高中数学专题学习：指数函数与对数函数

一、知识梳理

1．指数与对数的概念

ab＝NblogaN（a＞0，a1）

2．指数与对数的性质 指数运算性质

①aaa②(a)arrsrsrs(a0,r、sQ），

rs(a0,r、s Q），

r③(ab)ab(a0,b0,r Q） （注）上述性质对r、sR均适用．

对数运算性质

①logaMN＝logaMlogaN ②logarMlogaMlogaN Nn③logaMnlogaM（M、N＞0, a＞0, a1）

推广：logamMnnlogaM mlogbN④换底公式：logaN（a，b＞0，a1，b1）

logba3．指数函数、对数函数的概念

形如y＝ax（a＞0且a≠1，x＞0）叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．

形如y＝logax（a＞0且a≠1，x＞0）的函数，叫做对数函数（logarithmic function）．

（1） 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别； （2） 注意底数的取值范围．

4．指数函数与底相同的对数函数互为反函数． 5．指数函数、对数函数的图像和性质（略）

二、方法归纳

1

1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；

3．比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． 4．指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径．

三、典型例题精讲

【例1】比较下列各数的大小

11log323320.35,5,lg25,5,lg15,23

解析：∵log20.35＜0 ，其他各数都大于零，故log20.35最小；

又∵lg10＝1，lg100＝2， ∴ 1＜lg15＜lg25＜2＜23＝8，

11对于32与3355 ，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，

11考虑函数y＝3x 为减函数，∴32＜33555．

11于是有log3233320.3555lg15lg252． 又例:比较下列各组数的大小

（1）60.7，0.76，log0.76； （2）log1.10.7，log1.20.7 解析：（1）∵60.7＞1， 0＜0.76＜1，log0.76＜0 ， ∴log.70.76＜0.76＜60． （2）∵log11.10.7log，log1.20.710.71.1log0.71.2．

又函数y＝log0.7x为减函数，∴ 0＞log0.71.1＞log0.71.2． ∴log1.10.7＜log1.20.7．

再例：当０＜a＜b＜1，下列不等式正确的有（ ） 1A．1ab1ab B．1aa1bb

2

C．1a1a D．1a1b

babb2解析：∵0＜1b＜1a＜1，

又函数y＝(1b) 为减函数，y＝xa在（0,1）上为增函数， ∴1b＜1b＜1a，故选D．

baax【技巧提示】 利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，同时充分利用0和1为桥梁，能使比较大小的问题得到解决．

【例2】已知函数y＝a2x2ax1 （a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值为14，求a的值．解析：∵y＝(ax1)22＝(u1)22，又 1x1， 当a＞1时，u[1,a]，u1，(u1)2a2为u的增函数． ∴函数的最大值为14a22a1a3或a5(舍) 当0＜a＜1时，u[a,1]，u1，(u1)2a2为u的增函数．

∴函数的最大值为1412a21a1a13或a15(舍）

综上得，a13或a3． 【技巧提示】指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径

又例：已知f(x)＝log24(2x3x)．求 （1）f(x)的单调区间；

（2）求函数f(x)的最大值及对应的x的值．

解析：（1）由2x3x20，得f(x)的定义域为(1,3)， 记u＝2x3x2＝－(x－1)2＋4，对称轴为x＝1．

∴f(x)的增区间为（－1，1】，减为区间【1，3）．

（2）∵u＝－(x－1)2＋4≤4，∴当x＝1 时有最大值y＝1．

2x1【例3】函数y113的定义域是（ ）

3

A．[,) B．(,] C．(,) D．(,1]

12121解析：由 132x110，得32x111即 3，

2x111 ()0，由()x 为减函数，∴2x10．

33故所求定义域为x1．选A． 2【技巧提示】这里充分利用指数函数的单调性，通过解简单的指数不等式得到所求定义域．同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解简单的对数不等式得到某些问题的解．

又例：若loga21，则a的取值范围是 ． 3221，即 logalogaa， 332

，∴a＞１． 3

22

，∴０＜a＜．

33

解析：由 loga当a＞１时，logax是增函数，于是 a

当０＜a＜１时，logax是减函数，于是 a

综上可知a的取值范围是a＞１或０＜a＜再例：解不等式 log1(a22x2． 3． 2(ab)xb2x1)0（a＞0，b＞0）

解析：由log1(a22x2(ab)xb2x1)0，得

2xa2xa2(ab)b＞0，即bx2xxxa210． bxaa∴12或12（舍去）． bb当a＞b时, xloga(1b2)；

当a＜b时，xloga(12)；

b当a＝b时，不等式无解．

【例4】函数ylog1(x2x)的单调递增区间是 ．

22解析：由x22x0，得0x2，

4

而函数ux2x1(x1)，

即u在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数． 又ylog1u是减函数，

222∴ylog1(x2x)单调递增区间是(1,2)．

22【技巧提示】对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内研究问题；二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论．

又例：求函数y12x23x9的单调递减区间．

解析：显然y12x23x9的定义域是R．

设ux23x9，则u(x)32227． 432∴ux23x9 的单调递增区间为(,)

x23x9u1有y2∴y1＝是u的减函数， 2的单调递减区间为(,)．

12x23x932再例：已知a＞0且a≠1,函数f(x)logax在定义域[2,3]上的最大值比最小值大1 ,则a的值为 .

