正余弦定理的应用的典型例题 五大命题热点： 五大命题热点：
（1）求解斜三角形中的基本元素 ）求解斜三角形中的基本元素
例1(2005年全国高考湖北卷) 在 ΔABC中，已知AB=A的值． 边上的中线BD=5，求sin 的值．
（2）判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例2(2005年北京春季高考题)在DABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么DABC一
定是（ 定是（ ） A．直角三角形 ．直角三角形 B．等腰三角形 ．等腰三角形 C．等腰直角三角形 ．等腰直角三角形 D．正三角形 ．正三角形
（3）解决与面积有关问题 ）解决与面积有关问题
例3(2005年全国高考上海卷) 在DABC中，若ÐA=120，AB=5，BC=7，
则DABC的面积S＝_________
1
463,cosB=6，AC6
（4）求值问题 ）求值问题
例4(2005年全国高考天津卷) 在DABC中，ÐA、ÐB、ÐC所对的边长分别为a、b、c，
1222cbcbca设a、b、c满足条件+-=和=+3，求ÐA和tanB的值． 的值． b2
（5）正余弦定理解三角形的实际应用 ）正余弦定理解三角形的实际应用 ①测量问题； 测量问题；
例5 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。 ，求河的宽度。
A
2
C
D
图1
B
②遇险问题 遇险问题
例6某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
③追击问题 追击问题
例7 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°
方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南 的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航 的速度航 行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 能尽快追上乙船？
答案： 答案： 例1
A． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sin
北 西
A 南
15°
B
30° 图2
东 C
北 A
45°
B 15°
图3
C
3
1解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=22AB=26，设BE＝x 232在 ΔBDE中利用余弦定理可得：BD=BE+ED-2BE×EDcosBED， 78266x，解得x=1，x=-（舍去） 5=x++2´´333622822130故BC=2，从而AC=AB+BC-2AB×BCcosB=3，即AC=3又sinB=6， 222221702故 =3，sinA=sinA14306例2 解法1：由2sinAcosB=sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)． csinCa2+c2-b2解法2：由题意，得cosB＝． ，再由余弦定理，得cosB＝=2sinA2a2acca2+c2-b222∴ ＝2a，即a＝b，得a＝b，故选(B)． 2ac评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 例3 解：分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝21AB•ACsinA即可解决． 2ABACBC25AC491由余弦定理，得cosA＝==-，解得AC＝3． 2AB·AC10·AC2+2-2+2-∴ S＝11115332．∴ ，AB•ACsinA＝．∴ AB•AC•sinA＝AC•h，得h＝AB• sinA＝22224故选(A)． 例4 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理． b2+c2-a21解：由余弦定理cosA==，因此，ÐA=60° 2bc2在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B. 4
°-csinCsin(120B) 由已知条件，应用正弦定理+3===bsinB2sinB°-°1sin120cosBcos120sinB31解得cotB=2,从而
tanB=. cotB+,==2sinB22例5
分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。 ，这个三角形可确定。 解析：由正弦定理得∵
1AC=AB，∴AC=AB=120m，又
SABC=1sinÐCBAsin1ÐACBAB×ACsinÐCAB=AB×CD，解得CD=60m。
22点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
例6
解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，
AB=30×0.5=15，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15∠ABS=150°，∠ASB=15°，SC=15sin30°=7.5。 由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。 礁的危险。 例7
解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。 处相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
α，∠BAC= β。 设∠ABC=
15°=120°。根据余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB×BCcosa， ∴α=180°－45°－15°=120°
12222881202920()（4t－3）（32t+9）=0，解(t)=+(t)-´´t´-2，128t-60t-27=0，
39得t=，t=（舍） （舍）
43233∴AC=28×
=21 n mile，BC=20×
=15 n mile。
4根据正弦定理，得sinb=4BCsina=AC15´32=53，又∵α=120°，∴β为锐角，2114β=arcsin
53537253p2，又＜＜，∴arcsin＜，
4141414142∴甲船沿南偏东
p4－arcsin
353的方向用h可以追上乙船。 可以追上乙船。
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