指数对数概念及运算公式

指数对数概念及运算公

式

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

指数函数及对数函数重难点

根式的概念：

①定义：若一个数的n次方等于a(n1,且nN)，则这个数称a的n次方根.即，若

xna，则x称a的n次方根n1且nN)，

1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；

2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作

na(a0).

②性质：1）(na)na； 2）当n为奇数时，nana； 3）当n为偶数时，na|a|幂的有关概念：

①规定：1）aaaa(nN*， 2）a1(a0)， n个 3）apn0a(a0)

a(a0)1p(pQ，4）annam(a0,m、nN* 且n1) arsrsm②性质：1）aaa2）(a)arrsrs(a0,r、sQ），

(a0,r、s Q），

r3）(ab)ab(a0,b0,r Q） （注）上述性质对r、sR均适用.

r

例 求值

23316415 （3）2 （4）81

（1）

8 （2）2512

例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

2(1)3a4a （２）aaa （３）3(ab)

（４）4(ab) （５）3abab （6）4(ab)

333222例.化简求值

2

21（1）（278）3（0.002）210（52）1（23）0

21532（2）1(0.0273)2.52560.125(32)50.11 （3）39a2a33a73a13

211115（4）2a3b26a2b33a6b6=

（5）2331.5612

指数函数的定义：

①定义：函数yax(a0,且a1)称指数函数，

1）函数的定义域为R， 2）函数的值域为(0,)，

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数.

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么

（1）y2x2 （2）y(2)x （3）y2x

（4）yx （5）yx2 （6）y4x2

（7）yxx （8）y(a1)x （a＞1，且a2）

例：比较下列各题中的个值的大小

（1） 与

( 2 )0.80.1与0.80.2

( 3 ) 与 例：已知指数函数f(x)ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3，π），求f(0),f(1),f(3)的值.

思考：已知a0.80.7,b0.80.9,c1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.

例 如图为指数函数(1)yax,(2)ybx,(3)ycx,(4)ydx，则

a,b,c,d与1的大小关系为

（A）ab1cd （B）ba1dc

3

y a b c d O x

（C）1abcd （D）ab1dc

2x11、函数yx是（ ）

21A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 2、函数y1的值域是（ ） x21A、,1 B、,00, C、1, D、(,1)0,

x3、已知0a1,b1,则函数yab的图像必定不经过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

例．求函数y例 若不等式3x212x2x的值域和单调区间

2ax>(

1x+1

)对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______. 3x132 x(,1.f(x)=1x，则f(x)值域为______. 32 x1,考查分段函数值域.

－

【解析】 x∈(－∞,1］时,x－1≤0,0<3x1≤1, ∴－2－

x∈(1,+∞)时，1－x<0,0<31x<1,∴－2例 点（2，1）与（1，2）在函数例.设函数

fx2axb的图象上，求fx的解析式

f(x)2x1x1，求使f(x)22的x取值范围．

2xb例 已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数。

2a（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范围；

22

对数的概念：

4

①定义：如果a(a0,且a1)的b次幂等于N，就是aN，那么数b称以a为底N的对数，记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数.

1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN，

2）以无理数e(e2.71828)为底的对数称自然对数，logeN记作lnN ②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数），

2）loga10， 3）logaa1， 4）对数恒等式：alogaNbN

例 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

1m1 （3）()5.73

3（4）log1164 （5）log100.012 （6）loge102.303

（1）54=5 （2）262例：求下列各式中x的值

22 （2）logx86 （3）lg100x （4）lnex 3分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

（1）logx

练习：将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值 .

（1）512x1 （2）log542x （3）3x1 275（4）() （5）lg0.0001x （6）lnex

14

例 利用对数恒等式alogaNN，求下列各式的值：

(1)()log43()log54()log35

log14141513(2)3310log0.012log1277

6(3)25log5249log73100lg(4)2log4123log927

5log2513

5

③运算性质：如果a0,a0,M0,N0,则

1）loga(MN)logaMlogaN； 2）logaMlogaMlogaN； Nn3）logaMnlogaM(nR）.

