2019年湖北省咸宁市中考数学试卷 解析版

一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。） 1．（3分）下列关于0的说法正确的是（ ） A．0是正数

B．0是负数

C．0是有理数

D．0是无理数

2．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）

A． B． C． D．

3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．

﹣

＝

B．

C．a÷a＝a

5

2

3

D．（ab）＝ab

236

4．（3分）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ） A．45°

B．60°

C．72°

D．90°

5．（3分）如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（ ）

A．主视图会发生改变 C．左视图会发生改变

2

B．俯视图会发生改变

D．三种视图都会发生改变

6．（3分）若关于x的一元二次方程x﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m＜1

B．m≤1

C．m＞1

D．m≥1

7．（3分）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A．y＝x

B．y＝﹣

C．y＝x

2

D．y＝﹣x

2

8．（3分）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值

为（ ）

A．

B．

C．

D．

二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）计算：（

）﹣1＝ ．

0

10．（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是 ．

11．（3分）若整式x+my（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是 （写一个即可）．

12．（3分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ．

13．（3分）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为 m（结果保留整数，

≈1.73）．

2

2

14．（3分）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．

15．（3分）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是4，则这三个数的和是 ．

16．（3分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在

12

G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论： ①CQ＝CD；

②四边形CMPN是菱形； ③P，A重合时，MN＝2

；

④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5． 其中正确的是 （把正确结论的序号都填上）．

三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分） 17．（8分）（1）化简：（2）解不等式组：

÷

；

18．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．

（1）求证：四边形DEFC是矩形；

（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

19．（8分）小慧家与文具店相距960m，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12min来到文具店买笔记本，停留3min，因家中有事，便沿着原路匀速跑步6min返回家中． （1）小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少？

（2）请你画出这个过程中，小慧离家的距离y与时间x的函数图象； （3）根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家距离为720m？

20．（8分）某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

七、八年级学生一分钟跳绳成绩分析表

年级 七 八 平均数 116 119 中位数 a 126 众数 115 117 七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组：60≤x＜80，80≤x＜100，…，180≤x＜200）在100≤x＜120这一组的是：

100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a＝ ；

（2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩122次，八年级乙同学的成绩125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是 （填“甲”或“乙”），理由是 ．

（3）该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人？ 21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分

别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G． （1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

22．（10分）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．

（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 元； （2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．

①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？

23．（10分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：

（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD． 求证：四边形ABCD是等补四边形； 探究：

（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由． 运用：

（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；

（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

2

2019年湖北省咸宁市中考数学试卷

参与试题解析

一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。） 1．（3分）下列关于0的说法正确的是（ ） A．0是正数

B．0是负数

C．0是有理数

D．0是无理数

【分析】直接利用有理数、无理数、正负数的定义分析得出答案． 【解答】解：0既不是正数也不是负数，0是有理数． 故选：C．

【点评】此题主要考查了实数，正确把握实数有关定义是解题关键．

2．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 【解答】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：

故选：B．

【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．

﹣

＝

B．

C．a÷a＝a

5

2

3

D．（ab）＝ab

236

【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、

同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案． 【解答】解：A、B、

5

2

﹣，无法计算，故此选项错误；

＝2，故此选项错误；

3

C、a÷a＝a，正确；

D、（ab）＝ab，故此选项错误． 故选：C．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及二次根式的加减运算、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4．（3分）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ） A．45°

B．60°

C．72°

D．90°

2

3

36

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角． 【解答】解：∵正多边形的内角和是540°， ∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5， ∵多边形的外角和都是360°， ∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°． 故选：C．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．

5．（3分）如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（ ）

A．主视图会发生改变 C．左视图会发生改变

B．俯视图会发生改变

D．三种视图都会发生改变

【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．

故选：A．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．

6．（3分）若关于x的一元二次方程x﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m＜1

B．m≤1

C．m＞1

D．m≥1

2

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x﹣2x+m＝0有实数根， ∴△＝（﹣2）﹣4m≥0， 解得：m≤1． 故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 7．（3分）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A．y＝x

B．y＝﹣

C．y＝x

2

2

2

D．y＝﹣x

2

【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m）的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B；再根据B（1，m），C（2，m﹣n）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故D选项正确． 【解答】解：∵A（﹣1，m），B（1，m）， ∴点A与点B关于y轴对称； 由于y＝x，y＝∵n＞0， ∴m﹣n＜m；

由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴D选项正确 故选：D．

【点评】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．

的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；

8．（3分）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】点A，B落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．

【解答】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E， ∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上， ∴S△AOD＝1，S△BOE＝4， 又∵∠AOB＝90° ∴∠AOD＝∠OBE， ∴△AOD∽△OBE， ∴（

