的位置关系, 并给出证明;

(Ⅱ)如果OAOB4(O为坐标原点),证明直线AB必过一定点,并求出该定点.

14．已知点F(2 ,0) ,直线l:x1,动点N到点F距离比到直线l的距离大1;

(1)求动点N的轨迹C的方程; (2)直线yx2与轨迹C交于点A,B,求ABO的面积.

15．(本小题共13分)

已知抛物线C:y2x,过定点Ax0,0(x0),作直线l交抛物线于P,Q(点P在第一象限). (Ⅰ)当点A是抛物线C的焦点,且弦长PQ2时,求直线l的方程;

(Ⅱ)设点Q关于x轴的对称点为M,直线PM交x轴于点B,且BPBQ.求证:点B的坐标是

18(x0,0)并求点B到直线l的距离d的取值范围.

16．抛物线C:y22pxp30上横坐标为的点到焦点F的距离为2

2（I）求p的值；

（II）过抛物线C的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB和CD， 求ABCD的最小值。

17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设点C是抛物线上的动点.若以点C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点.

18．在xoy平面内，已知定点P3,0，动点Q,R分别

y 在x,y轴上，且PRRQ0。若点M满足条件：

QM2MR。

(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；

(Ⅱ)若直线l：ykxk0与点M的轨迹C所围成区域的面积等于9，求k的值。

19．已知抛物线C:yax,直线yx2交抛物线C于

2R M P O Q x A．B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交抛物线C于点N, (1) 证明:抛物线C在N点处的切线l与AB平行;

(2) 是否存在实数a,使得NANB0｡若存在,求出a的值;若不存在,说明理由｡

20．已知点F(a,0)(a0),直线l:xa,点E是l上的动点,过点E垂直于y轴的直线与线段EF的垂

直平分线交于点P.

(1)求点P的轨迹M的方程;

(2)若曲线M上在x轴上方的一点A的横坐标为a,过点A作两条倾斜角互补的直线,与曲线M的另一个交点分别为 B．C,求证:直线BC的斜率为定值.

21．设点P(x，y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(

1，0)2

的距离比点P到y轴的距离大（Ⅰ）求点P的轨迹方程：

1． 2（Ⅱ）若直线l与点P的轨迹相交于 A．B两点，且OAOB0，点O到直线l的距离为2，求直线l的方程．

22．给定抛物线C:y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于 A．B两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程； （Ⅱ）设|FA|2|BF|，求直线l的方程.

23．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y22px上，△ABC

的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标； （2）求线段BC中点M的坐标；

24．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的

运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空

y 3m O 跳 x 2中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距

3水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．

⑴求这条抛物线的解析式；

⑵在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（Ⅰ）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．

25．已知抛物线C10m 台 支 柱 1m 水面

35:y28x，O为坐标原点，动直线l:yk(x2)与抛物线C交于 A．B两点。

(1)求证：OAOB为常数

(2)求满足OMOAOB的点M的轨迹方程。

26．如图，过抛物线y＝2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N

2

两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1 (Ⅰ)求证：FM1⊥FN1:

(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为S1S2S3，试判

、、

、，

断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

x2y227．已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C2：221的一个焦点F1且垂直于C2ab

的两个焦点所在的轴，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M(,（1）求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标； （2）求双曲线C2的方程及其离心率e．

28．已知抛物线x2226)．

334y的焦点为F, A．B是抛物线上两动点,且AFFB,(0),过 A．B两点分

别作抛物线的切线,设其交点为M｡ (1)证明:FMAB为定值;

(2)设ABM的面积为S,写出Sf()的表达式,并求S的最小值

29．已知点F为抛物线C:y24x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A,B两点，

y若点P的纵坐标为m(m0)，点D为准线l与x轴的交点． （Ⅰ）求直线PF的方程；

（Ⅱ）求DAB的面积S范围；

（Ⅲ）设AFFB，APPB，求证为定值．

30．已知抛物线C:y2PADOFxlB4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直

线l与C相交于 A．B两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

（Ⅱ）若存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列，求实数m的取值范围.

抛物线大题30题参

1 ．解:椭圆方程为

x2y2a2=5,b2=4,c2=a2-b2=1, 1,∴

54a5∴椭圆焦点坐标为(-1,0),(1,0), ;离心率e=c5;

(2)若抛物线焦点坐标为(1,0),则设抛物线的方程为y2=2px, ∴1,则p=2, ∴所求抛物线的方程为y4x 若抛物线焦点坐标为(-1,0),则设抛物线的方程为y2=-2px,

∴p1,则p=2,∴所求抛物线的方程为y4x ∴抛物线的方程为y24x

22p22

2 ．设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=4x1,y2=4x2

yy2(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) (y1+y2)•1=4(x1≠x2)

x1x222

设AB中点M(x,y),则y1+y2=2y ∴2yy4 y22(x1) x1y1y2y0

x1x2x1当x1=x2时,M(1,0)满足上式

∴轨迹方程为y2=2(x-1)

3 ．解:可设直线l的方程为xmy4代入y22px,

得 y22pmy8p0 设P(x1,y1),Q(x2,y2),

y1y2(y1y2)2则y1y28p,x1x216 22p2p4p由题意知,OPOQ,则OPOQ0, 即 x1x2y1y2168p0,

∴p2, 此时,抛物线的方程为y24x

22x2y21表示椭圆”是真命题， 4 ．解:“方程

m2mm0∴2m0 m2m0m2且m1，

2“抛物线yx2mx1与x轴无公共点”是假命题， 2∴抛物线yx2mx1与x轴有公共点，

4m240 m1或m1，

由题意得，

0m2且m1 m1或m11m2

5 ．[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。

满分10分。

6 ．(1)将y=2x代入y=-x-2x+m得，x+4x-m=0.

