第七章 复数【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习(人教A版2019)

第七章 复数

考点一 复数的有关概念

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部．

一．选择题

1．设i是虚数单位,复数12i的虚部是 A．2 【正确答案】A

【详细解析】复数12i的虚部是2． 故选A．

2．设复数z1bi(bR),且z34i,则z的虚部为 A．2 【正确答案】A

【详细解析】z234i,(1bi)234i,1b22bi34i, 1b23,2b4,

2B．2 C．2i D．2i

B．4 C．2 D．4

解得b2．

则z12i的虚部为2． 故选A． 3．若

2abi(a,bR),则a2019b2020 1iB．0

C．1

D．2

A．1

【正确答案】D 【详细解析】

21iabi,1iabi,则a1,b1, a2019b20202,

故选D． 4．已知复数z134i,则下列说法正确的是 A．复数z的实部为3 B．复数z的虚部为

425i C．复数z的共轭复数为325425i D．复数的模为1 【正确答案】C 【详细解析】

z134i34i25325425i, z的实部为

3425,虚部为25, z的共轭复数为

325425i,模为(325)2(4125)25,

故选C．

5．已知i为虚数单位,z41i,则复数z的虚部为 A．2i B．2i

C．2

【正确答案】D 【详细解析】z44(1i)4(11i(1i)(1i)i)222i, 则复数z的虚部为2, 故选D．

6．若(m25m4)(m22m)i0,则实数m的值为 A．1

B．0或2 C．2 【正确答案】D

【详细解析】(m25m4)(m22m)i0, m25m40,m22m0,解得m0．

D．2D．0

故选D．

227．已知z1m3mmi,z24(5m6)i,其中m为实数,i为虚数单位,若z1z20,则m的值为

A．4

【正确答案】B

B．1 C．6 D．1或6

【详细解析】由题意可得z1z2,即m23mm2i4(5m6)i,根据两个复数相等的充要条件可得 m23m4,解得m1, 2m5m6故选B．

8．已知i为虚数单位,则iiiiA．i

【正确答案】D

【详细解析】iiii232019232019等于

C．i

D．1

B．1

i(1i2019)i(1i50443) 1i1ii(1i)(1i)(1i)21． 1i(1i)(1i)2故选D． 二．填空题

9．设i为虚数单位,若复数z(m22m8)(m2)i是纯虚数,则实数m ． 【正确答案】4

【详细解析】复数z(m22m8)(m2)i是纯虚数, m22m80,m20,

解得m4． 故正确答案为:4．

10．已知x,yR,i为虚数单位,且(x2)iy1i,则xy ． 【正确答案】4

【详细解析】(x2)iy1i, y1,

x21解得x3,y1, xy4,

故正确答案为:4． 三．解答题

11．m为何实数时,复数z(2i)m23(i1)m2(1i)是: （1）实数; （2）虚数; （3）纯虚数．

1【正确答案】（1）m1或2; （2）m1且m2;（3）m．

2【详细解析】复数z(2i)m23(i1)m2(1i)(2m23m2)(m23m2)i, （1）实数;可得m23m20,解得m1或2． （2）虚数;可得m23m20,解得m1且m2．

1（3）纯虚数可得:2m23m20并且m23m20,解得m．

212．设复数z(a2a2)(a27a6)i,其中aR,当a取何值时: （1）zR? （2）z是纯虚数? （3）z是零?

【正确答案】（1）a1或a6; （2）a2;（3）a1． 【详细解析】（1）当a27a60,即a1或a6时,zR． a2a20（2）当2,即a2时,z是纯虚数．

a7a60a2a20（3）当2,即a1时,z是零．

a7a60

考点二 复数的几何意义

判断复数在平面内的点的位置的方法

首先将复数化成a＋bi(a,b∈R)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限．

一．选择题

1．已知i为虚数单位,则zA．第一象限 【正确答案】B 【详细解析】zii(12i)2i, 12i(12i)(12i)5i在复平面内对应的点位于 12iC．第三象限

D．第四象限

B．第二象限

故z在复平面内对应的点位于第二象限, 故选B．

2．在复平面内,复数zi(1i)对应的点位于 A．第一象限 【正确答案】B

【详细解析】由zi(1i)1i． 得复数zi(1i)对应的点为(1,1)．

在复平面内,复数zi(1i)对应的点位于第二象限．

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

故选B．

3．在复平面内,复数i(1i)对应的点位于 A．第一象限 【正确答案】A

【详细解析】i(1i)1i,复数i(1i)对应的点的坐标为(1,1),显然位于第一象限, 故选A．

4．若复数z满足(34iz)i2i,则复数z所对应的点位于 A．第一象限 【正确答案】B

【详细解析】由(34iz)i2i,得 34iz2i(2i)(i)12i, ii2B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

z22i．

复数z所对应的点的坐标为(2,2),位于第二象限．

故选B．

5．已知复数z1i,则下列命题中正确的个数为 ①|z|A．1

【正确答案】C

【详细解析】①复数z1i,则|z|2．故①正确; ②z1i,故②正确; ③z的虚部为1,故③错误;

