三角函数题目及答案

三角函数题目及答案

三角函数1

1.在下列各组角中，终边不相同的一组是( )

A．60°与－300° B．230°与950° C．1050°与－300° D．－1000°与

80°

2．给出下列命题，其中正确的是( ) (1)弧度角与实数之间建立了一一对应的关系

(2)终边相同的角必相等 (3)锐角必是第一象限角

(4)小于90°的角是锐角 (5)第二象限的角必大于第一象限角 A．(1) B．(1)(2)(5) C．(3)(4)(5) D．(1)(3) 3．一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为( ) 111

A.(2－sin 1cos 1)R2 B.sin 1cos 1R2 C.R2 D．(1－sin 1cos 2221)R2

4．α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点且cos α＝

2

x，则x的值为( ) 4

A.3 B．±3 C．－3 D．－2

二、填空题

6．

填写下表：

角α的度数 －37 － 570° 5° 

角α的弧度数 角α所在的象限 4π－ 53 135π 12 π3

7.(2008年惠州调研)已知θ∈，π，sin θ＝，则tan θ25

＝________.

2

3

A.





1，12

B.





10， 2

11

C.－1，－2 D.－2，0



5

2．α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝( )

12

115A. B．－ C. 55135D．－ 13

π

3．已知f(x)＝2cosx，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋

6f(2008)＝( )

A．0 B．2 C．2

＋3 D．3＋3

4．如果sin θ＝m,180°<θ<270°，那么tan θ＝( ) A.

m－3

B．－2

1－m

m

2

1－m

1－m2m

C．± D．－m 2

1－m

二、填空题

1＋2sin 20°cos 160°

6．化简：＝________. 2

sin 160°－1－sin20°4

7．已知sin(540°＋α)＝－，则cos(α－270°)＝

5

4

__________；若α为第二象限角，则

[sin180°－α＋cosα－360°]2

＝________________.

tan180°＋α

sin α－3cos αtan α8．已知tan α－1＝－1，则sin α＋cos α__________；sin2α＋sin αcos α＋2＝__________.

三、解答题

9．化简：sinnπ＋αcosnπ－α

cos[n＋1π－α](n∈Z)．

两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换

＝

5

一、选择题

ππππ

1.cos12－sin12cos12＋sin12＝( )

311

A．－ B．－ C.

222

3D. 2

3

2．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，那么5

cos 2β的值为( )

7187

A. B. C．－ 25252518D．－ 25

3．(2009年上海预考)已知0<α<π，sin α＋cos α1

＝ ，则cos 2α的值为( ) 2

777

A. B．－ C．± 4443D．－ 4

4．(2008年湖南卷)函数f(x)＝sin2x＋3sin xcos xππ，在区间上的最大值是( ) 24

1＋33

A．1 B. C.

22

D．1＋3

cos α2sin α

5．若α为第三象限角，则＋的22

1－sinα1－cosα





6

值为( )

A．3 B．－3 C．1

D．－1

二、填空题

3π

6．(2009年淄博模拟)已知α，β∈4，π，sin(α＋β)



ππ312β－α＋＝－，sin＝，则cos＝________. 41345

1

7．已知α，β均为锐角，且sin α－sin β＝－，cos

2

1

α－cos β＝，则cos(α－β)＝______.

3

8.(2009年青岛模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直

角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如右图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．

三、解答题

443

9．已知cosα＋β＝，cosα－β＝－，且π<α＋

552

π

β<2π，<α－β<π，分别求cos 2α和cos 2β的值．

2





7

10．(2009年培正中学月考)设f(x)＝6cos2x－3sin 2x.