）＝

2

，

∴

，

设OA＝m，则OB＝2m，AB＝ 在RtAOB中，sin∠ABO＝故选：D．

【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．

二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）计算：（

）﹣1＝ 0 ．

0

【分析】直接利用零指数幂的性质化简得出答案． 【解答】解：原式＝1﹣1＝0． 故答案为：0．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握运算法则是解题关键．

10．（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是 【分析】直接利用概率求法进而得出答案．

【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，

∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：＝． 故答案为：．

【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键．

11．（3分）若整式x+my（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是 ﹣1 （写一个即可）．

【分析】令m＝﹣1，使其能利用平方差公式分解即可． 【解答】解：令m＝﹣1，整式为x﹣y＝（x+y）（x﹣y）． 故答案为：﹣1（答案不唯一）．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 12．（3分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为

．

2

2

2

2

．

【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，

依题意，得：．

故答案为：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

13．（3分）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为 69 m（结果保留整数，

≈1.73）．

【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，则∠DAC＝30°，所以DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，通过三角函数关系求得AB的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∴DA＝DC＝80， 在Rt△ABD中，

，

∴

＝

＝40

≈69（米），

故答案为69．

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 14．（3分）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为 3

（结果保留π）．

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．

【解答】解：连接OC、BC，作CD⊥AB于点D， ∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°， ∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°， ∴AC＝3

，

∵∠CDA＝90°， ∴CD＝

，

∴阴影部分的面积是：故答案为：3π﹣

．

＝3π﹣，

【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

15．（3分）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是4，则这三个数的和是 ﹣384 ．

【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是4，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和． 【解答】解：∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…， ∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）∵其中某三个相邻数的积是4， ∴设这三个相邻的数为（﹣2）则（﹣2）

n﹣13n3n

n﹣112

n﹣1

12

12

，

、（﹣2）、（﹣2）

12

nn+1

，

（﹣2）••（﹣2）

2

12

nn+1

＝4，

即（﹣2）＝（2）， ∴（﹣2）＝2， ∴3n＝24， 解得，n＝8，

∴这三个数的和是：（﹣2）+（﹣2）+（﹣2）＝（﹣2）×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，

7

8

9

7

24

故答案为：﹣384．

【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．

16．（3分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论： ①CQ＝CD；

②四边形CMPN是菱形； ③P，A重合时，MN＝2

；

④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．

其中正确的是 ②③ （把正确结论的序号都填上）．

【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN＝NP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ＝CD，得Rt△CMQ≌△CMD，进而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出③正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值便可． 【解答】解：如图1，

∵PM∥CN， ∴∠PMN＝∠MNC， ∵∠MNC＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM， ∴PM＝PN， ∵NC＝NP， ∴PM＝CN， ∵MP∥CN，

∴四边形CNPM是平行四边形， ∵CN＝NP，

∴四边形CNPM是菱形，故②正确； ∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP， ∴∠MQC＝∠D＝90°， ∵CP＝CP，

若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD，

∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立， 故①错误；

点P与点A重合时，如图2，

设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x， 在Rt△ABN中，AB+BN＝AN， 即4+x＝（8﹣x）， 解得x＝3，

∴CN＝8﹣3＝5，AC＝∴∴

∴MN＝2QN＝2

． ，

，

，

2

2

22

2

2

故③正确；

当MN过点D时，如图3，

此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝

当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝∴4≤S≤5， 故④错误． 故答案为：②③．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键． 三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分） 17．（8分）（1）化简：（2）解不等式组：

÷

；

， ，

【分析】（1）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案； （2）分别解不等式进而得出不等式组的解． 【解答】解：（1）原式＝＝； （2）

解①得：x＞﹣2， 解②得：x≤3，

所以这个不等式组的解集为：

，

×（m﹣1）

﹣2＜x≤3．

【点评】此题主要考查了分式的乘除运算以及不等式组的解，正确掌握解题方法是解题关键．

18．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．

（1）求证：四边形DEFC是矩形；

（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．

（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．

【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点， ∴DE∥FC，EF∥CD， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∵∠DCF＝90°， ∴四边形DEFC是矩形．

（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．

【点评】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

19．（8分）小慧家与文具店相距960m，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12min来到文具店买笔记本，停留3min，因家中有事，便沿着原路匀速跑步6min返回家中． （1）小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少？

（2）请你画出这个过程中，小慧离家的距离y与时间x的函数图象； （3）根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家距离为720m？

【分析】（1）根据速度＝路程/时间的关系，列出等式（2）根据题中已知，描点画出函数图象；

（3）根据图象可得小慧从家出发后9分钟或16.5分钟分钟离家距离为720m； 【解答】解：（1）由题意可得，

（m/min）

即可求解；

答：小慧返回家中的速度比去文具店的速度快80m/min； （2）如图所示：

（3）根据图象可得，小慧从家出发后9分钟或16.5分钟分钟离家距离为720m；

【点评】本题考查一次函数的应用；能够理解题意，准确画出函数图象，并从图象中获取信息是解题的关键．

20．（8分）某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

七、八年级学生一分钟跳绳成绩分析表

年级 七 八 平均数 116 119 中位数 a 126 众数 115 117 七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组：60≤x＜80，80≤x＜100，…，180≤x＜200）在100≤x＜120这一组的是：

