幂函数经典例题(答案)

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．

答案 C

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f(x)＝x5是偶函数，且5和5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数．

82

故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5. 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．

例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )

文案大全

实用标准文档

A．-11 D．n<－1，m>1

解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0答案 B

点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．

例4、已知x>x3，求x的取值范围．

1

错解 由于x≥0，x3∈R，则由x>x3，可得x∈R.

错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．

正解

2

2

1

2

1

作出函数y=x2和y=x的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.

例5、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.

解 根据幂函数定义得

m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；

当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3. 点评 幂函数y＝xα (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．

文案大全

13

实用标准文档

变式 已知y＝(m2＋2m－2)x

1

＋2n－3是幂函数，求m，n的值． m－1

2解

2

由题意得m－1≠0

2n－3＝0

m2＋2m－2＝1

，

m＝－3解得3

n＝2

，

3所以m＝－3，n＝2. 例6、比较下列各组中两个数的大小：

（1）1.5，1.7；（2）0.7，0.6；（3）(－1.2)3535351.51.5

－23，(－1.25)－23．

解析：（1）考查幂函数y＝x的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴1.5＜1.7，

（2）考查幂函数y＝x的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵(－1.2)＞1.25－23323535－23＝1.2－23(－1.25)，

－23＝1.25－23，又1.2－23＞1.25－23， ∴(－1.2)－23．

点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

例7、比较下列各组数的大小

55717

(1) 3－2与3.1－2；(2)－8－8与－98.



分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．

5

解 (1)函数y＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，

55

又3<3.1，所以3－2>3.1－2.

771117171

(2)－8－8＝－88，函数y＝x8在(0，＋∞)上为增函数，又8>9，则88>9



78，

717

从而－8－8<－98.



文案大全

实用标准文档

点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．

变式 比较下列各组数的大小： 22π2(1)－3－3与－6－3； 232(2)4.15，(－1.9)5与3.8－3.

2222π2π2

解 (1)－3－3＝3－3，－6－3＝6－3，



22π

∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又∵>，

336

2222π2π2∴－3－3＝3－3<6－3＝－6－3. 

22223

(2)(4.1)5>15＝1,0<3.8－3<1－3＝1，(－1.9)5<0，

322

所以(－1.9)5<3.8－3<(4.1)5. 例8、 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)

mm

上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－3<(3－2a)－3的a的范围．

解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m－9<0，解得m<3， 又m∈N*，∴m＝1,2.

又函数图象关于y轴对称， ∴3m－9为偶数，故m＝1，

11

∴有(a＋1)－3<(3－2a)－3.

1

又∵y＝x－3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减， ∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a 或a＋1<0<3－2a，

23

解得3点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．

变式 已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．

解 由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3. 又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，

当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意．

当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示． 当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．

文案大全

实用标准文档

练习

一、选择题 1．下列命题：

①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；

③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时，是增函数；

⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 其中正确的是( )

A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 答案 D

2．下列函数中，不是幂函数的是( )

A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x2 答案 A

111α，－2，－1，－，，，1，2，33．设α∈则使f(x)＝x为奇函数且在(0，232

＋∞)内单调递减的α值的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A

4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y＝x下方的偶函数是( )

1

A．y＝x2 B．y＝x－2 C．y＝x2 D．y＝x－1 答案 B

5．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( )

A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1 答案 B

2

m－3m＋3＝1

解析 由已知2

m－m－2≤0

∴m＝1或m＝2.

1

6．在函数y＝x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 (x≠0)中幂函数的个数为( ) A．1 B．0 C．2 D．3 答案 C

解析 依据幂函数的定义判定，应选C.

1

7．幂函数f(x)的图象过点4，2，那么f(8)的值为( )



文案大全

实用标准文档

21

A．26 B． C.4 D. 答案 C

111

解析 设f(x)＝xα (α为常数)，将4，2点代入得2＝4α，∴α＝－2，f(x)＝x



112－2，∴f(8)＝8－2＝4. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝x－2 D．y＝logax (a>0，且a≠1) 答案 B

解析 根据函数图象，选B. 二、填空题

1

1．若幂函数y＝f(x)的图象经过点9，3，则f(25)＝_____________.



1

答案 5

11

解析 设f(x)＝xα，则9α＝3，α＝－2.

11

∴f(25)＝25－2＝5. 2．设幂函数y＝xα的图象经过点(8,4)，则函数y＝xα的值域是______________．

答案 [0，＋∞)

22

解析 由4＝8α，得α＝3，∴y＝x3≥0.

3. 如图所示是幂函数y=xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±󰀀四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .

11

答案 2，2，－2，－2

4．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，2)，则f(25)的值是________． 答案 5

解析 设y＝xα，∵点(2，2)在y＝xα的图象上，

111α

∴2＝2，∴α＝2，∴f(x)＝x2.故f(25)＝252＝5.

5．幂函数y＝xα (α∈R)的图象一定不经过第________象限． 答案 四

2512132

6．把下列各数23，3－3，－33，50，23，按由小到大的排列顺序为



__________________．

2511322

答案 －33<3－3<50<23<23.



文案大全

实用标准文档

1

7．已知幂函数f(x)＝x－2，若f(a＋1)11

解析 f(x)＝x－2＝ (x>0)，由图象知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋

x

1)a＋1>0，∴10－2a>0，a＋1>10－2a.

三、解答题

a>－1，得a<5，a>3.

∴31．求函数y＝x＋2x＋4（x≥－32）值域．

解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3． 当t＝－1时，ymin＝3．

∴函数y＝x＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．

点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．

2．已知f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m是何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

解 (1)若f(x)为正比例函数，则 2

m＋m－1＝12，∴m＝1. m＋2m≠0

(2)若f(x)为反比例函数，则 2

m＋m－1＝－12，∴m＝－1. m＋2m≠0

(3)若f(x)为二次函数，则 2

m＋m－1＝2－1±132，∴m＝. 2m＋2m≠0

2525151515

(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2。

1

3．已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点－2，4在幂函数g(x)的图象



上，问当x为何值时，

(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)解 设f(x)＝xα，由题意得：2＝(2)2⇒α＝2， ∴f(x)＝x2.

文案大全

实用标准文档

同理可求：g(x)=x-2，在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如图所示．

由图象可知：

(1)当x>1或x<-1时， f(x)>g(x)．

(2)当x=±1时，f(x)=g(x)．

(3)当-14．已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5 (a为常数)． (1)a为何值时此函数为幂函数？ (2)a为何值时此函数为正比例函数？ (3)a为何值时此函数为反比例函数？

解 (1)由题意，得a2－3a＋2＝1， 即a2－3a＋1＝0.

3±53±5

解得a＝2，即a＝2时，此函数为幂函数；

2

a－5a＋5＝1，

(2)由题意，得2

a－3a＋2≠0.

解得a＝4，即a＝4时，此函数为正比例函数；

2

a－5a＋5＝－1，

(3)由题意，得2

a－3a＋2≠0.

解得a＝3，即a＝3时，此函数为反比例函数．

5．已知函数y＝415－2x－x2． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．

2

解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x，则y＝4t，

（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，

2

∴t＝16－（x－1）［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．

（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．

（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，

∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．

文案大全

实用标准文档

又∵函数y＝4t在t［0，16］时，y随t的增大而增大，

∴函数y＝415－2x－x2的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］． 答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］； （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；

文案大全