(1)求f(x)的最大值及最小正周期； (2)若锐

4

角α满足f(α)＝3－23，求tanα的值．

5

三角函数的性质

一、选择题

1．(2008年广东卷)已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则f(x)是( )

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小π

正周期为的奇函数

2

C．最小正周期为π的偶函数 D．最小π

正周期为的偶函数

2

2．函数f(x)＝sin x－3cos x(x∈[－π，0])的单调递

8

增区间是( )

5π5ππ－，－A.－π，－6 B. 66

ππC.－3，0 D.－6，0 

ππ－，3．当x∈22时，函数f(x)＝sin x＋3cos x的

值域是( )

1

A．[－1, 1] B.－2，1



C．[－2, 2] D．[－1, 2]

m－1ππ4．已知－≤x<，cos x＝，则m的取值范围

63m＋1

是( )

A．m＜－1 B．3C．m＞3 D．35．(2009年全国卷Ⅰ)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图

4π

，0象关于点3中心对称，那么φ的最小值为( ) πππ

A. B. C. 3

πD. 2

二、填空题



6．(2008年广东卷)已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．

7．下面有5个命题：①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.

②终边在y轴上的角的集合

9

kπ

是αα＝2，k∈Z. 

③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有3个公共点．

π2x＋④把函数y＝3sin的图3

π

象向右平移得到y＝3sin 2x的图象．

6

π⑤函数y＝sinx－2在[0，π]



上是减函数．

其中，真命题的编号是______．(写出所有真命

题的编号)

π8．函数y＝sin－2x＋3的递减区间是________；函



数y＝lg cos x的递减区间是________．

三、解答题 9．求函数y＝sin4x＋23sin xcos x－cos 4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．

10．是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋a·cos x

π53＋a－在闭区间0，2上的最大值是1？若存在，求出82

对应的a值；若不存在，试说明理由．

10

三角函数的图象及其变换

一、选择题

π

1．(2010年全国卷Ⅰ)为得到函数y＝cosx＋3的图





象，只需将函数y＝sin x的图象( )

π

A．向左平移个长度单位 B．向右平

6

π

移个长度单位 6

5π

C．向左平移个长度单位 D．向右平

6

5π

移个长度单位 6

2.(2009年厦门模拟)函数y＝

11

sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图所示，则( )

ππππ

A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝

2436πππ5π

C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝

4444

ππ

－，π3．函数y＝sin2x－3在区间的简图是( ) 2





4．若函数



f(x)＝2sin(ωx＋φ)，

πφ

x∈R其中ω>0，<2的最小正周期是π，且f(0)＝3，



则( )

1π1π

A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝

2623

ππ

C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝

63

12

5.如右图所示是函数y＝2sin(ωx

π

|φ|≤ω＞0＋φ)的一段图象，则ω、2



φ的值是( )

10π10π

A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－

116116ππ

C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－

66二、填空题

π

6．将函数y＝f(x)·sin x(x∈R)的图象向右平移个单

4

位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是__________．

π2x－7．函数f(x)＝3sin的图象为C，如下结论中3

正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

11

①图象C关于直线x＝π对称；

122π

，0②图象C关于点对称； 3π5π

③函数f(x)在区间－12，12内是增函数；



π

④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可

3

以得到图象C.

8．设函数f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函

13

π2数y＝sin nx在0，n上的面积为n(n∈N*)，则y＝sin 3x



2π

在0，3上的面积为________. 

三、解答题

9．(2010年广东卷)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π)(x∈R)的最大值是1，其图象经过点π1，M. 23

(1)求f(x)的解析式；

π312

(2)已知α、β∈0，2，且f(α)＝，f(β)＝，求513

f(α－β)的值．

10．(2010年山东卷)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)，(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)

π

图象的两相邻对称轴间的距离为.

2



14

π

(1)求f8的值；





π

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再

6

将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的解析式及其单调递减区间．

正、余弦定理及应用

一、选择题

1．(2009年德州模拟)△ABC的内角A、

B、C的对

15

边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B＝( ) 132

A. B. C. 444

2

D. 3

2．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )

A．85 cm2 B．610 cm2

C．355 cm2 D．20 cm2

3．(2009年成都模拟)设a、b、c分别是△ABC的三



个内角A、B、C所对的边，则a2＝bb＋c是A＝2B的( )

A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必

要而充分条件 D．既不充分又不必要条件

4.如右图所示，在山脚A处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平坦地面上前进600 m后测得仰角为原来的2倍，继续在平坦地

面上前进2003 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )

A．200 m B．300 m C．400 m

D．1003 m

5．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )

15015

A.分钟 B.分钟 C．21.5分钟 77

16

D．2.15分钟

二、填空题

6．(2008年山东卷)已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角B＝________.