④换底公式：logaNlogmN(a0,a0,m0,m1,N0), logma1）logablogba1， 2）logambn

对数函数的运算规律

nlogab. m例．用logax，logay，logaz表示下列各式：

x2yxy （1）loga； （2）loga． 3zzxy解：（1）loga

zloga(xy)logaz

（2）logax2y3zloga(x2y)loga3z logaxlogaylogaz；

例．求下列各式的值：

（1）log24725； （2）lg5100 ．

logax2logayloga3z 112logaxlogaylogaz23解：（1）原式=log24log22=7log245log22725119； （2）原式=lg107515222lg10 55例．计算：（1）lg1421g

7lg243lg7lg18； （2）； 3lg9 (4)lg2·lg50+(lg5)2

(3)

(5)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解：（1）lg142lg7lg7lg18lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322) 36

lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20；

lg243lg355lg35（2）； 2lg92lg32lg3例．计算：（1） 5解：（1）原式 =

1log0.23； （2）log43log92log2432．

515； 1log0.231log55533115153 （2） 原式 = log23log32log22．

224442；

；

55例．求值：(1)

(2)

(3) (3).

例．求值

(1) log·log2732 (2)

(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

对数函数性质典型例题

例．比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； 解：（1）对数函数ylog2x在(0,)上是增函数，

于是log23.4log28.5；

（2）对数函数ylog0.3x在(0,)上是减函数，

于是log0.31.8log0.32.7；

2、比较大小 （1）log212_________log2(aa1) (2)loga________logae,(a1)

27

23若loga(a1)loga2a0，则a的取值范围是 （ ）

（A）(0,1) （B）(0,) （C）(,1) （D）(1,) 4 已知alog0.70.8,1212blog1.10.8,c1.10.7，则a,b,c的大小关系是（ ）

（A）abc （B）bac （C）cab （D）bca 例 比较下列各组数中的两个值大小： (1)， (2)，

(3)，(a＞0且a≠1)

例 如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系

提示：作一直线y＝1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0＜c＜d＜1＜a＜b

例 求下列函数的定义域.

(1) y=

2 (2) y=ln(ax-k·2x)(a＞0且a≠1，k∈R).

例．求函数ylog1(x22x3)的单调区间

解：设ylog1u，ux2x3，由u0得x2x30，知定义域为

222(,1)(3,)又u(x1)24，则当x(,1)时，u是减函数；当

x(3,)时，u是增函数，而ylog1u在R上是减函数

2ylog12(x23x3)的单调增区间为(,1)，单调减区间为(3,)

2例 函数ylog0.5xlog0.5x2的单调减区间是________。

8

例 已知y=log4(2x+3－x2).

（1）求定义域；

（2）求f(x)的单调区间；

（3）求y的最大值，并求取最大值时x值. 考点 考查对数函数、二次函数的单调性、最值. 【解】 （1）由2x+3－x2>0,解得－1∴f(x)定义域为{x|－1(2)令u=2x+3－x2，则u>0,y=log4u 由于u=2x+3－x2=－(x－1)2+4

再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1），减区间是［1,3 又y=log4u为(0,+∞)增函数，

故该函数单调递增区间为（－1，1］，减区间为［1，3） （3）∵u=2x+3－x2=－(x－1)2+4≤4 ∴y=log4u≤log44=1

故当x=1时，u取最大值4时，y取最大值1.

例 求函数ylog3(x26x10)的最小值．

变式．求函数f(x)lg(x8x7)的定义域及值域．

2

例 已知函数y=f(2x)定义域为［1，2］,则y=f(log2x)的定义域为（ ）

A.［1，2］ B.［4，16］ C.［０，1］ D.（－∞,0］

考查函数定义域的理解.

【解析】 由1≤x≤22≤2x≤4, ∴y=f(x)定义域为［2，4］ 由2≤log2x≤4,得4≤x≤16 【答案】 B

例 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．

(1)y=lg(－x)， (2)y=log2|x＋1|

(3)y=|log1(x－1)|，(4)y＝log2(1－x)．

2例 已知函数f (t) =log2t，t[2,8].

（1）求f (t)的值域G；

（2）若对于G内的所有实数x，不等式－x2+2mx－m2+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围.

9

12x4xa例 已知函数f(x)=lg, 其中a为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实

a2a1数a的取值范围.

分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.