2

2

∵直线与抛物线相交于不同的两点 A．B，∴164m0m4. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，则

∣AB∣=14(x1x2)4x1x25164m2205m.

7 ．(1)当p1时,F2(1,0),F1(-1,0)

2c1x2y2设椭圆C2的标准方程为221(a>b>0),∴c=1,=

a2ab∵cab,∴a=2,b=3

222x2y2=1 故椭圆C2的标准方程为43(2) (ⅰ)若直线l的斜率不存在,则l:x=1,且A(1,2),B(1,-2),∴AB=4 又∵MF1MF2F1F2=2a+2c=6AB 1F2的周长等于MF∴直线l的斜率必存在

(ⅱ)设直线l的斜率为k,则l:yk(x1)

y24x由,得k2x2(2k24)xk20 yk(x1)∵直线l与抛物线C1有两个交点A,B

∴[(2k24)]24k416k2160,且k0

2k24设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得x1x2,x1x21

k2222于是AB=1kx1x2=(1k)(xx)4x1x212

=(1k2)(242)4 2k4(1k2)1616=(1k)(24) =

k2kk2∵MF1MF2F1F2=2a+2c=6 1F2的周长等于MF4(1k2)∴由=6,解得k=2

k2故所求直线l的方程为y2(x1)

ykx2,8 ．解:(Ⅰ)由2得,x22pkx4p0,

x2py2设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1x22pk,y1y2kx1x242pk4, 2因为OAOBx1x2,y1y22pk,2pk4=4,12,

2pk4,所以解得 22pk412.p1, k2.2所以直线l的方程为y2x2,抛物线C的方程为x2y.

(Ⅱ)方法1:设P(x0,y0),依题意,抛物线过P的切线与l平行时,△APB面积最大,

1y'x,所以x02x02, y0x022,所以P(2,2).

2此时P到直线l的距离d2(2)(2)222(1)2445,

55y2x2,2由2得,x4x40, x2y,

|AB|1k2(x1x2)24x1x2122(4)24(4)410 410∴△ABP的面积最大值为

245582｡

y2x2,(Ⅱ)方法2:由2得,x24x40,

x2y,|AB|1k2(x1x2)24x1x2122(4)24(4)410

设P(t,t) ,(222t222)

因为AB为定值,当P到直线l的距离d最大时,△ABP的面积最大,

122d12tt2222(1)22(t2)245,

45,此时P(2,2). 5因为222t222,所以当t2时,dmax=410∴△ABP的面积最大值为

245582｡

9．解:(Ⅰ)设圆心Q的坐标为(x,y),如图过圆心Q作QHx轴于H,

则H为RG的中点,在RtRHQ中,QR2QH2RH2 ∵QRQP,RH2∴x2(y2)2y24

即x24y (Ⅱ) 设AxA,yA,BxB,yB,MxM,yM，NxN,yN 直线AB的方程为ykx1,联立x24y有:x4kx40

2xxB2k,yMkxM12k21, ∴xMA2∴点M的坐标为(2k,2k1). 同理可得:点N的坐标为(2DyN直线MN的斜率为kMN22,21). kk1k22yMyNk21k, 1xMxNkkkAMBCOX

k21其方程为y2k1(x2k),整理得k(y3)(k21)x,

k2不论k为何值,点(0,3)均满足方程, ∴直线MN恒过定点(0,3). 10.解:(I)由题意知:由题意知

n1p11,p,C1:y2x. 242:yxan联立y2x得:y2yan0,

y0.

y114an114an114an,Pn1(an,).

222切线mn1的斜率为kmn11,直线gn1的斜率kg(4an11),

n14an11直线gn1的方程为y114an114an(4an11)(xan)

2214an令y0,xan1得:an1an1.

2(Ⅱ)由已知易得P1(1,1),直线m1的斜率km11, 23直线g1的方程为:y12(x1)令y0得a1.

2114an1(14an)3an1an1an12an.

242an133332(an)22(an1)2n(a1)32n. 222233n1n1当n2时 an32,即:an32.

2233311n1当n1时, a132 故an32.