解析：由题意，有loga3loga21， 即 loga3231，∴a＝,．

322ax1

【例5】当a＞1时，证明函数f(x)＝x是奇函数．

a1

解析：由ax－1≠0得x≠0．

故函数定义域｛x｜x≠0｝是关于原点对称的点集．

ax1(ax1)ax1axax1又f(x)＝x， xxxxa1(a1)a1aa1

5

ax1

f(x)－x，

a1

∴f(x)＝－f(x)．

ax1

所以函数f(x)＝x是奇函数．

a1

【技巧提示】对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定f(x)与f(x)关系时，也可采用如下等价证法．

f(x)f(x)f(x)f(x)1（f(x)≠０）， f(x)f(x)f(x)f(x)1（f(x)≠０）． 如本题可另证如下

f(x)ax1ax1axax∵f(x)ax1ax1axax1， 即f(x)＝－f(x)，∴所以函数f(x)＝ax1

ax1

是奇函数．

又例：设a是实数，f(x)＝a－

22x1(x∈R) (1)试证明对于任意a，f(x)为增函数； (2)试确定a值，使f(x)为奇函数． 解析：(1)设x1，x2∈R，且x1＜x2， 则f(x1)f(x2)＝（a222x11)(a2x21) 222(2x12x2)2x212x11(2x11)(2x21) 由于指数函数y2x在R上是增函数，且x1＜x2， 所以2x1＜2x2，即2x1－2x2＜0， 又由2x＞0得2x1＋1＞0，2x2＋1＞0， 所以f(x1)f(x2)＜0．

6

即f(x1)f(x2)．

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数. (2)若f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(x)， 即a22(a)， xx212122x22(2x1)变形得：2ax， xxx(21)22121解得a＝1．

所以当a＝1时，f(x)为奇函数．

【例6】已知0＜x＜1，a＞0，a1，比较loga(1x)和loga(1x)的大小．

解析：方法一当a＞1时， loga(1x)－loga(1x)＝－loga(1x)－loga(1x)

2＝－loga(1x)＞0，∴loga(1x)＞loga(1x)．

当0＜a＜1时，

loga(1x)－loga(1x)＝loga(1x)+loga(1x)

2＝loga(1x)＞0，

∴loga(1x)＞loga(1x)．

综上所述，在题设条件下，总有loga(1x)＞loga(1x)． 方法二 ∵

loga(1x)loga(1x)＝log(1x)(1x)＝log(1x)(1x)＝log(1x)1 1x＝log(1x)1x＞log(1x)(1x)＝1． 21x∴loga(1x)＞loga(1x)．

【技巧提示】比较大小通常采取作差－变形－判定符号．如果比较两个正数的大小时，亦可采取作商－变形－与“1”比较的办法．

7

又例：解不等式log8(x3x3)log2(x1)

x3x30x10解析：原不等式可化为 ， 即等价于2， x103x2x20x3x3(x1)3x11717，解得：1x即17， x333所以原不等式的解集为｛x︱1x17｝． 3【例7】（1）已知log23a，log37b，用a，b表示log4256；

（2）已知logxa2,logxb3,logxc6,求logabcx的值． 解析 （1）log4256＝

lg56lg73lg2, ＝

lg42lg7lg2lg3 又 ∵

lg3lg7lg3a,blg7blg3,lg2, lg2lg3ablg33lg33baaab3． ∴log4256＝lg31aba1blg3lg3b1aa

（2）∵a＝x2，b＝x,cx，∴logabcxlogx11x361． 11【技巧提示】掌握对数与指数的运算性质，是本部分的基本要求．尽管近几年高考中很少直接考查对数与指数的运算，但由于指数函数与对数函数几乎是必考内容，不能熟练的进行对数与指数的运算，会影响解题技巧的把握，至少会影响解题速度．

又例：判断下列函数的奇偶性

2x1

（1）f(x)＝x；

21

（2）g(x)＝

12－ln(xx1)． x 8

解析:（1）f(x)2x1(2x1)2x12x2x12x1(2x1)2x12x2x1f(x)，

∴f(x)为奇函数． （2）g(x)g(x)1xln(xx21)＋1x－ln(xx21)

＝－ln[(xx21)(xx21)]

＝－ln1＝0． ∴g(x)为奇函数．

四、课后训练

1．已知log17[log3(log2x)]0，那么x2等于（ ）

A．

13 B．123 C．1122 D．33 2．函数ylg21x1的图像关于（ ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线yx对称 3．函数ylog(2x1)3x2的定义域是（ ） A．2,11, B．132,11,

9

C．23, D．12, 4．函数ylog1(x26x17)的值域是（ ）

2A．R B．8, C．,3 D．3, 5．下列函数中，在0,2上为增函数的是（ ） A．ylog1(x1) B．ylog2x21

2C．ylog12x D．ylog21(x4x5) 26．已知g(x)loga|x1|(a0,a1)在10，上有g(x)0，则f(x)ax1是（A．在,0上是增加的 B．在,0上是减少的 C．在,1上是增加的 D．在,1上是减少的 7．函数f(x)(a21)x是减函数，则实数a的取值范围是 ． 8．计算lg25lg2lg504log23 ．

9．已知f(x)log1mxax1是奇函数 （其中a0,a1)， （1）求m的值；

（2）讨论f(x)的单调性； （3）求f(x)的反函数f1(x)；

（4）当f(x)定义域区间为(1,a2)时，f(x)的值域为(1,)，求a的值．

10．对于函数f(x)log21(x2ax3)，解答下述问题：

2

10

）（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围； （3）若函数在[1,)内有意义，求实数a的取值范围； （4）若函数的定义域为(,1)(3,)，求实数a的值； （5）若函数的值域为(,1]，求实数a的值； （6）若函数在(,1]内为增函数，求实数a的取值范围.

11