④z在复平面上对应点的坐标为(1,1),在第一象限,故④正确．

命题中正确的个数为3．

2;②z1i;③z的虚部为i;④z在复平面上对应点在第一象限．

B．2

C．3

D．4

故选C． 6．复数

i在复平面上对应的点位于 i1B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．第一象限 【正确答案】D 【详细解析】

ii1ii(1i)1i11i, i1(i1)(1i)222在复平面上对应的点位于第四象限,

故复数

故选D．

7．已知复数z满足(13i)z23i(i为虚数单位）,则z在复平面内对应的点位于 A．第一象限 【正确答案】A

【详细解析】由(13i)z23i,得

23i13i23i(13i)(13i)(13i)623i33i． 422B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

zz在复平面内对应的点的坐标为(,33),是第一象限的点． 22故选A．

8．若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 A．(,1) 【正确答案】B

【详细解析】复数(1i)(ai)a1(1a)i在复平面内对应的点在第二象限,

B．(,1) C．(1,) D．(1,)

a10,解得a1．

1a0则实数a的取值范围是(,1)． 故选B． 二．填空题

9．已知z(1i)1,则复数z在复平面上对应的点位于第 象限． 【正确答案】一

【详细解析】z(1i)1,z11i1i11i, 1i(1i)(1i)22211此复数对应的点的坐标为(,),在第一象限,

22故正确答案为:一．

10．复数(2i)i在复平面上对应的点在第 象限． 【正确答案】二

【详细解析】(2i)i12i 又10,20

故复数(2i)i在复平面上对应的点在第二象限 故正确答案为:二 三．解答题

11．已知复数zm2(1i)m(3i)6i,则当m为何实数时,复数z是 （1）实数;（2）虚数;（3）纯虚数;（4）零;（5）对应的点在第三象限．

【正确答案】（1）m2或;（2）m2且m3;（3）m0;（4）m3;（5）m(0,3)． 【详细解析】由zm2(1i)m(3i)6i(m23m)(m2m6)i,

（1）当m2m60,即m2或m3时,z为实数; （2）当m2m60,即m2且m3时,z为虚数; （3）当m23m0,且m2m60,即m0时,z为纯虚数; （4）当m23m0,且m2m60,即m3时,z0; m23m0①（5）由2,

mm60②解①得,0m3． 解②得,2m3．

0m3．

即当m(0,3)时,z对应的点在第三象限．

12．设复数z(m22m3)(m23m2)i,试求实数m的取值,使得（1）z是纯虚数;（2）z对应的点位于复平面的第二象限．

【正确答案】（1）m3;（2）1m3．

【详细解析】（1）复数是一个纯虚数,实部等于零而虚部不等于0 m22m30m1或m3由2,得m3． m1且m2m3m20（2）当复数对应的点在第二象限时, m22m301m3由2, m1或m2m3m20得1m3．

考点三 复数的代数运算

复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．

(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式．

(3)利用复数相等求参数．a＋bi＝c＋di⇔a＝c,b＝d(a,b,c,d∈R)．

一．选择题 1．已知复数2aii4bi,a,bR,则ab A．2

B．2

C．4

【正确答案】D 【详细解析】

2aii4bi,2aii(4bi)b4i, 则a4,b2,故ab6． 故选D． 2．已知

ai12ii(i为虚数单位,aR),则a A．2 B．1

C．1

【正确答案】D 【详细解析】

ai12ii, aii(12i)2i,

故a2, 故选D．

3．复数z满足z(1i)1i,则z的虚部等于 A．i B．1 C．0 【正确答案】B

【详细解析】复数z满足z(1i)1i, 1i(1i)212ii2z1i(1i)(1i)1i2i,

z的虚部为1．

故选B． 4．已知复数z2i1i,则z的虚部为 A．

12 B．1i

C．122

【正确答案】A

D．6

D．2

D．1

D．12i

【详细解析】复数z则z2i(2i)(1i)3i31i, 1i12i2222311i,所以z的虚部为． 222故选A．

5．已知复数z12i,则|z| A．3 【正确答案】D 【详细解析】

B．3

C．5

D．5

2z12i,z2(12i)234i,

则|z2||34i|(3)2425． 故选D． 6．复数z6A．i

53i的虚部是 12i3B．i

53C．

56D．

5【正确答案】C 【详细解析】

z3i3i(12i)3i663i, 12i(12i)(12i)5553所以复数z的虚部是,

5故选C．

7．已知复数z满足z(1i)|22i|（其中i为虚数单位）,则复数z的虚部为 A．2 【正确答案】B

【详细解析】复数z满足z(1i)|22i|（其中i为虚数单位）, z(1i)22,

B．2 C．2i D．2i

z2222(1i)2(1i)22i． 1i(1i)(1i)复数z的虚部为2．

故选B．

8．已知i为虚数单位,复数z满足z(1i)46i,则z的共轭复数z为

A．15i 【正确答案】C

B．15i C．15i D．15i

【详细解析】由z(1i)46i, 得z46i(46i)(1i)15i, 1i(1i)(1i)z15i,

故选C． 二．填空题 9．已知复数z22i(i是虚数单位）,则z的共轭复数为 ． 1i【正确答案】1i 【详细解析】

z1i．

z22(1i)2i2i1i2i1i, 1i(1i)(1i)故正确答案为:1i． 10．设z1i2i,则|z| ． 1i【正确答案】1 【详细解析】|z|1．

1i(1i)2z2i2ii2ii, 1i(1i)(1i)故正确答案为:1．

三．解答题

11．若复数z满足zi(2z)． （1）求z;

（2）求|z(2i)|．

【正确答案】（1）z1i;（2）5. 【详细解析】（1）由zi(2z),得z2i1i． 1i（2）|z(2i)||1i2i||12i|(1)2225． 12．已知复数z11i,z246i． （1）求

z2; z1（2）若复数z1bi(bR)满足zz1为实数,求|z|． 【正确答案】（1）15i;（2）|z|2． 【详细解析】（1）



z11i,z246i,

z246i(46i)(1i)210i15i; z11i(1i)(1i)2z1bi(bR),

（2）

zz12(b1)i,

又zz1为实数,

b10,得b1． z1i,则|z|2．