222(用数学归纳法证明亦可) (III)由(II)知:2an332.

nn2n2(2an3)n(n1)32nn(n1)2(n1)n111 []nn1n32n(n1)32n2(n1)

34n2(2a13)2(2a23)6(2an3)n(n1)111111 [(1)()(n1n)]344122n2(n3)11. 332n(n1)

11．(I)由焦点F(1,0)在l上,得k111,l:yx 2221n1()()1m12设点N(m,n)则 有:,

m1n121221m135解得, N(,)

55n3543()2, 55N点不在抛物线C上｡

y11(k0)代入抛物线方程得:ky24y4k40, kk相交,16(k2k1)0,(2)把直线方程x1515k且k0. 22y01k1x0a由对称得y01kx0ak122解得a(1k2)2k21515(k,且k0)｡ 解得x0222k1当P与M重合时,a=1

13k241515f(k)x0232(k,且k0),22k1k1函数x0f(x)(kR)是偶函数,且k0时单调递减.15525当k时,(x0)min,limx01,25k0x0[525,1)514分

12．解: (Ⅰ)由于Pn的横坐标构成以5为首项,1为公差的等差数列xn, 253故xnx1(n1)d(n1)n

2213又Pn(xn,yn)位于函数y3x的图象上,

41331353(n)3n 所以yn3xn424435所求点Pn(xn,yn)的坐标为(n,3n)

24(Ⅱ)证明:由题意可设抛物线Cn的方程为yan(xxn)2yn,即yan(xn)3n由抛物线Cn过点Dn(0,n21),于是有n1an(n)3n由此可得an1,y(xn)3n故kny23225. 43225. 43225 432(xn)x02x02n3.

所以

1kn1kn1111()(n2),

(2n1)(2n3)22n12n3于是

1111111111()()() k1k2k2k3kn1kn257792n12n3故

111(). 252n31111111() k1k2k2k3kn1kn252n31013．解:(Ⅰ)∵焦点F为(1,0),过点F的直线AB的方程可设为xty1,代入抛物线y24x

得:y24ty40,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1y24,

2y12y2x1x21. OAOB441x2x1y2y143, 0

于是AOB为钝角,故O在圆内

(Ⅱ)设直线AB的方程为xtyb,代入抛物线y24x消去x,得

y24ty4b0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y24t ,y1y24b.

OAOBx1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y2

=4bt4btb4bb4b. 令b24b4,b2.,∴直线AB过定点(2,0).

14．解:(1)20.解:(1)设N点坐标为(x,y),所以y222228x(x0)

(2)SABO82

15．(本小题共13分)

解:(Ⅰ)由抛物线C:y2x得抛物线的焦点坐标为(,0),设直线l的方程为:x=ny+1

4

1,P(x1,y1),Q(x2,y2) 4ìïy2=x,ï12y-ny-=0. 由ï得í1ï4x=ny+ïï4î2所以=n+1>0,y1+y2=n.因为x1=ny1+11,x2=ny2+, 44所以PQx1111x2x1x2ny1y212. 4422所以n=1.即n= 1.

所以直线l的方程为:x-y-11=0或x+y-=0 44(Ⅱ)设l:xmyx0(m0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(x2,y2).

xmyx0,由2得y2myx00. yx因为x012,所以m4x00,y1y2m,y1y2x0 8(ⅰ)设B(xB,0),则BM(x2xB,y2),BP(x1xB,y1). 由题意知:BM∥BP,x2y1y1xBx1y2xBy2. 即(y1y2)xBx1y2x2y1y1y2y2y1(y1y2)y1y2. 显然y1y2m0,xBy1y2x0.B(x0,0).

22

(ⅱ)由题意知:BMQ为等腰直角三角形,kPB1,即

y1y2y1y21,即21. 2x1x2y1y2y1y21. (y1y2)24y1y21. m24x01. m214x00.

x01.4111x0,x0

884d2x0m212x024x02(121)2()x0x0(211)21x0[61,). 122即d的取值范围是[

16．（I）解由已知261,) 1223p解得p1 22（II）F1,0显然直线AB的斜率k存在且k0 212联立y2x，得 2设直线AB:ykxk2kx2kx0k0

4222设Ax1,y1,Bx2,y2则

2k2x1x2k2

kR,k0112k22则ABAFBFx1x2x1x211222k2k2则CDAB,CD22k2 ABCD4当且仅

222422282kk222k即k1时ABCD取得最小值8 2k2

17．解：（1）根据题意，抛物线y＝2px的准线方程为x＝－，且p＞0．

p

2

p

因为抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5，所以该点到准线x＝－的距离也为5．所以p＝2．

2故所求抛物线的标准方程为y2＝4x．

t2

（2）因为点C在抛物线上，故可设点C为(，t)．

4t2

所以点C到y轴的距离为．

4

因为圆C在y轴上截得的弦长为4，所以圆C的半径r＝t221

所以圆C的方程为(x－)＋(y－t)2＝(t4＋)2．

44t2

即x＋y－x－2ty＋t2－4＝0．

2

2

2

t＋22＝1t4＋．

44

2

2（方法一）因为圆C是动圆．

所以当t＝0时，圆C的方程为x2＋y2－4＝0， ① 当t＝2时，圆C的方程为x2＋y2－2x－4y＝0． ② x＝－，x＋y－4＝0 ，x＝2，5联立①②，得 解得或8

x＋y－2x－4y＝0．y＝0，

y＝5．2

22

2

6

t2

把(2，0)代入圆C方程，左边＝2＋0－2－2t0＋t2－4＝0＝右边，方程成立，所以圆C恒过定点

2

2

2

(2，0)．

68816

把(－，)代入圆C的方程得，左边＝t2－t不恒为0，即随着t的变化而变化．

555568

故点(－，)可能不在圆C上．

55所以圆C恒过定点(2，0)．

t2

（方法二）将方程x＋y－x－2ty＋t2－4＝0整理为

2

2

2

x

(1－)t2－2yt＋(x2＋y2－4)＝0． ①

2

1－2＝0，x＝2，

①式对任意实数t都成立的充要条件是－2y＝0， 即

y＝0．

x＋y－4＝0．

2

2

x

所以圆C恒过定点(2，0)．

18．解：(Ⅰ)设Mx,y,Qx1,0,R0,y1.