12x4xa1232－a+1=(a－解：>0, 且a)+>0,

24a2a111), xx4211当x∈(－∞, 1]时, y=x与y=x都是减函数，

4231111∴ y=(xx)在(－∞, 1]上是增函数，(xx)max=－,

4424233∴ a>－, 故a的取值范围是(－, +∞).

44

a1例 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = 2 (x － )

xa1 (1)求f(x)；

(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；

∴ 1+2x+4x·a>0, a>( (3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求m的集合M . 解：(1)令t=logax(t∈R)，则

xat,f(t)(2)f(x)aattxx(aa),f(x)(aa),(xR). 22a1a1aaxx(aa)f(x),且xR,f(x)为奇函数.当a1时,0,22 a1a1u(x)axax为增函数,当0a1时,类似可判断f(x)为增函数.综上,无论a1或0a1,f(x)在R上都是增函数.

(3)f(1m)f(1m2)0,f(x)是奇函数且在R上是增函数,f(1m)f(m21).又 x(1,1)11m11m2111m2. 1mm21

11x例 已知函数f(x)log2，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调

x1x性．

kx1例、已知函数f(x)lg,(kR且k0).

x110

（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若函数f(x)在[10，+∞)上单调递增，求k的取值范围.

1．函数f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是

13

（ ）

A．(,)

13B． (,1) C． (,113

D． (,)

132．．已知函数f（x）=lg（2x－b）（b为常数），若x∈［1，+∞］时，f（x）≥0恒成立，则

（ ） A．b≤1

B．b＜1

C．b≥1

D．b=1

3．函数 y=x22x3的单调递减区间为

（ ）

A．（－∞，－3） B．（－∞，－1） C．［1，+∞］ D．［－3，－1］

4．设f（x）是定义在A上的减函数，且f（x）＞0，则下列函数：y=3－2f

（x）,y=1+2,y=f2（x）,y=1－f(x)，其中增函数的个数为

f(x)

（ ） A．1

—

B．2 C．3 D．4

5、.若集合M={y|y=2x}, P={y|y=x1}, M∩P= （ ）

A．{y|y>1}

B．{y|y≥1}

1.5 C．{y|y>0 } D．{y|y≥0}

16、设y140.9,y280.48,y32，则 （ ）

A、y3y1y2 B、y2y1y3 C、y1y3y2 D、y1y2y3 7、在blog(a2)(5a)中，实数a的取值范围是 （ ） A、a5或a2 B、2a3或3a5 C、2a5 D、3a4

8、已知函数f(n)n3f[f(n5)]n10n10，其中nN，则f(8)的值为（ ）

(A)2 (B)4 (C)6 (D)7

11

xax9、 函数y(0a1)的图象的大致形状是

x（ ）

10．当a＞0且a≠1，x＞0，y＞0，n∈N*，下列各式不恒等的是 ．．．A．loganx＝1logax B．logax＝nloganx

n

（ ）

C．xlogax＝x

D．logaxn＋logayn＝n（logax＋logay）

11

log

的值是( ) log23

A． B．1 C． D．2

12 函数f(x)=lnx－

23322零点所在的大致区间是 x1eA（1，2） B（2，3） C （e，+∞） D1,和3,4

13．若关于x的不等式x4xm对任意x[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是

A．

2m3或m0

B．3m0

C．m3

D．m3

14．函数ylog1(2x23x1)的递减区间为

2A.（1，+） B.（－，

311］ C.（，+） D.（－，］ 42215．如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0,)上是减函数，那么下述式子中正确的是

32

432B．f()f(aa1)

4A．f()f(aa1)

12

C．f()f(aa1)

342 D．以上关系均不确定

16．函数f(x)、f(x2)均为偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，设

1 af(log8),bf(7.5)，cf(5),则a、b、c的大小是

2 A．abc B．acb C．bac D．cab

17、如果方程lgx(lg5lg7)lgxlg5lg70的两根是,，则的值是（ ） 2A、lg5lg7 B、lg35 C、35 D、135 18、已知log7[log3(log2x)]0，那么x12等于（ ）

A、

11113 B、23 C、22 D、33 19．三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是 （ ）

（A）0.76log0.7660.7（B）0.7660.7log0.76 （C）log0.7660.70.76（D）log0.760.7660.7 20、函数y12x1的值域是（ ） A、,1 B、,00, C、1, D、(,1)0,

13