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指数函数及其性质

1. 指数函数概念 一般地，函数

2. 指数函数函数性质：

叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 .

函数名称

定义

指数函数

函数

且

叫做指数函数

图象

定义域 值域

过定点 奇偶性 单调性

图象过定点 ，即当 非奇非偶

时， .

在 上是增函数 在 上是减函数

函数值的 变化情况

变化对图 象的影响

在第一象限内，从逆时针方向看图象， 逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向

看图象， 逐渐减小 .

对数函数及其性质

1. 对数函数定义 一般地，函数

叫做对数函数，其中

是自变量，函数的定义域

.

2. 对数函数性质：

函数名称

对数函数

定义

函数 且 叫做对数函数

图象

定义域

值域

过定点

图象过定点

，即当

非奇非偶

时，

.

奇偶性

单调性

在 上是增函数 在 上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象的影响

在第一象限内，从顺时针方向看图象，

逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向

看图象， 逐渐减小 .

指数函数习题

一、选择题

a

1．定义运算 a?b＝

a≤ b

>

，则函数 f ( x) ＝1?2x 的图象大致为 ()

b a b

2．函数 f ( x) ＝ x2－bx＋ c 满足 f (1 ＋ x) ＝f (1 － x) 且 f (0) ＝3，则 f ( bx) 与 f ( cx) 的大小关系 是(

x

)

A． f ( b ) ≤ f ( c ) B． f ( b ) ≥ f ( c )

x

x

x x

C． f ( b )> f ( c )

D．大小关系随 x 的不同而不同

x

3．函数 y＝ |2 x － 1| 在区间A． ( － 1，＋∞ )

( k－ 1， k＋ 1) 内不单调，则 k 的取值范围是 (

B． ( －∞， 1)

)

D． (0,2) C． ( － 1,1)

4．设函数 ( ) ＝ln [( x－1)(2 －x)] 的定义域是 ，函数 ( ) ＝ lg(

若 ?

A

B

，则正数

f x

xa

a

的取值范围 (

)

A

g x

－ 2x－1) 的定义域是 ，

B

A． a>3 C． a> 5

B． a≥ 3 D． a≥ 5

．已知函数 f x ＝ 3－ a x－3， x≤ 7，

x－6a ， x>7. 5 ( ) 增数列，则实数 A． [ ， 3) 4

C． (2,3)

若数列 an 满足 an＝ f n n∈ * ，且 an 是递

{ } N) { } ( )(

9

a 的取值范围是 (

B． ( ， 3) 4

D． (1,3)

2

x

9

)

1

6．已知 a>0 且 a≠ 1，f ( x) ＝ x － a ，当 x∈ ( － 1,1) 时，均有 f ( x)< 2，则实数 a 的取值范围 是( )

1 1 A． (0 ， 2] ∪ [2 ，＋∞ ) 1 C． [ 2， 1) ∪ (1,2] 二、填空题

x

B． [ 4， 1) ∪ (1,4]

1

D． (0 ， 4) ∪ [4 ，＋∞ )

a

7．函数 y＝ a ( a>0，且 a≠ 1) 在 [1,2] 上的最大值比最小值大 8．若曲线 | y| ＝ 2 x＋ 1 与直线 y＝b 没有公共点，则

2，则 a 的值是 ________．

b 的取值范围是 ________．

| x|

9． (2011 ·滨州模拟 ) 定义：区间 [x1，x2 ]( x1三、解答题

10．求函数 y＝ 2

x2 3x 4 的定义域、值域和单调区间．

11．(2011 ·银川模拟 ) 若函数 y＝ a2x ＋ 2ax －1( a>0 且 a≠ 1) 在 x∈ [－ 1,1]上的最大值为 14，求

a 的值．

( ) ＝ 3x ， ( ＋ 2) ＝ 18， ( ) ＝ λ·3ax－4x 的定义域为 [0,1] ． f x f a g x

(1) 求 a 的值； (2) 若函数 g( x) 在区间 [0,1] 上是单调递减函数，求实数 λ的取值范围． 12．已知函数

1. 解析： 由 ? ＝ a a≤ b

b a>b

x2 x

1

x≤0 ，

x>0 .