则QMxx1,y,MRx,y1y. 由QM2MR得xx12x,y2y1y， 所以，x13x,y1于是PR3,y 3y. 2O 33y,RQ3x,y， 22x

由PRRQ0得9x92y0，即y24x。 44xykxx102k2(Ⅱ)解方程组2，得或

y01y4xy42k故直线l与轨迹C交点坐标为0,0,44,， 2kk于是

k02443k2xkxdx9，取Fxx2x2，

32则Fx2xkx,从而F3224F09, 2k44k432829,k即229,

3k2k3k3k33yx2得ax2x20, 19．解:(1)由2yax设Ax1，y1，Bx2，y2 则x1x212，x1x2 aaxNxMx1x2122a

12yNaxN4a1 2a由知,抛物线C在点N处是切线l的斜率k12a因此,抛物线C在点N处的切线与直线AB平行｡ (2)假设存在实数a,使得NANB0,则NANB 由M是线段AB的中点｡

MN1AB 2由MNx轴,知MN11122 2a4a4a

又AB2x1x222x1x218a2a224x1x2

11182224a4aa

71或a(舍去) 887存在实数a,使得NANB0

8解得a20．解:(1)连结PF. ∵点P在线段EF的垂直平分线上,

∴|PF|=|PE|.

∴点P的轨迹是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线. ∴p=2a.

∴点P的轨迹为M:y24ax (a0).

(2)直线AB的斜率为k(k≠0),点B(x1,y1),C(x2,y2),A(a,2a). 则直线AB的方程为y2ak(xa).

y2ak(xa), 消去x,得 2y4ax.ky24ay4a2(2k)0.

△=16a2(k1)20 ∵y1,2a是方程的两个根,

4a2(2k).∴2ay1ky12a(2k). k依题意,直线AC的斜率为-k. 同理可得y2∴y1y2∴kBC2a(2k). k2a(2k)2a(2k)4a. kky2y1yy14a221

x2x1y1y2y2y124a4a所以直线BC的斜率为定值. 21．解：（I）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=2，此时，A(2，48)，

B(2，-48)，不符合OAOB0

当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+b(k≠0，b≠0)，

ykxby22xky22y2b0

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2=

2b k2y12y2y1y20 ∵OAOBx1x2y1y222∴y1y2=-4， ∴b+2k=0 ① 又点O到直线l距离为2得

bk122 ②

由①②解得k=1,b=-2或k=-1,b=2，

所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2

22．方法一：（Ⅰ）解：由题意，得F(1,0)，直线l的方程为y=x-1.

ìïy=x-1由ï, 得x2-6x+1=0, í2ïïîy=4x设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), AB中点M的坐标为M(x0,y0), 则x1=3+22,x2=3-22,y1=x1-1=2+22,y2=x2-1=2-22, 故点A(3+22,2+22),B(3-22,2-22), 所以x0=x1+x2=3,y0=x0-1=2, 2故圆心为M(3,2), 直径|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8,

所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16；

（Ⅱ）解：因为|FA|2|BF|, 三点A, F, B共线且点A, B在点F两侧, 所以FA2BF,

设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 则FA(x11,y1),BF(1x2,y2),

ìx1-1=2(1-x2),ï所以ï ○1 íïïîy1=-2y2.因为点A, B在抛物线C上,

2所以y12=4x1,y22 =4x2, ○

祆x1=2,x1=2,镲镲镲镲y1=22,y1=-22,镲由○1○2，解得镲 镲或眄11镲x2=,x2=,镲镲22镲镲镲y2=-2.y2=2.镲铑所以A(2,22),B(,-1212),或A(2,-22),B(,2),

2故直线l的方程为22x-y-22=0,或22x+y-22=0 方法二：（Ⅰ）解：由题意，得F(1,0)，直线l的方程为y=x-1.

