指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

一、指数的性质 （一）整数指数幂

n1．整数指数幂概念： aaaa (nN) a01a0 n个a an1 a0,nNnamnmnmn2．整数指数幂的运算性质：（1）aaam,nZ （2）annn（3）ababnZ

nmnamnm,nZ

其中aaaamnmnaana1nnn， ababn．

bb3．a的n次方根的概念 即： 若xn一般地，如果一个数的n次方等于an1,nN，那么这个数叫做a的n次方根，

a，则x叫做a的n次方根， n1,nN

例如：27的3次方根3273， 27的3次方根3273，

32的5次方根5322， 32的5次方根5322．

说明：①若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若a0则na0，若ao则na0；

②若n是偶数，且a0则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：

na；（例如：8的平方根822 16的4次方根4162）

③若n是偶数，且a0则na没意义，即负数没有偶次方根； ④00n1,nNn ∴n00；

⑤式子a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 ∴

nanna．

．

4．a的n次方根的性质

一般地，若n是奇数，则nana；

a 若n是偶数，则aaanna0a0．

5．例题分析：

例1．求下列各式的值：

（1）383 （2）

102 （3）43 （4）

4ab2ab解：略。

例2．已知ab0, n1,nN， 化简：nabnab．

nn解：当n是奇数时，原式(ab)(ab)2a

当n是偶数时，原式|ab||ab|(ba)(ab)2a 所以，nabnabnn2an为奇数．

2an为偶数(52)2(52)225

例3．计算：740740

解：740740例4．求值：

595． 2459452425（52） 2459解：5242552625（51）51 22442（二）分数指数幂

1．分数指数幂：

5aaa102105a0

3aaa124123a0

即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）a3knakn对分数指数幂也适用，

4422553422532例如：若a0，则a3a3a，a4a4a， ∴aa3

aa．

545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是a （2）正数的负分数指数幂的意义是amnmnnama0,m,nN,n1；

1amn1nama0,m,nN,n1．

2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

即

1aaaa0,r,sQr3ab,0r,Q arbra0brsrs

2ars arsQa0,r,s说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；

（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：

例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式ao： aa， a33a2， 解：aa=aaa33232322aa.

212212a；

1252 aa=aaa；

3aa=aaaa4．

121232113例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

31151112（1）2a3b26a2b33a6b6； （2）m4n8；

151112解（1）2a3b26a2b33a6b6

8 =263a =4ab4a；

08211326b115236

33118m223844 （2） mn=mn=mn3．

n例3．计算下列各式：

a234（1）51255 （2）a0．

32aa22311313解：（1）512545=535254=53545254

88 =55=1255545； （2）51254a2a3a2=

a2aa1223a6a5．

56（三）综合应用

例1．化简：5解：5x1x15x5x1.

5x5x1=5x1(1525)=315x1=

1212141431x5. 5 例2．化简：(xy)(xy).

解：(xy)(xy)(xy)(xy)(xy) xy．

评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即(x)x，由此联想到平方差公式的特点，

进而使问题得到解决。 例3．已知xx解：（1）

121212141414141414141414141421213，求下列各式的值：（1）xx；（2）xx.

122122121212123232(xx)(x)2xx1212(x)

122x1x12325，

∴xx5，

又由xx1213得x0，∴xx1212120，

所以xx

5.

（2）（法一）xx12123232＝（x)(x)(xx)[(x)xx12312312121221212(x)]

122(xx)[(xx1)1]5(31)25，

（法二）[(x)(x而xx323232)](x)(x)2xx23223223232x3x32

33(xx1)(x2x21)

322(xx1)[(xx1)23]3(323)18

∴(xx)20，

又由xx32130得x0，∴xx3232320，

所以xx2025. 二、指数函数

1．指数函数定义：

一般地，函数ya（a0且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．

x2．指数函数ya在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质：

xa1 0a1 图象 性质 （1）定义域：R （2）值域：(0,) （3）过点(0,1)，即x0时y1 （4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数

