维普资讯 http://www.cqvip.com 第２３卷第４期 内蒙古民族大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．２３ Ｎｏ．４ ２００８年７月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｎｅｒ Ｍｏｎｇｏｌｉａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ Ｊｕ１．２００８ 自伴Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题 边界条件空间的一些性质 杨树生，张晓军 （河套大学数学与计算机科学系，内蒙古临河０１５０００） 【摘要）对于给定的Ｓｔｕｒｍ—ＬｉｏｕｖｉＵｅ方程，给出了自伴边界条件空间中边界条件的极限、自伴边界条件空间 中的僻析圈及连续特征值分支单调性的几个新结果． 【关键词）自伴ｓｔｕｎｎ—ＬｉｏｕｖｉＵｅ问题；边界条件空间；边界条件的极限；僻析圈；特征值的单调性 （中图分类号）Ｏ１７５．３ （文献标识码ＪＡ （文章编号Ｊ１６７１—０１８５（２００８１０４～０３６１—０５ Ｓｏｍｅ Ｎａｔｕｒｅｓ ｏｆ Ｓｐａｃｅ ｏｆ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｓｅｌｆ’——ａａｊ ｏｉｎｔ Ｓｔｕｒｍ’——Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ＹＡＮＧ Ｓｈｕ—ｓｈｅｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｘｉａｏ～ｊｕｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｔａｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｎｈｅ ０１５０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ａ ｇｉｖｅｎ Ｓｔｕｒｍ—ＬｉｏｕｖｉＵｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｅ ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｂｏｕｔ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｏｆ ｓｅｌｆ—ａｄｊｏｉｎｔ ｏｂｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ａｎａｌｙｔｉｃ ｌｏｏｐ ｏｆ ｓｐａｃｅ ｏｆ ｓｅｌｆ—ａｄｊｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉ— ｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｂｒａｎｃｈ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｓｅｌｆ—ａｄｊｏｉｎｔ Ｓｔｕｒｍ—ＬｉｏｕｖｉＵｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；Ｓｐａｃｅ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，Ｌｉｍｉｔ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ；Ａｎａｌｙｔｉｃ ｌｏｏｐ；Ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｏｆ￣ｇｅｎｖａｌｕｅｓ １ 引言 １９９９年Ｑ．Ｋｏｎｇ、Ｈ．Ｗｕ和Ａ．Ｚｅｔｔｌ在文［１］中给出了常微分算子的边界条件所组成的空间上的一个 几何结构（即Ｇｒａｓｓｍａｎ流形结构），从这个几何结构又诱导出自伴边界条件空间上的一个几何结构，这是 几何的、整体的观点和方法第一次被引入到常微分算子谱理论研究中．２００５年Ａ．Ｚｅｔｔｌ在文［２］中指出： 这些几何结构对微分算子这个学科来说是一种新的方法． 在文［３］中ＷｕｊｉｎａＰｅｎｇ、Ｍ．Ｒａｃｏｖｉｔａｎ与Ｈ．ｗｕ利用这个几何结构引进了边界条件的自然圈、边界条 件空间上的解析圈、边界条件的极限等概念与一些相关的定理． 本文利用文［３］中处理问题的思想方法，给出了不同于文［３］中的自伴边界条件空间Ｂｃ中一些边界 条件的极限、自伴边界条件空间Ｂｃ中一些解析圈及连续特征值分支单调性的几个结果，这些结论在微分 算子谱理论的深入研究中同文［３］中的结论一样会起到重要的作用． 本文讨论（ａ，ｂ）上带有形如 一（ ｑＹ＝；ｔｗｙ （１） 的Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ方程的自伴Ｓｔｕｒｍ—ＬｉｏｕｖｉＵｅ问题．其中 收稿日期：２００８—０１—２０ 基金项目：内蒙古自然科学基金资助项目（２００４０８０２１１４）；广东省自然科学基金资助项目（５０１２２８５）；河套大学重点科学研究项目 （ＨＤＺ０８００３） 作者简介：杨树生（１９６３一），男。内蒙古宁城人，剐教授，硕士，主要从事微分算子谱理论与代数学研究． 维普资讯 http://www.cqvip.com ３６２ 一内蒙古 民族大学学报 ２００８年 （２） ｏｏ ａ＜ｂ ｏｏ；１／ｆ，ｑ，７．０∈（Ｌ（ａ，ｂ），Ｒ）；，与７．０在（ａ，ｂ）上几乎处处大于０． 复数集Ｃ中的数 称为谱参数．对于实数集Ｒ的子区间Ｊ，我们用Ｌ（Ｊ，Ｒ）表示定义在Ｊ上的 Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积实函数空间． ２ 预备知识 对任何 ，／＇／∈Ｎ（Ｎ为正整数集），用Ｍ ． （Ｃ）表示 行 列的复矩阵构成的向量空间，Ｍ二（Ｃ） ． ｒ， 、，Ｌ ｒ， 、，表示 ， （Ｃ）中秩等于ｍｉｎ｛ ，／＇／｝的矩阵构成的 ． （Ｃ）的子集．用ＧＬ（２，Ｃ）表示二阶复可逆矩阵 １ ０ １ ２ ２ ０的集合，ＳＬ（２，Ｒ）是ＧＬ（２，Ｃ）中行列式等于１的实矩阵构成的ＧＬ（２，Ｃ）的子集．对一个复矩阵Ａ，Ａ 表示Ａ的复共轭转置，Ｉ为二阶单位矩阵． 对方程（１）的任何解Ｙ，令 ｙ㈩ （ ㈤） ６］ 那么边界条件由代数方程组 ＡＹ（ａ）＋ＢＹ（ｂ）＝０ （３） （４） 给出．