ìïy=x-1由ï, 得x2-6x+1=0, í2ïïîy=4x设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), AB中点M的坐标为M(x0,y0), 因为D=62-4=32>0,所以x1+x2=6,x1x2=1, 所以x0=x1+x2=3,y0=x0-1=2, 故圆心为M(3,2), 2由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=(x1+所以|AB|=x1+x2+p=8(其中p=2).

pp)+(x2+)=x1+x2+p=8, 22所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16；

（Ⅱ）解：因为|FA|2|BF|, 三点A, F, B共线且点A, B在点F两侧, 所以FA2BF,

设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 则FA(x11,y1),BF(1x2,y2),

ìx1-1=2(1-x2),ï所以ï ○1 íïïîy1=-2y2.设直线AB的方程为y=k(x-1)或x=1(不符合题意，舍去). ìïy=k(x-1)由ï，消去x得 ky2-4y-4k=0， í2ïïîy=4x因为直线l与C相交于A, B两点，所以k¹0, 则D=16+16k2>0, y1+y2=42 ,y1y2=-4, ○

k

ì4ïïìy+y=ïk=-2212ïïïkïïï由○1○2，得方程组ïy1=-22 或 íy1y2=-4，解得íïïïïï?y-2yy=212ïïïî2ïïïîìïk=22ïïïíy1=22 ïïïy=-2ïïî2故直线l的方程为22x-y-22=0,或22x+y-22=0

23．[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线y22px上，

解得p=16. 所以抛物线方程为y232x，

焦点F的坐标为（8，0）

（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，

AF所以F是线段AM的定比分点，且2，

FM设点M的坐标为(x0,y0)，则22x08,82y00，

1212解得x011,y04，所以点M的坐标为（11，－4）．

24．解：（Ⅰ）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，

抛物线的解析式为yax2bxc．

由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为

2． 325a3c0a62224acb10b或b2

334ac04a2bc10c0∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴从而b＞0,故有ab抛物线开口向下，∴a＜0, 0,又∵

2a2510,b,c0 632510∴抛物线的解析式为yx2x

633（Ⅱ）当运动员在空中距池边的水平距离为3米时，

52581081633即x321时，y()2，

65353551614∴此时运动员距水面的高为10－＝＜5，因此，此次跳水会失误

3325．解：将yk(x2)代入抛物线方程得k2x2(4k28)x4k20

由k0且0得1k1且k0 设A(x1,y2)B(x2,y2)则x1x284,.x1x24 k22（1） 证明：OAOB=x1x2y1y2x1x1k(x12)(x22)

=(k21)x1x22k2(x1x2)4k2

2282=4(k1)2k(24)4k20 OAOB为常数

k88解：OMOAOB=(x1x2,y1y2)=(24,)

kkx设M(x,y)则84k28k，消去k得y28x32。

y又x844，所以点M的轨迹方程为y28x32(x4) k2（1） 26．本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合

运用数学知识进行推理运算的能力证法1：由抛物线的定义得

MFMM1,NFNN1, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m MFM1MM1F,NFN1NN1F

如图，设准线l与x的交点为F1

QMM1//NN1//FF1

F1FM1MM1F,F1FN1NN1F

0而F1FM1MFM1F1FN1N1FN180 0即2F1FM12F1FN1180

F1FM1F1FN1900

故FM1FN1

证法2：依题意，焦点为F(pp,0),准线l的方程为x 22p，则有 2设点M,N的坐标分别为M（x1,y1),N（x2,y2),直线MN的方程为xmyM1(pp,y1),N1(,y2),FM1(p,y1),FN1(p,y2) 22pxmy由2 得y22mpyp20 y22px于是，y1y22mp，y1y2p

2

FM1FN1p2y1y2p2p20，故FM1FN1

2（Ⅱ）S24S1S3成立，证明如下：

证法1：设M(x1,y1),N(x2,y2)，则由抛物线的定义得

|MM1||MF|x1pp,|NN1||NF|x2，于是 2211pS1|MM1||F1M1|(x1)|y1|

22211S2|M1N2||FF1|p|y1y2|

2211pS3|NN1||F1N1|(x2)|y2|

22211p1p2S24S1S3(p|y1y2|)24(x1)|y1|(x2)|y2|

2222212pp22p[(y1y2)4y1y2][x1x2(x1x2)]|y1y2|

424pxmy1y1y22mp12将与代入上式化简可得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2pyypxmy,12222p2(m2p2p2)p2(m2p2p2)，此式恒成立。

2故S24S1S3成立。

证法2：如图，设直线MNM的倾角为，|MF|r1,|NF|r2 则由抛物线的定义得|MM1||MF|r1,|NN1||NF|r3

MM1//NN1//FF1,FMM1,FNN1于是S1

1211r1sin,S3r22sin()r22sin 222在FMM1和FNN1中，由余弦定理可得

|FM1|22r122r12cos2r12(1cos),|FN1|22r222r22cos2r22(1cos)

1|FM1||FN1| 2112S2|FM1|2|FN1|24r12r22(1cos)(1cos)r12r22sin24S1S3

44由（I）的结论，得S22即S24S1S3，得证。

27．（1）由题意可设抛物线C1的方程为y22px．

226)代入方程y22px，得p2

33因此，抛物线C1的方程为y24x． 于是焦点F(1,0) （2）抛物线C1的准线方程为y1，

把M(,所以，F1(1,0) 而双曲线C2的另一个焦点为F(1,0)，于是

1752 因此，a

33338x2y22221 又因为c1，所以bca．于是，双曲线C2的方程 为1992aMF1MF因此，双曲线C2的离心率e3．

28．解:(1)由已知条件,得F(0,1),0.设A(x1,y1),B(x2,y2).

