指数函数典型例题详细解析

指数函数·例题解析第一课时

【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：

(1)y＝312x(2)y＝2x21(3)y＝33x1

解 (1)定义域为{x|x∈R且x≠2}．值域{y|y＞0且y≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为{|y|y≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

∴值域是0≤y＜3．

1.指数函数Y=ax （a>0且a≠1）的定义域是R，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0)

3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)

【例2】（基础题）指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如

图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是

[ ]

A．a＜b＜1＜c＜d

B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b

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解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．

【例3】（基础题）比较大小：

(1)2、32、54、88、916的大小关系是：(2)0.645132()2．

(3)4.54.1________3.73.6

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1213253849解(1)∵22，322，542，882，9162，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，13241又＜＜＜＜，∴32＜88＜54＜916＜2．38592132解 (2)∵0.6＞1，1＞()，2 413∴0.65＞()2．245

解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6

∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．

例题4（中档题） 学习必备 欢迎下载

【例4】比较大小n1an与nan1(a＞0且a≠1，n＞1)．n1解ann1naa1n(n1) 1当0＜a＜1，∵n＞1，＞0，n(n1)＜1，∴n1an＜nan11当a＞1时，∵n＞1，＞0，n(n1)∴a

1n(n1)∴a1n(n1)＞1，n1an＞nan1

【例5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法

1x1(1)y＝()2(3)y＝2|x-1|

(2)y＝2x－2，

(4)y＝|1－3x|

11解 (1)y＝()x1的图像(如图2．6－4)，过点(0，)及(－1，1)．22

1x是把函数y＝()的图像向左平移1个单位得到的．2解 (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．

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解 (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解 (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)

例6（中档题） ： 用函数单调性定义证明：当a

＞1时，y = ax是增函数.

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【解析】设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2 = x1 + h (h＞0，h∈R)，很独特的方式 则有ax2ax1ax1hax1ax1(ah1)， ∵a＞1，h＞0，∴ax10,ah1， ∴ax2ax10，即

故y = ax (a＞1)为R上的增函数，

同理可证0＜a＜1时，y = axax1ax2是R上的减函数.

例题7 中档题）

指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析） 二次函数为内层函数，指数函数为外层函数 3x2－5x＋6【例6】求函数y＝()的单调区间及值域．43u2解 令u＝x－5x＋6，则y＝()是关于u的减函数，而u＝x2－5x4

55＋6在x∈(∞，]上是减函数，在x∈[，∞)上是增函数．∴函数22 3x2－5x＋655y＝()的单调增区间是(∞，]，单调减区间是[，∞)．4225211又∵u＝x－5x＋6＝(x)≥，2443u1函数y＝()，在u∈[，∞)上是减函数，44

43x2－5x＋6108所以函数y＝()的值域是(0，]．432学习必备 欢迎下载

变式1 求函数y=（1）

2x22x的单调区间，并证明之.

解法一（在解答题）：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，

12()x22x2y11则2=2=（）（x2－x1）（x2+x1－2） 【（）为底数，红色部分为指数】 ，

1x122x122y1()2∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.

当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，则1.

∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增.

当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即1.

（此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性）

∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减.

综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.

合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.

解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）：

设：ux22x

y2＞y1y2＜y11则：y

2对任意的1x1x2，有u1u2，

u学习必备 欢迎下载

1又∵y是减函数

2

∴y1y2 ∴y

u12x22x在[1,)是减函数

对任意的x1x21，有u1u21又∵y是减函数

2∴y1y2 ∴yu

x22x12在[1,)是增函数

u1在该问题中先确定内层函数（ux22x）和外层函数（y）的单调情况，再

2根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.

变式2 已知a0且a1，讨论f(x)a指数x3x2(x)2x23x2的单调性.

【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，

3221733，当x≥时是减函数，x≤时是增函数， 422而f(x)的单调性又与0a1和a1两种范围有关，应分类讨论. 【解析】设ux3x2

2317(x)2，

24则当x≥

33时，u是减函数， 当x≤时，u是增函数， 22又当a1时，yau是增函数， 当0a1时，yau是减函数，

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3232所以当a1时，原函数f(x)ax增函数.

当0a1时，原函数f(x)ax函数.

223x2在[,)上是减函数，在(,]上是

3x2在[,)上是增函数，在(,]上是减

3232【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数； ；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.

第二课时

例题8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数

换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围)

11【例7】求函数y＝()x()x＋1(x≥0)的单调区间及它的最大值．42111131解 y＝[()x]2()x1[()x]2，令u＝()x，∵x≥0，

22224211∴0＜u≤1，又∵u＝()x是x∈[0，＋∞)上的减函数，函数y＝(u)2223111x1在u∈(0，]上为减函数，在[，1)上是增函数．但由0＜()≤422221111得x≥1，由≤()x≤1，得0≤x≤1，∴函数y＝()x()x＋1单调增

2242区间是[1，＋∞)，单调减区间[0，1]当x＝0时，函数y有最大值为1．

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内层指数函数u=(1/2)x为减，当u在（0，1/2】时，此时外层二次f（u)为减函数，即x在【1，正无穷大），，则复合函数为

增（画草图分析法）

点评：（1）指数函数的有界性（值域）：x2≥0; ax>0

（2）上述证明过程中，在两次求x的范围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。

变式： 求（3）y4y4x2x11xx2x2x2x11的值域.

解 xR y(2)221(21), 且20,y1.

故y421的值域为{y|y1}.

【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.

xxx1

例题9 （中档题）分式型指数函数

ax1【例8】已知f(x)＝x(a＞1)

a1

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(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；

(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

解 (1)定义域是R．

ax1ax1f(－x)＝xx＝－f(x)，

a1a1∴函数f(x)为奇函数．

ax11yy1(2)函数y＝x，∵y≠1，∴有ax＝＞0－1＜y＜1，

y11ya1

反函数法，用指数函数值域 即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2． f(x1)－f(x2)

axl1ax212(axlax2)＝xl1x21＝xl，∵a＞1，x1＜x2，ax1＜ax2，(ax1＋1)xaa(a1)(a21) (ax2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2)，故f(x)在R上为增函数．

变式1 设a是实数，

f(x)a

证明：设

2(xR)试证明对于任意a,f(x)为增函数； x21

x1,x2∈R,且 x1x2

则

f(x1)f(x2)

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22(ax)(ax)

2112212(2x12x2)22xxx 22121(211)(2x21)由于指数函数y=2在R上是增函数,且

xx1x2,

所以 2x12x2即2x12x2<0， 又由 2 >0得 2+1>0, 2x+1>0

2xx1所以f(x1)f(x2)<0即f(x1)f(x2)

因为此结论与a取值无关，所以对于 a取任意实数，f(x)为增函数

例题10（中档题） 抽象函数 学习必备 欢迎下载

例题10 变式1（疑难题） 学习必备 欢迎下载

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第三课时

复合函数

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作业课本： 课本P 习题