答案： A

2. 解析： ∵f (1 ＋ x) ＝ f (1 － x) ，∴f ( x) 的对称轴为直线 x＝ 1，由此得 b＝2.

又 f (0) ＝ 3，∴c＝ 3. ∴f ( x) 在 ( － ∞， 1) 上递减，在 (1 ，＋ ∞ ) 上递增．

x≥ 2x ≥ 1，∴ (3 x) ≥ (2 x) ．

若 x≥ 0，则 3

f f

若 x<0，则 3x<2x<1，∴f (3 x)> f (2 x ) ． ∴f (3 x) ≥ f (2 x) ． 答案： A

3. 解析： 由于函数 y＝ |2 x－1| 在 ( － ∞， ∞ ) 内单调递增，而函数在 0) 内单调递减，在 (0 ，＋

区间 ( k－ 1， k＋ 1) 内不单调，所以有

k－1<0答案： C

x

x

x x

4. 解析： 由题意得： A＝ (1,2) ，a － 2 >1 且 a>2，由 A? B知 a － 2 >1 在(1,2) 上恒成立，即

x x

x

x

x x

a －2 － 1>0 在 (1,2) 上恒成立，令 u( x) ＝a － 2 － 1，则 u′( x) ＝ a ln a－ 2 ln2>0 ，所以函数

u( x) 在 (1,2) 上单调递增，则 u( x)> u(1) ＝ a－ 3，即 a≥ 3.

答案： B

*5. 解析： 数列 { a } 满足 a ＝ f ( n)( n∈ N ) ，则函数

f ( n) 为增函数，

n

n

a>1

8－ 6

a>0

a>(3

a 7－ 3，所以 3－

注意

－ ) ×

，解得 2a

8－6

> 3－ a × 7－3

答案： C

x2x

6. 解析： f

( )<1 1 2

x x

2

? x －a < ? x －1 与 y＝x －1

的图象，

2

2

2

2

当 a>1 时，必有 a－1≥1

，即 12

当 0，即 ≤a<1，

12 2 综上， 2≤ a<1 或 17. 解析： 当 a>1 时， yx2

a

＝ a

在 [1,2] 上单调递增，故 a － a＝ ，得 a＝ . 当 30<

a<1 时， y＝ a

2 2

2

a

在 [1,2] 上单调递减，故 a－a ＝ 2，得 a＝ 2. 故 a＝2或 2.

113

1 3

答案： 2或2

8. 解析： 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．

x

x

曲线 | y| ＝ 2 ＋1 与直线 y＝ b 的图象如图所示，由图象可得：如果

| y| ＝ 2 ＋ 1 与直线没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈ [－ 1,1] ．

x

y＝ b

答案： [－ 1,1]

9. 解析： 如图满足条件的区间 [a， b] ，当 a＝－ 1， b＝ 0 或 a＝ 0， b＝ 1 时区间长度最 小，最小值为 1，当 a＝－ 1，b＝ 1 时区间长度最大，最大值为

2，故其差为 1.

答案： 1

10. 解： 要使函数有意义，则只需－ x2－3x＋ 4≥ 0，即 x2＋ 3x－4≤ 0，解得－ 4≤ x≤ 1. ∴函数的定义域为 { x| －4≤ x≤ 1} ．

2

令 t ＝－ x － 3x＋ 4，则 t ＝－ x － 3x＋ 4＝－ ( x＋ ) ＋

2

3

2

25 4

，

2

25

3

∴当－4≤ x≤ 1 时， t max＝ 4 ，此时 x＝－ 2， t min＝ 0，此时 x＝－ 4 或 x＝1.

∴0≤t ≤ 25 . ∴0≤ －x 2－ 3x＋ 4≤ 5 .