由AFFB.即得(x1,1y1)(x2,y21).

x1x21y1(y21)将①式两边平方并把y1代入得y12y2 解②、③式得y1.y2(1)(2)

1212x1,y2x2, 441,且有

2x1x2x24y24.

抛物线方程为y121x.求导得yx. 42所以过抛物线上 A．B两点的切线方程分别是

11x1(xx1)y1,yx2(xx2)y2. 22112112即yx1xx1,yx2xx2.

2424y求出两条切线的交点M的坐标为

x1x2x1x2xx,)(12,1). 242xx2,2)(x2x1,y2y1) 所以FMAB(12121212(x2x12)2(x2x1)0.…………………… 244(

(2)由(1)知ABM中,FMAB,因而S1|AB||FM|. 2xx|FM|(12)(2)2 2=212121x1x2x1x24 442=1y1y2(4)4 2=121.

因为|AF|、|BF|分别等于 A．B到抛物线准线y=-1的距离,所以

|AB||AF||BF|y1y22=(12

1)2.

于是S1113|AB||FM|() 2212,知S4.

由且当1时,S取最小值4｡……………………

29．解：（Ⅰ）由题知点P,F的坐标分别为(1,m)，(1,0)，

m， 2m所以直线PF的方程为y(x1)，即为mx2ym0．

2于是直线PF的斜率为（Ⅱ）设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，

y24x,2222由得mx(2m16)xm0， my(x1),22m216所以x1x2，x1x21． 2m4m216于是|AB|x1x22．

m2

点D到直线mx2ym0的距离d2|m|m42，

114(m24)2|m|4所以S|AB|d. 4122222mmm4因为mR且m0，于是S4， 所以DAB的面积S范围是(4,)． （Ⅲ）由（Ⅱ）及AFFB，APPB，得

(1x1,y1)(x21,y2)，(1x1,my1)(x21,y2m)，

于是1x11x1，（x21）. x21x211x11x122x1x20． x21x21(x21)(x21)所以所以为定值0．

30．（Ⅰ）解：由题意，得M(1,0)，直线l的方程为y=x-1.

ìïy=x-1由ï, 得x2-6x+1=0, í2ïïîy=4x设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), AB中点P的坐标为P(x0,y0), 则x1=3+22,x2=3-22,y1=x1-1=2+22,y2=x2-1=2-22, 故点A(3+22,2+22),B(3-22,2-22), 所以x0=x1+x2=3,y0=x0-1=2, 2故圆心为P(3,2), 直径|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8,

22所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)+(y-2)=16；

方法一：（Ⅱ）解：设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), MBAM(0). 则AM(mx1,y1),MB(x2m,y2), 所以 x2m(mx1) ○1

yy21因为点A, B在抛物线C上,

2所以y12=4x1,y22 =4x2, ○

由○1○2，消去x2,y1,y2得x1m

若此直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列，则|OM|2|MB||AM|，

2即|OM|2|AM||AM|，所以m2[(x1m)2y1]，

因为y12=4x1，x1m，所以m2m[(x1m)24x1]， x12整理得x13 (3m4)x1m20， ○

因为存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列， 所以关于x1的方程○3有正根，

因为方程○3的两根之积为m2>0, 所以只可能有两个正根，

3m40所以m20，解得m4.

(3m4)24m20故当m4时，存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列

方法二：（Ⅱ）解：设使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列的直线AB方程为x=m(m>0)或

y=k(x-m)(k 0),

当直线AB方程为x=m时, A(m,4m),B(m,-因为|AM|,|OM|,|MB|成等比数列,

所以|OM|2|MB||AM|，即m24m，解得m=4，或m=0(舍)； 当直线AB方程为y=k(x-m)时，

4m)，

ìy=k(x-m)ï由ï，得k2x2-(2k2m+4)x+k2m2=0， í2ïïîy=4x设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),

2k2m+4则x1+x2=1 ,x1x2=m2, ○2k由m>0, 得D=(2k2m+4)2-4k2?k2m216k2m+16>0.

因为|AM|,|OM|,|MB|成等比数列, 所以|OM|2|MB||AM|,

2所以m2(x1m)2y12(x2m)2y2， ○2

因为A, B两点在抛物线C上，

2所以y12=4x1,y23 =4x2, ○

由○1○2○3，消去x1,y1,x2,y2, 得m=4(1+1), 2k因为存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列， 所以m=4(1+1)>4, k2综上，当m³4时，存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列