其中（Ａ Ｉ Ｂ）∈ＭＬ （Ｃ）满足 Ａ（ ＝Ｂ（： ㈣ 因为线性方程组的初等行变换是线性方程组的同解变换，故对系数矩阵（Ａ ｌ Ｂ）作初等行变换不改 变边界条件，即等价的线性方程组定义相同的边界条件，故由式（４）可知，两个代数方程组ＡＹ（ａ）＋ ＢＹ（ｂ）＝０与ＥＹ（ａ）＋ＦＹ（ｂ）＝０描述同一个边界条件是存在Ｔ∈ＧＬ（２，Ｃ）使得（Ｅ Ｉ Ｆ）＝（ＴＡ Ｉ ＴＢ）．这样边界条件空间恰好就是商空间： ＧＬ（２，Ｃ）／Ｍ ４（Ｃ）＝｛｛（ＴＡ Ｉ ＴＢ）；Ｔ∈ＧＬ（２，Ｃ）｝；（Ａ Ｉ Ｂ）∈Ｍ ４（‘Ｃ）｝ Ｇｒａｓｓｍａｎ流形． （６） 即每一个边界条件是代数方程组（４）的系数矩阵（Ａ Ｉ Ｂ）Ｅ Ｍ ４（Ｃ）的等价类．该商空间就是 由代数方程组（４）描述的边界条件记为［Ａ Ｉ Ｂ］．由文［１］知边界条件空间Ｂ 为 Ｂｃ＝｛［ 一 ｎａ ｐ ～ ｎ ］；ａ∈ｃ。， ，ｐ∈ｃ。， ｝ Ｕ｛［ｅｉｙＫ Ｉ—Ｉ］；７∈（０， ），Ｋ∈ＳＬ（２，Ｒ）｝＝Ｏ；Ｕ Ｏ；Ｕ Ｏ Ｕ Ｏ ． 其中 ０ ｃ７ （８） （９） （１０） ｏｆｆ＝ —１ 一 一 ｏｆｆ＝ ｏｆ＝ ｂ２１ ０ —１ 一 ｚ ｚｚ∈ ｃ ｝； 一１ Ｊ；ｎ １∈ ∈ｃ｝． ． ６２２ ］；ａｎ，ｂ２２ ∈ｃ∈Ｒ＇ ∈ｃ｝ｆ．； ｚ∈Ｒ，ｚ Ｅ ｃ∈Ｒ，ｚ∈ｃｏｃ＝ ｂ２ｌ 一。∈Ｒ，ｚ Ｅ ｃ ； １ ｍ ∈ ｃ｝； （１１） ３ 自伴Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｒｉｌｔｅ问题边界条件空Ｃａ＇ｌ的一些性质 类似于文［３］中相关定理的证明，限于篇幅，只给出部分结果的证明． 定理１ 在自伴边界条件空间Ｂｃ中有 ¨， 墨［ １ ］＝［ ： ］，Ｖ ∈Ｃ￣ａｌ２ Ｅ Ｒ； ］＝［ １ ］，Ｖ ∈Ｃ，ａｌ２∈Ｒ； （１２） （１３） ¨ 婪 ［ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 杨树生等：囱伴Ｓｔｕｒｍ—ＬｉｏｕｖｉＵｅ问题边界条件空间的一些性质 ３６３ ｔｔｔ ，ｌｉｒ ａ，［ａ １１ １０ １一 ｓ ］Ｊ Ｌ＝［ 口０１ ０。１ １０ １—］Ｊ’～，Ｖ ∈ｃ，…口一“ 。。∈Ｒ；‘ ’ （１４） ｊＶ，，，￣ ｍ ｌ￣ １１ ０１ ｓ～ｊ１ ０］ Ｌ＝［ 口１ ０１ １ １— ０。］ｊ 。，Ｖ ∈ｃ，…口一“ 。。∈Ｒ．… （１５） 证明ｉ）１‘ ｉｍ『Ｌ０ Ⅱｌ２ ０一１ １ｓ Ｊ ＿１ｉｍ『± Ｌ０ 口ｌ一ｚ／ｓ ２ ０１／ｓ 一１ Ｊ １ ＝［ ： ］＝［ ： ］ （１６） 似地，日Ｊ以让明ｉｉ），ｉｉｉ）及ｉｖ）． 定理２ ｉ）任何边界条件 ［Ｌ ０ 一 ，１ ｂ ，Ｊ ‘ （１７） 位于自伴边界条件空间Ｂｃ中的一个单的实解析圈 Ｃ２ｚ，ａ１２＝，｛［ ］；ｓ∈Ｒ＞ｕ｛［ ： 。］｝ （１８） 上． ｉｉ）任何边界条件 ［Ｌ ０ ｂ＿ １２１ 一 ｊ］ （１９） 位于自伴边界条件空间Ｂｃ中的一个单的实解析圈 Ｃ３，ｚ，ａｌ２＝｛［ ］；ｓ∈Ｒ｝ｕ｛［ 吕］｝ （２０） 上． ｉｉｉ）任何边界条件 ［Ｌ 。 １０ 一 １～ｂ，７（２１） ， Ｊ 位于自伴边界条件空间Ｂ 中的一个单的实解析圈 Ｃ４，ｚ，ａｌｌ ｛［ 。