7．在△ABC中，已知角A、B、C成等差数列，边a、b、c成等比数列，且边b＝4，则S△ABC＝________.

8．如右图所示，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边取C、D两点观察．测得CD＝3 km，∠ADB＝45°，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠DCB＝45°，(A、B、C、D在同一平面内)，则A、B两点间的距离为________．

三、解答题

9.(2009年银川模拟)如右图所示，在△ABC中，AC

3

＝2，BC＝1，cos C＝.

4



(1)求AB的值； (2)求sin2A＋C

的值．

17

5

10．(2008年全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos B＝－，

13

4

cos C＝.

5

(1)求sin A的值；

33

(2)设△ABC的面积S△ABC＝，求BC的长．

2

角的概念和任意角的三角函数参

1．C 2.D 3.D

xx2

4．解析：∵cos α＝r＝2＝x，∴x＝0(舍去)

x＋54或x＝3(舍去)或x＝－3. 答案：C

3

5．C 6.略 7．－ 8．{1，

4－3}

9．解析：设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为

18

l，周长为C，

12S4S则S＝lr，∴r＝l，∴C＝l＋2r＝l＋l≥4S，

2

4πS

又∵04S

当且仅当l＝l，即l＝2S<2πS时等号成立． ∴当l＝2S时，周长有最小值4S， ll2S2此时，α＝r＝l×＝＝2(rad)．

2S2S10．解析：因为x＝3r，y＝－4r，

所以|OP|＝x2＋y2＝5|r|.

4

(1) 当r>0时，则|OP|＝5r，sin α＝－， cos α

5

34＝， tan α＝－. 53

4

(2) 当r<0时，则|OP|＝－5r，sin α＝， cos α

5

34＝－， tan α＝－. 53

同角三角函数的基本关系及诱导公式参 1．D

19

5

2．解析：α是第四象限角，tan α＝－，则sin α

12

15

＝－＝－. 答案：D 2131＋cotα

43

3．C 4.B 5.D 6.－1 7．－ － 5100

5138．－

35

sin αcos α

9．解析：①当n＝2k(k∈Z)时，原式＝＝－cos α－sin α；

②当n＝2k－1(k∈Z)时，原式＝

－sin α－cos α

＝sin α.

cos α

10．解析：由sin3π＋θ＝lg





，有－sin θ＝lg 10310

1

111－＝－，⇒sin θ＝. 333



cosπ＋θ

π－θcos－1cos θ

θ－2πcos

＋

3π3π

sinθ－2cosθ－π－sin2＋θ









－cos θcos θ

＝ ＋

cos θ－cos θ－1cos θ－cos θ＋cos θ

20

1122＝＋＝2＝sin2θ＝2×9＝cos θ＋11－cos θ1－cosθ18.

两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换参考答

案

1．D 2.A 3.B 4.C

5．解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0， cos α2sin αcos α2sin α则＋＝＋＝－122

1－sinα1－cosα|cos α||sin α|

－2＝－3. 答案：B

5659

6．－ 7.

6572

8．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则

22a＋b＝25

， 1

ab＝62

∴ 两条直角边的长分别为3,4，直角三角形中较4小的锐角为θ，cos θ＝，

5772

cos 2θ＝2cosθ－1＝. 答案：

2525

21

3ππ

9．解析：∵<α＋β<2π，<α－β<π，

22

32

∴sinα＋β＝－1－cosα＋β＝－，

5

32

sinα－β＝1－cosα－β＝，

5



α＋βα－β＋所以cos 2α＝cos





α＋βα－βα＋βα－β＝coscos－sinsin 43437＝×－5－－5×＝－； 5525

α＋βα－β－cos 2β＝cos





α＋βα－βα＋βα－β＝coscos＋sinsin



4343＝×－5＋－5×＝－1. 55

1＋cos 2x10．解析：(1)f(x)＝6－3sin 2x

2

＝3cos 2x－

31

cos 2x－sin 2x＋3

22

3sin 2x＋3＝23

π＝23cos2x＋6＋3.





故f(x)的最大值为23＋3； 最小正周期T＝

2π

＝π. 2

22

π

(2)由f(α)＝3－23，得23cos2α＋6＋3＝3－23，



π故cos2α＋6＝－1.