例1．求下列函数的定义域、值域： （1）y8解：（1） 令t12x11xax1x(a0,a1)． （2）y1() （3）y3 （4）yx

2a12x10 ∴x11 原函数的定义域是{xxR,x}， 221 则t0,tR 2x1t ∴y8(tR,t0)得y0,y1，

所以，原函数的值域是{yy0,y1}．

（2）1()0 ∴x0 原函数的定义域是0,，

x12 令t1()(x0) 则0t1，

12xyt在0,1是增函数 ∴0y1，

所以，原函数的值域是0,1． （3）原函数的定义域是R， 令tx 则t0，

y3t在,0是增函数， ∴0y1，

所以，原函数的值域是0,1．

（4）原函数的定义域是R，

ax1y1(a0,a1)得ax由yx， a1y1y10， ∴1y1， ax0 ∴y1所以，原函数的值域是1,1．

说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

ax1例2．当a1时，证明函数yx 是奇函数。

a1证明：由a10得，x0，

故函数定义域{xx0}关于原点对称。

xax1(ax1)ax1axf(x)xf(x)

a1(ax1)ax1ax∴f(x)f(x)

ax1所以，函数yx 是奇函数。

a1例3．设a是实数，f(x)a2(xR)， x21（1）试证明：对于任意a,f(x)在R为增函数； （2）试确定a的值，使f(x)为奇函数。

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生

注意不同题型的解答方法。 （1）证明：设x1,x2R,x1x2，则

22)(a) 2x112x2122 x2x121212(2x12x2)x1， (21)(2x21)xxxxx由于指数函数y2在R上是增函数，且x1x2，所以2122即21220，

x1x1x又由20，得210，220，

所以，f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)．

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)在R为增函数。 f(x1)f(x2)(a评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。 （2）解：若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，

22(a) xx212122x22(2x1)xx变形得：2ax， x(21)22121解得：a1，

所以，当a1时, f(x)为奇函数。

即a三、对数的性质

1．对数定义：一般地，如果a（a0且a1）的b次幂等于N, 就是abN，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 logaNb，a叫做对数的底数，N叫做真数。

b即aN， logaNb

指数式abN a 底数 N 幂 b 指数 对数式logaNb 对数的底数 0真数 对数 说明：1．在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数） 2．对任意 a0且 a1, 都有 a1 ∴loga10，同样：logaa1．

b3．如果把aN中的b写成logaN， 则有 alogaNN（对数恒等式）．

2．对数式与指数式的互换 例如：

26 24216 log 10 log101002 10 041122例1．将下列指数式写成对数式：

（1）525； （2）2211 log100.012 42 log 100.042a1； （3）3127； （4）5.37． 3m解：（1）log56254； （2）log216； （3）log327a； （4）log15.37m．

33．介绍两种特殊的对数：

①常用对数：以10作底 log10例2．（1）计算： 解：设xN 写成 lgN

logeN 写成 lne．

54②自然对数：以e作底为无理数，e= 2.71828…… ，

log927， log3625．

3log927 则 ax27， 32x33, ∴x；

254令xlog3625， ∴

534x625, 54x354, ∴x5．

（2）求 x 的值：①log3x解：①x3②3x23432； ②log23x2x11．

2x141 ； 4272x12x21x22x0x0,x2

2x2102但必须：2x11 ， ∴x0舍去 ，从而x2．

3x22x10（3）求底数：①logx3解：①x②x7835533537， ②logx2． 5853；

3(3) ∴x38778

22, ∴x2．

4．对数的运算性质：

如果 a > 0 ， a  1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）loga(MN)logaMlogaN； （2）logaMlogaM-logaN； Nn（3）logaMnlogaM(nR)．

例3．计算： （1）lg1421g

lg2437lg27lg83lg10； （3）． lg7lg18； （2）

lg93lg1.27解：（1）解法一：lg142lglg7lg18

3lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322)

lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20；

解法二：lg142lg7lg7lg18 37lg14lg()2lg7lg18

3147=lglg10；

72()183lg243lg355lg35（2）； 2lg92lg32lg33(lg32lg21)3lg27lg83lg10lg(3)lg23lg102（3）=． 232lg32lg212lg1.2lg10logmN5．换底公式：logaN ( a > 0 , a  1 ；m0,m1)

logma132312x证明：设logaNx，则aN，

x 两边取以m为底的对数得：logmalogmN，∴xlogmalogmN，

从而得：xlogmNlogmN ， ∴ logaN．

logmalogman说明：两个较为常用的推论：

（1）logablogba1 ； （2）logamb证明：（1） logablogbann． logab （a、b0且均不为1）

mlgblga1； lgalgblgbnnlgbnlogab． （2） logamblgammlgam例4．计算：（1） 5解：（1）原式 =

1log0.23； （2）log43log92log2432．

515； 1log0.231log55533115153 （2） 原式 = log23log32log22．

224442b例5．已知log1a，185，求log35（用 a, b 表示）．

55解：∵log1a， ∴log18∴log1821a， 又∵185， ∴log185b，

b181log182a， 2log1845log1log185ab．

log18361log1822a111xyz例6．设346t1 ，求证：．

zx2yxyz证明：∵346t1，

lgtlgtlgt，y，z∴ x， lg3lg4lg611lg6lg3lg2lg41 ∴ ．

zxlgtlgtlgt2lgt2y例7．若log83p，log35q，求lg5． 解：∵log83p，

∴log35∴log233plg33plg23p(1lg5)， 又∵ log35lg5q， lg3∴ lg5qlg33pq(1lg5)， ∴ (13pq)lg53pq