4 2 ∴函数 y＝ ( )

1

x

2

3 x

4

2

的值域为 [ 2 ， 1] ．

8

2

由 t ＝－ x － 3x＋ 4＝－ ( x＋ )

3 2

2

＋

25 4

( － 4≤ x≤ 1) 可知，

3

当－ 4≤ x≤－ 2时， t 是增函数，

3

当－ 2≤ x≤1 时， t 是减函数．

根据复合函数的单调性知：

2

y＝ ( 1 )

x

3 x 43 3

在 [ － 4，－ ] 上是减函数，在 [ － ，1] 上是增函数．

2

2 3

2

3

∴函数的单调增区间是 [ － 2， 1] ，单调减区间是 [ － 4，－ 2] ． 11. 解： 令

x

tt >0

y

t

2

2t

1

( t

1)

2

2

t 1.

a ＝ ，∴ ，则

＝ ＋

x

－ ＝ ＋

－ ，其对称轴为

＝－

2

该二次函数

在[ － 1，＋ ∞ ) 上是增函数．

1

①若 a>1，∵x∈ [ － 1,1] ，∴t ＝ a ∈ [ a， a] ，故当 t ＝ a，即 x＝1 时， ymax＝a ＋ 2a－ 1＝14，

解得 a＝ 3( a＝－ 5 舍去 ) ． ②若 0x

1 1

＝－

时，

x

1

ymax a＋ 1) － 2＝ 14.

1

1

1

综上可得 a＝ 3 或 3.

＝(

1

2

∴a＝3或－ 5( 舍去 ) ．

a

12. 解： 法一： (1) 由已知得 3 (2) 此时 g( x) ＝ λ·2x－ 4 x， 设 0≤ x1＋2 a

＝ 18? 3 ＝ 2? a＝log 32.

因为 g( x) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，

所以 g( x ) － g( x ) ＝ (2 x － 2x )( λ－ 2x － 2x )>0 恒成立，即 λ<2x ＋ 2x 恒成立．

1 2 1 2 2 1 2 1

0

0

由于 2x2＋ 2x1>2 ＋ 2 ＝ 2，

所以实数 λ的取值范围是

λ≤ 2.

法二： (1) 同法一．

(2) 此时 g( x) ＝ λ·2x－ 4x，

因为 g( x) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，

x2x

所以有 g′( x) ＝ λln2 ·2x － ln4 ·4x＝ ln2 [－ 2 ·(2)＋ λ·2] ≤0 成立．

x

设 2 ＝ u∈ [1,2] ，上式成立等价于－

2u

2

＋ λu≤0 恒成立．

因为 u∈ [1,2] ，只需 λ≤2u 恒成立，

所以实数 λ的取值范围是

λ≤ 2.

