同步测控优化训练B卷（指数函数与对数函数）
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
x1.设f:x→y=2是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足（ ） A.A={1，2，4，8，16} B.A={0，1，2，log23} C.A{0,1,2,log23} D.不存在满足条件集合 考查映射概念、指数、对数运算.
x【解析】 A中每个元素在集合中都有象，令2=0，方程无解.
x分别令2=1,2,3,4,解得x=0,1,log23,2. 【答案】 C
2x2.设P={y|y=x,x∈R},Q={y|y=2,x∈R},则（ ）
A.Q=P B.QP C.P∩Q={2,4} D.P∩Q={(2,4)} 考查集合间关系及函数值域.
【解析】 P=［0,+∞),Q=(0,＋∞). 【答案】 B
3.已知函数f(x)=loga(2－ax)在［0，1］上为减函数，则a的取值范围是（ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D.［2，+∞) 考查对数函数定义域及单调性.
【解析】 由y=loga(2－ax)单调性及2－ax>0对任意x∈［0,1］恒成立，可求得1(x0)log2x 14.已知函数f(x)=x时f［f()］的值是（ ）4(x0)3 A.9
B.
1 9 C.－9 D.－
1 9考查对分段函数对应法则的理解.
11)=log2=－2, 441f(－2)=3－2=
9【解析】 f(
【答案】 B
5.若函数f(x)=log2(x－1)+log2(x+2)的反函数为g(x),则g(2)等于（ ） A.1 B.－3 C.2 D.2或－3 考查对数函数及互为反函数间的函数关系.
x1【解析】 依题意x=2
log2(x1)(x2)2【答案】 C
x6.已知f(x)=a,g(x)=logax(a>0且a≠1)，若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是（ ）
【解析】 ∵f(3)=a>0,∴g(3)=loga3<0,∴07.若函数y=log1(2－log2x)的值域是（－∞,0），则其定义域是（ ）23
A.x<2 B.0【解】 令2－log2x=u,由题意知u>1,log2x<1,故0b (ab)x－x8.若定义运算a*b=，则函数f(x)=3*3的值域是（ ）a (ba)A.(0,1 B.［1,+ C.(0,+∞) D.(－∞,+∞) 考查函数值域及灵活运用能力.
x－x－x【解析】 若3≥3,即x≥0,则f(x)=3
x－xx若3<3,即x<0,则f(x)=3 故值域为（0，1］ 【答案】 A 9.若x0是方程2=
x1的解，则x0∈（ ） x
C.(0.5,0.7)
D.(0.9,1)
A.(0.1,0.2) B.(0.3,0.4) 考查指数函数图象性质及估算能力. 【解析】 画出y=2，y=∵2<2<1,而
0.5
0.1
0.2
x1图象. x11>=5 0.10.20.7
0.5
排除A，同理排除B 2=2≈1.414,2>2, 而
11=2,≈1.428 0.50.72>2>2≈1.414,而
10.90.5
1≈1.11 0.9【答案】 C
10.今有一组实验数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
t21A.v=log2t B.v=log1t C.v= D.v=2t－2
22考查构建数学模型的能力，具开放性.
【解析】 五组数据，取近似值1.99≈2;4.04≈4;5.1≈5,18.01≈18，
t21代入验证可知v=最接近.
2【答案】 C
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
x11.方程log3(1－2·3)=2x+1的解x=______. 考查对数与指数运算.
2x+1xx2x【解析】 3=1－2·3，即3(3)+2·3－1=0 解得3=
x1,故x=－1 3x【答案】 －1
12.函数f(x)=a(a>0且a≠1)在区间［1，2］上的最大值比最小值大考查指数函数的单调性及解决问题的能力. 【解析】 当a>1时，f(x)为增函数，a－a=
x2
a，则a的值为______. 23a,得a=
22当01aa=,2213故a=或
2213【答案】 或
222x x(,1113.设函数f(x)=，则满足f(x)=的值为______.
4log81x x(1,)有a－a=
2
考查分段函数对应法则理解及对数运算. 【解析】 若x∈(－∞,1),有2=若x∈（1,+∞），有log81x=
－x1,∴x=2，但2(－∞,1; 41 4∴x=3符合题意 【答案】 3
14.国家规定的个人稿酬纳税方法是：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元按全部稿酬的11%纳税，某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为______元.
考查函数应用及解决实际问题的能力.
【解析】 若其稿费为4000，则应纳税3200×14%=448>420 故稿费应小于4000元，设为x元 则(x－800)14%=420,解得x=3800(元)
【答案】 3800
三、解答题（本大题共5小题，共54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分8分）已知函数f(x)=
11x+lg. 21x（1）求此函数的定义域，并判断函数单调性. （2）解关于x的不等式f［x(x－【解】 （1）f(x)=
11)］<. 2211x12+lg=+lg(－1+) 21x21x1x要使f(x)有意义，即>0,∴f(x)的定义域为－11x22设－11x11x2∵－122∴－1+>－1+1x11x2∴f(x1)>f(x2),即f(x)在(－1,1)上为减函数
111（2）∵f(0)=,∴f［x(x－)］<=f(0)
222由（1）知f(x)在(－1,1)上为奇函数
11x(x)111711172x0或x∴,解得：
4241x(x)021171117即不等式解集为(,0)∪(,)
4422
16.(本小题满分10分)已知y=log4(2x+3－x).
（1）求定义域；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取最大值时x值. 考查对数函数、二次函数的单调性、最值.
2
【解】 （1）由2x+3－x>0,解得－12(2)令u=2x+3－x，则u>0,y=log4u
22
由于u=2x+3－x=－(x－1)+4
再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1），减区间是［1,3 又y=log4u为(0,+∞)增函数， 故该函数单调递增区间为1，1］，减区间为［1，3）
22
（3）∵u=2x+3－x=－(x－1)+4≤4 ∴y=log4u≤log44=1
故当x=1时，u取最大值4时，y取最大值1.
2
17.（本小题满分12分）已知函数f(x)=2x－x(x≥0)，问是否存在这样的正数a、b，当x∈［a,b］时g(x)=f(x),且g(x)值域［
11,］？若存在，求出所有a、b之值，若不存在，请说明理由. ba考查函数知识综合运用，分类讨论思想. 【解】 分三种情况讨论:
1>1,而当x≥0时，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)=f(x) a②当0①当01=1,得a=1与012g(b)b2bb2则g(x)=f(x)=2x－x,于是有
1g(a)a22aa2(b1)(bb1)0即 2(a1)(aa1)015∵1≤a218.（本小题满分12分）若p∈R,且当|log2p|<2时，不等式px+1>2x－p恒成立,试求x的取值范围.即
考查对数基本概念及分类讨论思想. 【解】 由|log2p|<2得－212x－p,得p(x+1)>2x－12x1152x1①当x>－1时，7x11x2x1452x1②当x<－1时，>p,即x1,解得－≤x<－12x1x155∴x的取值范围为（－1，∪［－,－1
7219.(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成人按
规定的剂量使用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图曲线
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为7：00，问一天中怎样安排服药时间、次数，效果最佳？
考查函数应用及分析解决问题的能力.
112t(0t)2【解】 （1）依题意，得y=
4321t(t8)525(2)设第二次服药时，在第一次服药后t1小时
则－
432t1+=4,t1=3 55因而第二次服药应在10:00
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和，即有－
432432t2+－(t2－3)+=4 5555解得：t2=7（小时）
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>8)，则此时第一次服的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和
－
443232(t3－3)++［－(t3－7)+］=4 5555解得t3=10.5小时
故第四次服药应在17:30.