3pq∴ lg5．

13pq四、对数函数

1．对数函数的定义：函数 ylogax(a0且a1)叫做对数函数。 2．对数函数的性质：

（1）定义域、值域：对数函数ylogax(a0且a1)的定义域为(0,)，值域为

(,)．

（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数

函数图象作关于yx的对称图形，即可获得。 同样：也分a1与0a1两种情况归纳，以ylog2x（图1）与ylog1x（图2）为

2例。

y2x

yx

1 ylog2x

1

1y()x

21

1

yx

ylog1x

2（图1）

（图2）

（3）对数函数性质列表： a1 图 象 0a1 x1 ylogax x1 (1,0) （1）定义域：(0,) 性 质 （2）值域：R （3）过点(1,0)，即当x1时，y0 (1,0) ylogax （4）在（0，+∞）上是增函数 例1．求下列函数的定义域： （4）在(0,)上是减函数 22（1）ylogax； （2）yloga(4x)； （3）yloga(9x)．

分析：此题主要利用对数函数ylogax的定义域(0,)求解。 解：（1）由x>0得x0，

2∴函数ylogax的定义域是xx0；

2（2）由4x0得x4，

∴函数yloga(4x)的定义域是xx4； （3）由9-x0得-3x3，

2∴函数yloga(9x)的定义域是x3x3．

2例2．比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9. 解：（1）对数函数ylog2x在(0,)上是增函数，

于是log23.4log28.5；

（2）对数函数ylog0.3x在(0,)上是减函数，

于是log0.31.8log0.32.7；

（3）当a1时，对数函数ylogax在(0,)上是增函数，

于是loga5.1loga5.9，

当oa1时，对数函数ylogax在(0,)上是减函数，

于是loga5.1loga5.9．

例3．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log67，log76； （2）log3，log20.8；

0.9（3）1.1，log1.10.9，log0.70.8； （4）log53，log63，log73．

解：（1）∵log67log661，

log76log771，

∴log67log76；

（2）∵log3log310，

log20.8log210， ∴log3log20.8．

（3）∵1.11.101，

log1.10.9log1.110，

0log0.71log0.70.8log0.70.71，

0.90.9∴1.1log0.70.8log1.10.9．

（4）∵0log35log36log37， ∴log53log63log73．

例4．已知logm4logn4，比较m，n的大小。 解：∵logm4logn4， ∴

11，

log4mlog4n11当m1，n1时，得0，

log4mlog4n∴log4nlog4m， ∴mn1．

110， 当0m1，0n1时，得

log4mlog4n∴log4nlog4m， ∴0nm1．

当0m1，n1时，得log4m0，0log4n， ∴0m1，n1， ∴0m1n．

综上所述，m，n的大小关系为mn1或0nm1或0m1n．

例5．求下列函数的值域：

22（1）ylog2(x3)；（2）ylog2(3x)；（3）yloga(x4x7)（a0且a1）．

解：（1）令tx3，则ylog2t， ∵t0， ∴yR，即函数值域为R． （2）令t3x，则0t3，

∴ylog23， 即函数值域为(,log23]． （3）令tx4x7(x2)33，

当a1时，yloga3， 即值域为[loga3,)， 当0a1时，yloga3， 即值域为(,loga3]． 例6．判断函数f(x)log2(x21x)的奇偶性。 解：∵x21x恒成立，故f(x)的定义域为(,)，

222f(x)log2(x21x)

1log2

2x1xlog2x21x(x1)x222

log2x21xf(x)，

所以，f(x)为奇函数。

例7．求函数y2log1(x23x2)的单调区间。

3解：令ux3x2(x)133在[,)上递增，在(,]上递减， 4222又∵x3x20， ∴x2或x1，

2故ux3x2在(2,)上递增，在(,1)上递减， 又∵y2log1u为减函数，

22332所以，函数y2log1(x23x2)在(2,)上递增，在(,1)上递减。

32例8．若函数ylog2(xaxa)在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。

解：令ug(x)xaxa， ∵函数ylog2u为减函数，

2∴ug(x)xaxa在区间(,13)上递减，且满足u0，

2a13∴2，解得223a2， g(13)0所以，a的取值范围为[223,2]．