对数与对数函数同步练习

一、选择题 1、已知 3a

A 、 a 2

2 ，那么 log3 8 2log 3 6 用 a 表示是（

B、 5a

）

2

C、 3a (1 a)2 D、 3a a2

2、 2log a (M A、

2N ) log a M

log a N ，则

M 的值为（

）

1

B、4

N C、1

D、 4 或 1

4

3 、 已 知 x2 y 2 1, x

0, y 0 ， 且 loga (1 x) m,log a 1

1 x

n,则 log a y 等 于

（

A、 m n

）

B、 m n

C、 m n

2

1

D、 m n

2

，则 g

1

4、如果方程 lg 2 x （

(lg5

lg 7)lg

x lg5 glg 7 0 的两根是 ,

的值是

）

A、 lg5 glg 7 B、 lg35

C、 35

1

D、

1

35

5、已知 log 7[log 3 (log 2 x)] 0，那么 x

A、

2

等于（ C、

）

1

B、

1

1

D、

2

1

3 2 3 2 3

3

6、函数 y

lg

2 1 x

1 的图像关于（

）

A、 x 轴对称 7、函数 y

B、 y 轴对称 C、原点对称

）

D、直线 y

x 对称

log(2 x 1) 3x

2 的定义域是（

A、 ,1 U 1,

3

2

B、 ,1 U 1,

2

1

C、 ,

3

2

D、 ,

2

1

8、函数 y

log 1 (x2 6x

2

17) 的值域是（

）

A、 R B、 8, C、, 3 D、 3,

9、若 log m 9 log n 9 0 ，那么 m, n 满足的条件是（ A、 m n 1

3

）

B、 n m 1 C、 0 n m 1

）

D、 0 m n 1

10、 log a 2 1，则 a 的取值范围是（

A、 0, U 1,

3

2

B、 ,

2

C、 ,1

2

D、 0, U ,

2

2

3 3

3 3

11、下列函数中，在 0,2 上为增函数的是（ A、 y

）

log 1 ( x

2

1)

B、 y log 2 x2 1

C、 y

log 2 1

x

D、 y

log 1 ( x2 4x 5)

2

12、已知 g( x) （ A、在 C、在

loga x+1 ( a 0且a 1) 在 10， 上有 g( x)

0 ，则 f ( x)

a x 1 是

） ,0

上是增加的 B、在 D、在

,0 上是减少的 ,0 上是减少的

, 1 上是增加的

二、填空题

13、若 log a 2 m,log a 3 n, a2 m n 14、函数 y

log ( x-1) (3- x) 的定义域是

。

。 。

（奇、偶）函数。

15、 lg 25 lg 2glg 50 (lg 2)2 16、函数 f (x) lg

x2 1 x 是

三、解答题：（本题共 3 小题，共 36 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤 . ）

17、已知函数 f ( x)

10 x 10 x 10 3)

x

10 x

x2

，判断 f (x) 的奇偶性和单调性。

18、已知函数 f ( x

2

， lg 2

x 6

(1)求 f ( x) 的定义域； (2)判断 f (x) 的奇偶性。 19 、已知函数 f ( x)

mx

2

8x n

的定义域为 R ，值域为 0,2 ，求 m, n 的值。

x 2 1

对数与对数函数同步练习参

一、选择题

题号

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

答案ABDDCCACCADC 二、填空题

3 x

x 0 1 1

13、12 14 、 x 1 x 3且x

2由 x 1 0

解得 1 x

3且x 2

15、2

16

x

、 奇 ，

R且 f ( x) lg( x2

1 x) lg

1 x 2 1

lg( x2 1 x)

x

f (x),

f (x)

为奇函数。 三、解答题 17

、

（

1

）

f ( x) 10 10

xx10 10 R

xx

10 , x R

10 2x 1

2x

1

，

f (

x)

10 x 10 x 10

x

102x 1 102x 1

f (x), x

10 x

∴ f (x) 是奇函数

（ 2） f (x)

102x 1

, x R.设 x1, x2

(

,

) ，且 x1

x2 ，

10 2x 1 f (x2 )

1

则 f (x1)

102 x 1102 x

21

2

1 1

2(102x 102 x)

12 10 ， (Q 10 2x1

102 x )

2

102 x 1 102 x

(102 x

1)(102 x2 1)

∴ f (x) 为增函数。

2

x2

x2 3

3

x 3

x 2

6

18、（1）∵ f ( x 3) 得 x2

lg x2

6

lg x2 3

3 ，∴ f ( x) lg

x 3 ，又由 x2

0

3 3 ， ∴ f ( x) 的定义域为 3, 。

（ 2）∵ f ( x) 的定义域不关于原点对称，∴

2

f (x) 为非奇非偶函数。

19、由 f (x) log 3 mx

8x x 1

2

n ，得 3

y

mx2 8x n

x2 1 ，即 3y m gx2 8x 3y n 0

y

,

4(3y

∵ x R

)(3 y ) 0 2 y

m n ≥ ，即 3 (m n)g3

mn 16 ≤ 0

由 0 ≤ y ≤ 2 ，得 1≤ 3 ≤ 9 ，由根与系数的关系得

y

mn1

9

，解得 m n 5 。

mn 16

1g9