ππππ

又由0<α<得<2α＋<π＋，

2666π54故2α＋＝π，解得α＝π. 从而tanα＝

6125





π

tan＝3. 3

三角函数的性质参

1． D 解析：f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x＝1－cos 4x12

2cosxsinx＝sin2x＝.

24

2

2

π4π

2．：D 解析：f(x)＝2sinx－3，因x－∈ －3

3





ππ，－3



1ππ

故x－∈ －2 π，－3，则x∈

3





1

－π，0. 6

3．D 4.B

5．答案：A 解析：∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图象

23

4π

关于点3，0中心对称．





4ππ

∴2·＋φ＝kπ＋∴φ＝kπ－

32

13π

(k∈Z)， 6

π由此易得|φ|min＝.故选A.

6

1－cos 2x

6．π 解析：f(x)＝sinx－sin xcos x＝－2

12π

sin 2x，此时可得函数的最小正周期T＝＝π. 22

2

7．答案：①④ 解析：①y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，正确；②错误；

③y＝sin x，y＝x在第一

象限无交点，错误；④正确；⑤错误．

π5π

8.kπ－12，kπ＋12π(k∈Z) 2kπ，2kπ＋2(k∈Z)





9．解析：y＝sin4x＋23sin xcos x－cos4x

＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin

2x

＝3sin 2x－cos 2x π

＝2sin2x－6，





故该函数的最小正周期是π；最小值是－

24

2；

5ππ

，π单调递增区间是0，3，. 6

532

10．解析：y＝1－cosx＋acos x＋a－

82

2aa512

＝－cos x－2＋＋a－. 482

π

当0≤x≤时，0≤cos x≤1.

2

a

若>1时，即a>2，则当cos x＝1时， 2

5320

ymax＝a＋a－＝1⇒a＝<2(舍去)，

8213aa

若0≤≤1，即0≤a≤2，则当cos x＝时，

22a2513

ymax＝＋a－＝1⇒a＝或a＝－4<0(舍去)．

4822a

若<0，即a<0，则当cos x＝0时， 2

5112

ymax＝a－＝1⇒a＝>0(舍去)．

825

3

综合上述知，存在a＝符合题设．

2



三角函数的图象及其变换参

πππ

1．C 解析：∵y＝cosx＋3＝sin2＋x＋3＝







25

5π5π

sinx＋6，∴可由y＝sin x向左平移得到．

6





π3

2．C 3．A 解析：f(π)＝sin2π－3＝－，

2





排除B、D，

πππ2×－f6＝sin＝0，排除C.63



也可由五点法作图验证．

2π

4．D 解析：由T＝ω＝π，∴ω＝2.由f(0)＝3⇒3ππ

2sin φ＝3，∴sin φ＝.∵φ<，∴φ＝.故选D.

223

5．C 6.f(x)＝2cos x

π

7．①②③ 解析：函数f(x)＝3sin2x－3的图象为





C，

ππ①图象C关于直线2x－＝kπ＋对称，当k

32

11

＝1时，图象C关于x＝π对称，①正确；

12kππ

②图象C关于点2＋6，0对称，当k＝1时，



2π

恰好关于点3，0对称，②正确；



π5ππππ

③x∈－12，12时，2x－∈－2，2，∴ 函

3

26

π5π

数f(x)在区间－12，12内是增函数，③正确；



π

④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度

3

2π

可以得y＝3sin2x－3，得不到图象C.④不正确．





所以应填①②③. 48. 3

9．解析：(1)依题意有A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)，

ππ11

将点M3，2代入得sin3＋φ＝，而0<φ<π，

2





π5π

∴＋φ＝π，∴φ＝，故f(x)＝362

π

x＋sin＝cos x； 2



312

(2)依题意有cos α＝，cos β＝，而α、

513

π0，β∈， 2



∴sin α＝

12251－＝，

1313

324

1－＝，sin β＝

55

f(α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin

27

3124556

αsin β＝×＋×＝. 51351365

10．解析：(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝

3π1

2sinωx＋φ－cosωx＋φ＝2sinωx＋φ－6.