１ ］；ｓ∈Ｒ｝ｕ｛［ 。１： ］｝ ｃ２２， 上． ｉｖ）任何边界条件 ｒ口ｌ１ １ ０ １ 【 ０ ６ 一１ ｊ∈ （２３） 位于自伴边界条件空间Ｂｃ中的一个单的实解析圈 １ Ｃｓ，，￣，ａｌｌ＝ ｓ∈Ｒ。上． ｔ０｛￣ｏ 。１ ０］｝ ， 证明 ｉ）由式（１２）（即ｓ 一∞与ｓ一＋∞时式（１７）的极限相等，从而实直线封闭）及ｃ２ 的定 义形式知ｃ：．ｚ． ：是一个单圈，Ｃ： 在。 中的点（边界条件）上是实解析的．这样，只需证明自然圈 ｃ２， ：在０ 中的极限点（不在０ 中的点）处是解析的． ｓ≠０．那么 维普资讯 http://www.cqvip.com ３６４ 内蒙ｎ１２ 古 民０ 族大学学报 ／ｓ ２００８妊 １ ０解 是 一 ／ｓ １／ｓ ］＝［ ，ｎ１２一盟／ｓ １／ｓ 并且 ０ １２ ｎ１２ ｚ ． ￡ ０ ］ 『１Ｉ ｎ１２ Ｊ ＝ｌＬ０ ０ 一１ Ｓ 所以由（２５）与（２６）两式知，在自然圈Ｃ２＝ｎ１２一 ￡盟ｎ！ｍ － －．．．．．．．．．．．Ｌ＿ ．．．．．．．，．．．Ｌ——ｚ ：中的极限点［ ： ０ ０ １Ｊ 的０—一１ Ｊ 个邻域是 。。 …。 ０ １． １ ｔｚ ０ ０ １ —．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ｌ ｈ ０ 一 一一 析的． 一 ｉｉ），ｉｉｉ）与ｉｖ）可类似地证明． 、，●∈ Ｒ ＞Ｊ一 ｈ ０ ２ 定理３ 令［ｅ ｙＫ ｌ－ ］∈Ｂｃ，其中Ｋ∈ＳＬ（２，Ｒ）且）０ ，Ｃ． －Ｒ，那么 ｉ）若ｋ１２≠０，则 １ ｈ Ｐ 忌 ｎ 一， Ｔ ２ ０ 悬 ｅ 。 忌 这 就 证 明 了 １ ．／ ／ 忌 毛 ０ ０ ０］ ０ ¨ ¨ 广１ ０ Ｋ ］ ０ １ 一０ ．ｋ２２／ｋ１２ 一１Ｊ ．１∈ｏ； （２７） ０ 自 且通过自伴边界条件空间Ｂｃ中点［ｅｉｒＫ ｌ— ］∈ｏ７的解析圈Ｃｓ 上的分离边界条件是 一 然 ０ ０ 圈 Ｃ ２ 口 ２ （２８） Ｐ 一 ０ 一 ｉｉ）若ｋ１１≠０，则 ／ Ｓ １● ｊ１ ．＼ 忌 一在 Ｃ２ Ｏ ｅ”／ｋ１１ ｋ２１／忌１１ 一０］１ ∈ｏ７ ｌｊ ：（２９） ∈中 且通过自伴边界条件空间Ｂｃ中点［ｅ ｙＫ ｌ－ ］∈ 的解析圈Ｃ３ ２ Ｏ０ 上的分离边界条件也是ｉ）中的 ０ １●●●●●ｊ极 ｉｉｉ）若ｋ２２≠０，则 限 １ ．的 点 ， 一 不 ［ｅｉｌＫ ｌ－Ｉ］＝ 在 Ｃ２ Ｏ ｅ－ ｉｒ／ｋ］ 。。且通过自伴边界条件空间 中 Ｏ 的解析圈Ｃ 上的分离边界条件是 （３１） 的 点 、 ｉｖ）若ｋ２１≠０，则 处 ［ｅｉｒＫ ｌ— ］＝ （３２） ５ 、 ６ 、 且通过自伴边界条件空间Ｂｃ中点［ｅ ｙＫ ｌ＿ ］∈Ｏ拿的解析圈Ｃ２ 的 ． 上的分离边界条件也是ｉｉｉ）中 证明 ｉ）因为ｋ１２≠０，并且ｄｅｔＫ＝１，所以， ［ｅｉｙＫ ｔ—Ｉ］＝ （３３） ｋ２２／ｋ１２ 从而由定理２的ｉｉ）知，其位于自伴边界条件空间Ｂｃ中的一个单的实解析圈Ｃｓ 一ｅ－ｔ‘ｒ／ｋ１２ 上，令ｋ２２／ｋ１２＝ｓ，则 （３４） Ｓ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 杨树生等：自伴Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题边界条件空间的一些性质 ３６５ ／ｋ １ ＝ 。