以下内容与本文档无关！！！ 以下内容与本文档无关！！！ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。以下为赠送文档，祝你事业有成，财源广进，身体健康，家庭和睦！！！ 高效能人士的50个习惯  在行动前设定目标 有目标未必能够成功，但没有目标的肯定不能成功。著名的效率提升大师博思.崔西説：“成功就是目标的达成，其他都是这句话的注释。”现实中那些顶尖的成功人士不是成功了才设定目标，而是设定了目标才成功。一次做好一件事著名的效率提升大师博思.崔西有一个著名的论断：“一次做好一件事的人比同时涉猎多个领域的人要好得多。”富兰克林将自己一生的成就归功于对“在一定时期内不遗余力地做一件事”这一信条的实践。培养重点思维从重点问题突破，是高效能人士思考的一项重要习惯。如果一个人没有重点地思考，就等于无主要目标，做事的效率必然会十分低下。相反，如果他抓住了主要矛盾，解决问题就变得容易多了。发现问题关键在许多领导者看来，高效能人士应当具备的最重要的能力就是发现问题关键能力，因为这是通向问题解决的必经之路。正如微软总裁兼首席软件设计师比尔。盖茨所説：“通向最高管理层的最迅捷的途径，是主动承担别人都不愿意接手的工作，并在其中展示你出众的创造力和解决问题的能力。”把问题想透彻把问题想透彻，是一种很好的思维品质。只要把问题想透彻了，才能找到问题到底是什么，才能找到解决问题最有效的手段。不找借口美国成功学家格兰特纳说过这样的话：“如果你有为自己系鞋带的能力，你就有上天摘星星的机会！”一个人对待生活和工作是否负责是决定他能否成功的关键。一名高效能人士不会到处为自己找借口，开脱责任；相反，无伦出现什么情况，他都会自觉主动地将自己的任务执行到底。要事第一创设遍及全美的事务公司的亨瑞。杜哈提说，不论他出多小钱的薪水，都不可能找到一个具有两种能力的人。这两种能力是：第一，能思想；第二，能按事情的重要程度来做事。因此，在工作中，如果我们不能选择正确的事情去做，那么唯一正确的事情就是停止手头上的事情，直到发现正确的事情为止。运用20/80法则二八法则向人们揭示了这样一个真理，即投入与产出、努力与收获、原因和结果之间，普遍存在着不平衡关系。小部分的努力，可以获得大的收获；起关键作用的小部分，通常就能主宰整个组织的产出、盈亏和成败。合理利用零碎时间所谓零碎时间，是指不构成连续的时间或一个事务与另一事务衔接时的空余时间。这样的时间往往被人们毫不在乎地忽略过去，零碎时间虽短，但倘若一日、一月、一年地不断积累起来，其总和将是相当可观的。凡事在事业上有所成就的人，几乎都是能有效地利用零碎时间的人。习惯10、废除拖延对于一名高效能人士来説，拖延是最具破坏性的，它是一种最危险的恶习，它使人丧失进取心。一旦开始遇事推托，就很容易再次拖延，直到变成一种根深崹蒂固的习惯。习惯11、向竞争对手学习一位知名的企业家曾经说过，“对手是一面镜子，可以照见自己的缺陷。如果没有了对手，缺陷也不会自动消失。对手，可以让你时刻提醒自己：没有最好的，只有更好。”习惯12、善于借助他人力量年轻人要成就一番事业，养成良好的合作习惯是不可少的，尤其是在现代职场中，靠个人单打独斗的时代已经过去了，只有同别人展开良好的合作，才会使你的事业更加顺风顺水。如果你要成为一名高效能的职场人士，就应当养成善于借助他人力量的好习惯。习惯13、换位思考在人际的相处和沟通里，“换位思考”扮演着相当重要的角色。用“换位思考”指导人的交往，就是让我们能够站在他人的立场上，设身处地理解他人的情绪，感同身受地明白及体会身边人的处境及感受，并且尽可能地回应其需要。树立团队精神一个真正的高效能人士，是不会依仗自己业务能力比别人更优秀而傲慢地拒绝合作，或者合作时不积极，倾向于一个人孤军奋战。他明白在一个企业中，只有团队成功，个人才能成功。善于休息休息可以使一个人的大脑恢复活力,提高一个人的工作效能。身处激烈的竞争之中,每一个人如上紧发条的钟表.因此,一名高效能人士应当注意工作中的调节与休息,这不但于自己健康有益,对事业也是大有好处的。及时改正错误一名高效能人士要善于从批评中找到进步的动力.批评通常分为两类,有价值的评价或是无理的责难.不管怎样,坦然面对批评,并且从中找寻有价值、可参考的成分,进而学习、改进、你将获得意想不到的成功。责任重于一切著名管理大师德鲁克认为,责任是一名高效能工作者的工作宣言.在这份工作宣言里,你首先表明的是你的工作态度:你要以高度的责任感对待你的工作,不懈怠你的工作、对于工作中出现的问题能敢于承担.这是保证你的任务能够有效完成的基本条件。不断学习一个人,如果每天都能提高1%,就没有什么能阻挡他抵达成功.成功与失败的距离其实并不遥远,很多时候,它们之间的区别就在于你是否每天都在提高你自己;如果你不坚持每天进步1%的话,你就不可能成为一名高效能人士.让工作变得简单简单一些,不是要你把事情推给别人或是逃避责任,而是当你焦点集中很清楚自己该做那些事情时,自然就能花更小的力气,得到更好的结果.