·技巧聚焦·◇ 甘肃 苏继琴 杨子林
直线和圆锥曲线相交，经常会涉及求证直角、锐角、
钝角等问题，基本方法是利用平面向量的数量积，将问题转化为求证向量的数量积大于、等于、小于０的问题，还可以在三角形中利用余弦定理．直线和椭圆相交，还会碰到求证等角、角平分、角互补的问题，可将问题转化为“斜率关系”，构建斜率相等、斜率互为相反数、斜率互为倒数、斜率满足三角恒等关系，从而使问题获解．
１ 构建斜率互为相反数关系
已知两条直线与狓轴构成的两个角相等问题、已知两条直线与狓轴构成等腰三角形问题、
已知两条直线与垂直于狓轴的直线构成的两个角相等问题，都可以将这两个角相等的关系结合图象转化为两直线的倾斜角互补，进而转化为两直线的斜率互为相反数，巧妙解决问题．
例１ 在直角坐标系狓犗狔中，曲线犆：狔＝狓２
４
与
直线犾：狔＝
犽狓＋犪（犪＞０）交于犕，犖两点．则狔轴上是否存在点犘，使得当犽变动时，总有∠犗犘犕＝∠犗犘犖？说明理由．如图１，设犕（狓１，狔１）
，犖（狓２，狔２）
，则由烄２
烅狔＝狓４
，得狓２
－４犽狓－４犪＝０．烆狔＝犽狓＋犪从而
｛狓１＋狓２＝４犽，
狓１狓２＝－４犪．
假设狔轴上存在点犘（０，犫），图１
使得当犽变动时，总有∠犗犘犕＝∠犗犘犖．
由此可由两角相等构建两直线间的斜率关系犽狔１－犫狔２－犫犽狓１犘犕＝－犽犘犖，即狓即＋犪－犫１＋狓２＝０，狓１＋
犽狓２＋犪－犫狓＝０，则２犽狓１狓２＋（犪（即２
－犫）狓１＋狓２）＝０，
－４犽（犪＋犫）＝０，得犫＝－犪．
故狔轴上存在点犘（０，－犪），使得当犽变动时，总有∠犗犘犕＝∠犗犘犖．
１２
２ 构建斜率互为倒数关系
两角相等的问题，借助图象可转化为两直线的倾斜角互余问题，进而转化为两直线的斜率间的倒数关系，从而可迅速找到解题的突破口．
狓２例２ 已知椭圆犆：狔２
犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０
）的离心率为
槡２２，点
犘（０，１）和点犃（犿，狀）（犿≠０）
都在椭圆犆上，直线犘犃交狓轴于点犕．（１）求椭圆犆的方程，并求点犕的坐标（用犿，狀表示）；（２）设犗为原点，点犅与点犃关于狓轴对称，直线犘犅交狓轴于点犖．狔轴上是否存在点犙，使得∠犗犙犕＝∠犗犖犙？若存在，求点犙的坐标；若不存在，说明理由．
椭圆犆的方程是狓２
（１）２
＋狔２＝１，点
犕（犿１－狀，０）（解答过程略）．（２）如图２，因为点犅与点犃关于狓轴对称，则知犅（犿，－狀）且犿２
２
＋狀２＝１．设犖（狓犖，０），则狓犖＝犿１＋狀． 假设狔轴上存在点犙（０，狔犙），使得∠犗犙犕＝∠犗犖犙，则ｔａｎ∠犗犙犕＝ｔａｎ∠犗犖犙，故可由两角相等构建两直线间图２
的斜率关系．
从而得１狔犙狔犙２
犽犕＝犽犙犖，即·＝１，狔犙犙＝
－犿犿１＋狀－１－狀犿２２－２狀２
１－狀２＝１－狀２
＝２，从而狔犙＝±槡２．
故狔轴上存在点犙，使得∠犗犙犕＝∠犗犖犙，且点犙的坐标为（０，槡２）或（０，－槡２）．总之，在处理解析几何中有关定角问题时，若能巧妙地将角的关系转化为直线的斜率关系，就能有效突破解题瓶颈，迅速找到解题的突破口．
（本文系２０１７年度甘肃省“十三五”教育科学规划重点课题“利用错误资源和微专题资源提升高中数学教师核心专业素养的策略研究”（课题批准号：ＧＳ【２０１７】ＧＨＢＺ１６６
）阶段性研究成果．）（作者单位：甘肃省张掖市第二中学）
