指数、对数常见题型

一、 指数函数

指数函数的图象和性质

a>1 01时，a越大，图像越靠近Y轴 二、 对数函数

对数函数的性质：

a>1 0.

定义域x定义域x＞0 ＞0 值域为R 在R上递增 函数图象函数图象都过都过定点定点（1，0） （1，0） 01时，a小，图像越靠近越大，图像X轴（画直线越靠近XY=1，从左往右，轴 底数依次增大） 对数logaN的底数a与真数N分别属于区间(0,1)或（1，+∞）时logaN0 值域为R 在R上递减 例：log0.380;log1.60.70,简称“同正异负”

一、指数函数

1．

比较大小

① 较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或

.

.

中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．

练习1：比较下列各组数的大小

（1），

（2）

2、求解有关指数不等式

（1） 已知(a22a5)3x(a22a5)1x，则x的取值围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值围． 解：∵a22a5(a1)24≥41，

∴函数y(a22a5)x在(∞，∞)上是增函数，

1 ∴3x1x，解得x1．∴x的取值围是∞． ，44 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成

.

.

底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．

(2)已知

（3）解不等式

3．求定义域及值域问题 例3 求函数y16x2

的定义域和值域．

解：由题意可得16x2≥0，即6x2≤1，

.

.

2． ∴x2≤0，故x≤2． ∴函数f(x)的定义域是∞， 令t6x2，则y1t，

又∵x≤2，∴x2≤0． ∴06x2≤1，即0t≤1． ∴0≤1t1，即0≤y1．

1． ∴函数的值域是0， 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．

练习1：函数的定义域为 .

练习2 当x

练习3 函数(a>0且a的值为

.

的定义域和值域都是[0,2],则实数a

.

4．最值问题

例4 函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间[11]则a，上有最大值14，的值是_______．

分析：令tax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值围．

解：令tax，则t0，函数ya2x2ax1可化为y(t1)22，其对称轴为t1．

， ∴当a1时，∵x11，

∴1≤ax≤a，即1≤t≤a．

aa ∴当ta时，ymax(a1)2214． 解得a3或a5（舍去）；

， 当0a1时，∵x11，

∴a≤ax≤1，即a≤t≤1，

aa

∴ t1a时，ymax11214， a2.

.

解得a1或a1（舍去），∴a的值是3或1．

353 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．

练习1：已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值

练习2: 设

题型五：单调区间问题（主要根据复合函数单调性满足“同增异减”） 例：求函数y

.

，求函数 的最大值和最小值

2x22x2的定义域，值域和单调区间

.

x23x2练习：函数y＝13的单调区间.

二对数函数

1.求定义域{求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）x0中x0} 练习1、函数f(x)lg(5x)x3的定义域为_____. 练习2、求定义域 （1）ylogax2； （2）yloga(4x)； yloga(9x2)．（4）f(x)1x2；（5） f(x)3x2；f(x)x112x

.

（3）

6）（.

2.比较大小

232352525a（）,b（），c（）555，则a，b，c的大小练习1. （2010文）设

关系是（ A ）

A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

练习2、下列大小关系正确的是（ C ）

20.420.4A. 0.43log40.3； B.0.4log40.33； 20.40.42log0.30.43log0.330.4C. 4； D. 4

练习3、比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）log67，log76； （4）log53，log63，log73．

3、最值问题

练习1、设a1,函数f(x)logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之

1差为2,则a（ ）

A2 B 2 C22 D 4

解:设a1,函数f(x)logax在区间[a,2a]上递增,最大值和最小值 分别为

.

.

loga2a,logaa,依题意知

loga2alogaaloga212,a4,故选D.

点评:最值问题是高考考查对函数性质的热点题型,解决的关键是根据对数函数单调性求解.

xya练习2、 函数（a0且a1）在[1，2]上的最大值与最小值之

a差为2，则a=

练习3、函数y=2x+a（a0且a1）在[-1，2]上的最大值与最小值

a之差为2，则a=

4、单调性 练习1、

f(x)(a1)x是R上的单调减函数，那么a的取值围

是 .

21,则a的取值围是（ ） 322222A(0,)(1,) B (,) C (,1) D (0,)(,)

33333练习2、已知loga

.

.

练习3求函数f(x)

5、定点问题：、

练习1、.已知函数yax22(a0,a1)的图象恒过定点A（其坐标与a无关），则定点A的坐标为 ．

练习2、.已知函数logaa^2-1(a>0且a1)的图象恒过定点A（其坐标与

x3定义域，并求函数的单调增区间(定义法) x2a无关），则定点A的坐标为 ．

拓展

1、 A．

.

在

B．

C．

上是减函数，则a的取值围是（ ）。 D．

.

2、设偶函数f(x)的定义域为R，当x0,时，f(x)是增函数，则f(2),

f()，f(3)的大小关系是 （ ）

A.ks5u./ f()f(3)f(2) B.ks5u./ f()f(2)f(3) C.ks5u./ f()f(3)f(2) D.ks5u./ f()f(2)f(3)

3、已知偶函数f(x)在区间0,)单调递增，则满足f(2x1)＜f()的x 取值围是

A．（，） B．（，） C．（，） D．,

131323231223234、函数 ,当 时,是增函数,当 时是

减函数,则f(1)=_____________

5、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值围是__ ．

作业

231、比较大小： （1）  (2)log57 log67 3278

2、若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ） A.

.

24 B.

22

1C.4

1D.2

.

3、如果指数函数是 .

4、函数f(x)13是R上的单调减函数，那么a的取值围

3x21xlg(3x1)的定义域是

13113313A.(,) B. (,1) C. (,) D. (,)

5、函数ylog2x2的定义域是______ 6、设

3x,x1,7、已知函数f(x)若f(x)2，则x

x,x1,|x1|2,|x|1,1, |x|1，则f(x)＝1x2f[f(1)]＝ ________________

2.