重在执行执行力是决定一个企业成败的关键,同时也是衡量一个人做事是否高效的重要标准.只做适合自己的事找到合适自己的事,并积极地发挥专长,成为行业的能手,是高效能人士应当努力追求的一个目标.把握关键细节精细化管理时代已经到来,一个人要成为一名高效能人士,必须养成重视细节的习惯.做好小事情既是一种认真的工作态度,也是一种科学的工作精神.一个连小事都做不好的人,绝不可能成为一名高效能人士.不为小事困扰我们通常都能够面对生活中出现的危机,但却常常被一些小事搞得垂头丧气,整天心情不快,精神忧闷紧张。一名高效能人士应当及时摆脱小事困扰,积极地面对工作和生活。专注目标美国明尼苏达矿业制造公司(3M)的口号是:写出两个以上的目标就等于没有目标.这句话不仅适用于公司经营,对个人工作也有指导作用。有效沟通人与人之间的交往需要沟通,在公司,无论是员工于员工员工于上司员工与客户之间都需要沟通.良好的沟通能力是工作中不可缺小的,一个高效能人士绝不会是一个性格孤僻的人,相反他应当是一个能设身处地为别人着想充分理解对方能够与他人进行桌有成效的沟通的人。及时化解人际关系矛盾与人际交往是一种艺术,如果你曾为办公室人际关系的难题而苦恼,无法忍受主管的反复无常,看不惯主管的假公济私,那么你要尝试学习如何与不同的人相处,提高自己化解人际矛盾的能力。积极倾听西方有句谚语说：“上帝给我们两只耳朵，却只给了一张嘴巴。”其用意也是要我们小説多听。善于倾听，是一个高效能人士的一项最基本的素质。保持身体健康充沛的体力和精力是成就伟大事业的先决条件。保持身体健康，远离亚健康是每一名高效能人士必须遵守的铁律。杜绝坏的生活习惯习惯有好有坏。好的习惯是你的朋友，他会帮助你成功。一位哲人曾经説过：“好习惯是一个人在社交场合中所能穿着最佳服饰。”而坏习惯则是你的敌人，他只会让你难堪、丢丑、添麻烦、损坏健康或事业失败。释放自己的忧虑孤独和忧虑是现代人的通病。在纷繁复杂的现代社会，只有保持内心平静的人，才能保证身体健康和高效能的工作。合理应对压力身体是的本钱，状态是成功的基础。健康，尤其是心理健康，已成为职场人士和企业持续发展的必备保障。学会正确地应对压力就成了高效能人士必备的一项习惯。掌握工作与生活的平衡真正的高效能人士都不是工作狂，他们善于掌握工作与生活平衡。工作压力会给我们的工作带来种种不良的影响，形成工作狂或者完美主义等错误的工作习惯，这会大大地降低一个人的工作绩效。及时和同事及上下级交流工作正确处理自己与上下级各类同事的关系，及时和同事、上下级交流工作，是高效能人士的一项重要习惯。做到上下逢源，正确处理“对上沟通”，与同事保持良好的互动交流是我们提高工作效能的一个关键。注重准备工作一个善于做准备的人，是距离成功最近的人。一个缺乏准备的员工一定是一个差错不断的人，纵然有超强的能力，千载难逢的机会，也不能保证获得成功。守时如果你想成为一名真正的高效能人士，就必须认清时间的价值，认真计划，准时做每一件事。这是每一个人只要肯做就能做到的，也是一个人走向成功的必由之路。高效地搜集并消化信息当今世界是一个以大量资讯作为基础来开展工作的社会。在商业竞争中，对市场信息尤其是市场关键信息把握的及时性与准确性，对竞争的成败有着特殊的意义。一个高效能人士应当对事物保持敏感，这样才能在工作中赢得主动。重完善自己的人际关系网人际能力在一个人的成功中扮演着重要的角色。成功学专家拿破仑.希尔曾对一些成功人士做过专门的调查。结果发现，大家认同的杰出人物，其核心能力并不是他的专业优势，相反，出色的人际策略却是他们成功的关键历练说话技巧有人说：“眼睛可以容纳一个美丽的世界，而嘴巴则能描绘一个精彩的世界。”法国大作家雨果也说：“语言就是力量。”的确，精妙、高超的语言艺术魅力非凡，世界上欧美等发达国家把“舌头、金钱、电脑”并列为三大法宝，口才披公认为现代职场人士必备素质之一。一名高效能人士的好口才加上礼仪礼节，往往可以为自己的工作锦上添花，如果我们能够巧妙运用语言艺术，对协调人际关系、提高工作效能都将大有裨益。善于集思广益、博采众议一件事物往往存在着多个方面，要想全面、客观地了解一个事物，必须兼听各方面的意见，只有集思广益，博采众长，才能了解一件事情的本来面目，才能采取最佳的处理方法。因此，一名高效能人士要时常以“兼听则明，偏听则暗”的谏言提醒自己，多方地听取他人的意见，以确保自己能够做出正确的决定。善于授权善于授权，举重若轻才是管理者正确的工作方式：举轻若重，事必躬亲只会让自己越陷越深，把自己的时间和精力浪费于许多毫无价值的决定上面。制订却实可行的计划许多成功人士的成功经验告诉我们，认真的做一份计划不但不会约束我们，还可以让我们的工作做得更好。当然，同许多其他重要的事情一样，执行计划并不是一件简单容易的事。如果你约束自我，实现了自己制定的计划，你就一定会成为一个卓有成效的高效能人士。经常和成功人士在一起心理学研究表明，环境可以让一个人产生特定的思维习惯，甚至是行为习惯。环境能够