22

因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)

恒成立，

ππ

ωx＋φ－因此sin－ωx＋φ－6＝sin. 6

ππφ－φ－即－sin ωxcos＋cos ωxsin＝sin 66

πππφ－φ－φ－ωxcos＋cos ωxsin，整理得sin ωxcos＝666





0.

π

因为ω>0，且x∈R，所以cosφ－6＝0.



ππ

又因为0<φ<π，故φ－＝.

62

πωx＋所以f(x)＝2sin＝2cos ωx. 2

2ππ

由题意得ω＝2·，所以ω＝2.故f(x)＝2cos 2x.

2

π

π因此f8＝2cos＝2.

4

ππ(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到fx－6的

6





28

图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到

xπf4－6的图象．



xxππ－－所以g(x)＝f＝2cos2 6644

xπ－＝2cos. 32

xπ

当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，

232π8π

即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，

33

2π8π4kπ＋，4kπ＋因此g(x)的单调递减区间为

33





(k∈Z)．

正、余弦定理及应用参

1．B 解析：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c＝2a，则b＝2a，

a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23

cos B＝＝＝. 2

2ac4a4

2．B 解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，

此三角形面积最大，面积为610

cm2.

29

3．A 解析：设a、b、c分别是△ABC的三个内角



b＋cA、B、C所对的边，若a2＝b，

则sin2A＝sin B(sin B＋sin C)， 1－cos 2A1－cos 2B

则＝＋sin Bsin C，

221

∴(cos 2B－cos 2A)＝sin Bsin C， 2sin(B＋A)sin(A－B)＝sin Bsin C， 又sin(A＋B)＝sin C，∴ sin(A－B)＝sin B， ∴A－B＝B，A＝2B，

若△ABC中，A＝2B，由上可知，每一步都



可以逆推回去，得到a2＝bb＋c，



b＋c所以a＝b是A＝2B的充要条件．

2



4．B 解析：由条件可得cos(π－4θ)＝20032×2－60021

＝－， 222×2003

33∴sin 4θ＝，∴山峰的高度为2003×

22

＝300(m)．

5．A 解析：t小时后，甲乙两船的距离为

s2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－

4t)cos 120°＝28t2－20t＋100.

30

2055150

∴当t＝＝小时＝×60分钟＝1472×2814

分钟时，甲乙两船的距离最近．

ππ

6． 解析：m⊥n⇒3cos A－sin A＝0⇒A＝，63由正弦定理得，sin Acos B＋sin Bcos A＝sin Csin C，

sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)

＝sin C＝sin2C

ππ

⇒C＝.∴B＝. 26

7．43 解析：由A、B、C成等差数列，得2Bπ

＝A＋C，又A＋B＋C＝π，得B＝，

3

由a、b、c成等比数列，得b2＝

ac，

1

∴ac＝16，∴S△ABC＝acsin B

2

＝43.

8．5 解析：∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，∠CDA＝30°，

∴∠DAC＝30°⇒AC＝DC＝3.

在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝

60°，

31

∴BC

6＋2

， 2

＝

DC·sin 75°

＝

sin 60°

在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－

2AC·BC·cos 75°＝5

⇒AB＝5 km.

9．解析：(1)由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C

＝4＋1－

3

2×2×1×＝2.

4

那么，AB＝2.

3

(2)由cos C＝，且04

7ABBC＝.由正弦定理，＝， 4sin Csin A

BCsin C14

解得sin A＝AB＝. 所以，

8

52

cos A＝. 8

57

由倍角公式sin 2A＝2sin A·cos A＝，

16

92

且cos 2A＝1－2sinA＝，

16

32



故sin2A＋C＝sin 2Acos C＋cos 2Asin C

37

＝.

8

512

10．解析：(1)由cos B＝－，得sin B＝，

131343

由cos C＝，得sin C＝. 55

所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋

33

cos Bsin C＝.

65

33133

(2)由S△ABC＝得×AB×AC×sin A＝，

222

33

由(1)知sin A＝，故AB×AC＝65，

65

AB×sin B20202

又AC＝＝AB，故AB＝

sin C1313

13

65，AB＝.

2

AB×sin A11

所以BC＝＝. sin C2

33