指数函数图像和性质及经典例题

指数函数图像和性质及经典例题

【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）a·aarsrsrrrs

(a0,r,sQ)； (a0,r,sQ)；

(a0,b0,rQ)．

（2）(a)a （3）(ab)aa

rrs正数的分数指数幂的意义

amnnam(a0,m,nN*,n1)

mna1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

二、指数函数

1.指数函数的概念:一般地，函数ya(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 2.指数函数的图象和性质

1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）yx11()x （2）y()x 32xx（3）y2 （4）y3 （5）y5 图象特征 函数性质 xa1 向x、y轴正负方向无限延伸 图象关于原点和y轴不对称 函数图象都在x轴上方 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看， 图象逐渐上升 0a1 a1 函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为R +0a1 a01 自左向右看， 增函数 图象逐渐下降 减函数 精选资料，欢迎下载

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在第一象限内的图在第一象限内的图象纵坐标都大于1 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图在第二象限内的图象纵坐标都小于1 象纵坐标都大于1 x0,ax1 x0,ax1 x0,ax1 函数值开始增长较x0,ax1 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； 图象上升趋势是越图象上升趋势是越来越陡 来越缓 长速度极快； 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a是实数，

慢，到了某一值后增f(x)a2(xR)，试证明：对于任意a,f(x)在R上为增函数． 2x1 证明：设x1,x2R,x1x2，则

f(x1)f(x2)(a22)(a) x1x2212122 2x212x112(2x12x2)， x1(21)(2x21)由于指数函数y2在R上是增函数， 且x1x2， 所以21xxx2x2

x2即212x0，

又由20， 得21x10，2x210，

∴f(x1)f(x2)0 即f(x1)f(x2)，

所以，对于任意a,f(x)在R上为增函数．

例2.已知函数f(x)axx2(a1)， x1求证：（1）函数f(x)在(1,)上为增函数；（2）方程f(x)0没有负数根．

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证明：（1）设1x1x2， 则f(x1)f(x2)a1xx12x2ax22 x11x21x12x223(x1x2)ax1ax2， x11x21(x11)(x21)3(x1x2)0；

(x11)(x21)ax1ax2∵1x1x2，∴x110，x210，x1x20， ∴

∵1x1x2，且a1，∴axax，∴axax0，

1212∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在(1,)上为增函数； （2）假设x0是方程f(x)0的负数根，且x01，则ax0x020， x01 即ax02x03(x01)31， ① x01x01x01333，∴12，而由a1知ax01， x01x01 当1x00时，0x011，∴∴①式不成立；

当x01时，x010，∴∴①式不成立．

330，∴11，而ax00， x01x01综上所述，方程f(x)0没有负数根．

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针对性练习

1. 已知函数f(x)=a＋b的图象过点(1，3)，且它的反函数f(x)的图象过(2，0)点， 试确定f(x)的解析式．

1212x－1

2. 已知x

x3,求

xx2的值．

x1x332323. 求函数y=3

4. 若函数y=a

x22x3的定义域、值域和单调区间．

2x＋b＋1(a＞0且a≠1，b为实数)的图象恒过定点(1，2)，求b的值．

5. 设0≤x≤2，求函数y=4x12a2a21的最大值和最小值．

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针对性练习答案

1解析： 由已知f(1)=3，即a＋b=3

又反函数f(x)的图象过(2，0)点 即f(x)的图象过(0，2)点．即f(0)=2 ∴1＋b=2

－1

b=1代入①可得a=2

因此f(x)=2＋1 2解析：由(x12xx)9,

－1

122 可得x＋x=7

∵(x323212x)27

12123∴x3xx∴xx323xxx12132=27

=18，

故原式=2

3解析：(1)定义域显然为(－∞，＋∞)．

(2)uf(x)32xx4(x1)4.y3是u的增函数，

当x=1时，ymax=f(1)=81， 而y=3x22x322u＞0．

∴033,即值域为(0,81]．

(3) 当x≤1 时，u=f(x)为增函数， y3是u的增函数，由x↑→u↑→y↑

∴即原函数单调增区间为(－∞，1］； 当x＞1时，u=f(x)为减函数，

y3是u的增函数， 由x↑→u↓→y↓ ∴即原函数单调减区间为［1，＋∞).

4解析：∵x=－

uuu4b0

时，y=a＋1=2 2精选资料，欢迎下载

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∴y=a∴－

2x＋b＋1的图象恒过定点(－

b，2) 2b=1， 2x即b=－2

5解析：设2=t， ∵０≤x≤2， ∴1≤t≤4 原式化为：y=

12

(t－a)＋1 2a23a2a,ymax4a9； 当a≤1时，ymin=222a235a； 当1＜a≤时，ymin=1，ymax=222a2a234a9,ymaxa． 当a≥4时，ymin=222精选资料，欢迎下载

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