100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a＝ 118 ；

（2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩122次，八年级乙同学的成绩125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是 甲 （填“甲”或“乙”），理由是 甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126 ． （3）该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人？ 【分析】（1）根据中位数，结合条形统计图及所给数据求解可得； （2）将甲、乙成绩与对应的中位数对比，从俄日得出答案； （3）利用样本估计总体思想求解可得．

【解答】解：（1）∵七年级50名学生成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别是117、119， ∴中位数a＝故答案为：118；

（2）∴在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是甲， 理由是甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126， 故答案为：甲，甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126．

（3）估计一分钟跳绳不低于116次的有500×

＝270（人）．

＝118，

【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直

方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．

21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G． （1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论；

（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）FG与⊙O相切， 理由：如图，连接OF，

∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∵OF＝OC， ∴∠OFC＝∠OCF， ∴∠OFC＝∠DBC， ∴OF∥DB，

∴∠OFG+∠DGF＝180°， ∵FG⊥AB， ∴∠DGF＝90°， ∴∠OFG＝90°， ∴FG与⊙O相切；

＝4，根据圆周角定理得到∠DFC＝

（2）连接DF， ∵CD＝2.5， ∴AB＝2CD＝5， ∴BC＝

＝4，

∵CD为⊙O的直径， ∴∠DFC＝90°， ∴FD⊥BC， ∵DB＝DC， ∴BF＝BC＝2， ∵sin∠ABC＝即＝

，

，

∴FG＝．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

22．（10分）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．

（1）第40天，该厂生产该产品的利润是 1600 元； （2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．

①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？

【分析】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40，则可求得第40天的利润．

（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可． 【解答】解：

（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40 则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元 故答案为1600 （2）①

设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得

，解得

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70 （Ⅰ）当0＜x≤30时

w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120） ＝﹣2x+100x+1200 ＝﹣2（x﹣25）+2450 ∴当x＝25时，w最大值＝2450 （Ⅱ）当30＜x≤50时，

w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800 ∵w随x的增大而减小 ∴当x＝31时，w最大值＝2320 ∴

第25天的利润最大，最大利润为2450元

②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）+2450＝2400元

2

2

2

解得x1＝20，x2＝30

∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）+2450开口向下 由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400

此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天 （Ⅱ）当30＜x≤50时， 由①可知当天利润均低于2400元

综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

23．（10分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：

（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD． 求证：四边形ABCD是等补四边形； 探究：

（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由． 运用：

（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

2

【分析】（1）由圆内接四边形互补可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再证AD＝CD，即可根据等补四边形的定义得出结论；

（2）过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证△ABE≌△ADF，

得到AE＝AF，根据角平分线的判定可得出结论；

（3）连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF的长．

【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴

，

∴AD＝CD，

∴四边形ABCD是等补四边形；

（2）AD平分∠BCD，理由如下：

如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F， 则∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是等补四边形， ∴∠B+∠ADC＝180°， 又∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADF， ∵AB＝AD，

∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF，

∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；

（3）如图3，连接AC， ∵四边形ABCD是等补四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， 又∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠BCD， ∵AF平分∠EAD，

∴∠FAD＝∠EAD， 由（2）知，AC平分∠BCD， ∴∠FCA＝∠BCD， ∴∠FCA＝∠FAD， 又∠AFC＝∠DFA， ∴△ACF∽△DAF， ∴即∴DF＝5

，

， ﹣5．

【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；

（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

2

【分析】（1）求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式．

（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．

（3）B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EF＝OB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标． 【解答】解：（1）在∴A（4，0），B（0，2） 把A（4，0），B（0，2），代入

，得

中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2

，解得

∴抛物线得解析式为

（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F

∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE ∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE 即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE ∴∠DBE＝∠ABE ∴∠DBE＝∠BAC 设D点的坐标为（x，∵tan∠DBE＝

，tan∠BAC＝

），则BF＝x，DF＝

∴＝，即

解得x1＝0（舍去），x2＝2 当x＝2时，

∴点D的坐标为（2，3） （3）

＝3

当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF 设E（m，

），F（m，

）

EF＝|（解得m1＝2，

）﹣（

，

）|＝2

当BO为对角线时，OB与EF互相平分

过点O作OF∥AB，直线OF（

）

或

或

）或（

）

交抛物线于点F（

）和

求得直线EF解析式为

直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为∴E点的坐标为（2，1）或（或（

）

，

）或（

【点评】本题考查了待定系数法，2倍角关系和平行四边形点存在类问题，将2倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，以OB为边和对角线是（3）问题的解题关键，本题综合难度不大，是一道很好的压轴问题．