１ ０］＿［ 忌１２ ０ ０１ ０ —１ ０ｊ 综上所述，在通过自伴边界条件空间Ｂｃ中的点［ｅｌｒＫ — ］∈ｏ 的自然圈Ｃ５ 。。 上的分离边界条件是 ＝［ 。 ｉｉ）因为ｋｌｌ≠０，并且ｄｅｔＫ＝１，所以 ｃ －一 ＝［ ： ＿０ １］＝［ １：。忌 １ ２ ／ｋ：：１１一ｅ一 ／忌ｌ１ Ｉ¨１２／ｋ 一ｌ１ 忌２ｅ－ｉｒ／ｋ“０＝Ｌｏ ｅｉｒ／ｋ１ ｎ 倔一。一 １Ｊ 从而由定理２的ｉｉ）知，其位于自伴边界条件空间Ｂｃ中的一个单的实解析圈Ｃ３， 上． ，令ｋ２ｔ／ｋ１１＝ｓ，则 ，．ｒ ±ｌｌｍ Ｌ０ Ｐ ／ｋ１１ Ｉｌ 忌 ／忌－１一ｅ 一 ／ｓ 忌－－０～１Ｊ Ｉｌ ：『ＩＬ０ １ ｋｔ２０ ／ｋｌｌ—ｅ－—１ｉｒ／ ｋｌｌ００ ］ＪＩ （３Ｊ６ｏ ） 『１ ｋｌ２／ｋ１１ ０ ０］ ｆ ｋ１１ ｋｔ２ ０ ０］ 一－ ｌ—ｌ ＩＬ０ ０ ～１ ０ Ｊ Ｌ ０ ０ —１ ０ Ｊ 综上所述，在通过自伴边界条件空间Ｂｃ中的点［ｅ ｌ＿ ］∈ｏ雪的自然圈Ｃ３ 上的分离边界条件也 是ＵＫ． ｉｉｉ）与ｉｖ）的证明和ｉ）与ｉｉ）的证明类似． 定理４ 若 ＝２或４，则对Ｖ ｚ∈Ｃ和Ｖ ｃ∈Ｒ，Ｃｉ 上的每一个连续特征值分支在ｏｆ中ｂ２２一 方向递增；若 ＝３或５，则对Ｖ ｚ∈Ｃ和Ｖ Ｃ∈Ｒ，Ｃ 。 上的每一个连续特征值分支在ｏｆ中６２１一方 向递减． ０ ． １上 ］●●●●Ｊ 参考文献 ［１）Ｑ Ｋｏｎｇ，Ｈ Ｗｕ，Ａ Ｚｅｔｔ１．Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，Ｉ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｎ ｓｐａｃｅｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ［Ｊ］．Ｐｒｏｅ Ｒｏｙａｌ Ｓｏｃ Ｅｄｉｎｂｕｒｇｈ，２０００，１３０Ａ：５６１—５８９． ［２３Ａ Ｚｅｔｔ１．Ｓｔｕｒｍ—ｌｉｏｕｖｉＵｅ Ｔｈｅｏｒｙ（Ｍ］．Ｍａｔｈ Ｓｕｒｖｅｙｓ＆Ｍｏｎｏｇｒａｐｈｙｌ２１．Ａｍｅｒｉｃａｎ ｍａｔｈ Ｓｏｃ ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，ＲＩ，２００５． ，Ｌ ［３）Ｗ Ｐｅｎｇ，Ｍ Ｒａｃｏｖｉｔａｎ，Ｈ Ｗｕ．Ｇｅｏｍｅｔ３５ｒｉ ｃ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ Ｓｔｕｒｍ—ＬｉｏｕｖｉＵｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，Ｖ．Ｎａｔｕｒａｌ ｌｏｏｐｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ 、， ｆｏｒ ｍｏｎｏｔｏｎｉｅｉｔｙ ｏｆ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ｍａｔｈ Ａｐｐｌ，２００６，１（１）：ｌ一２３． （责任编辑郑瑛）
