抛物线经典性质总结

A'A(X1,Y1)C'C(X3,Y3)aOB'BF(X2,Y2)

基础回顾

1. 以AB为直径的圆与准线L相切；

p22. x1x2;

43. y1y2p2;

4. ; 5. AF'B'90;

6. ABx1x2p2(x37.

p2p); 2sin2112; AFBFP'8. A、O、B三点共线； 9. B、O、A'三点共线；

P210. SAOB；

2sinS2AOBP11. ； ()3（定值）

AB2PP12. AF；BF；

1cos1cos'13. BC'垂直平分BF；

'14. AC'垂直平分AF； 15. C'FAB；

16. AB2P； 17. CC'18. KAB=11AB(AA'BB')； 22P； y3y19. tan=2p;

x2-220. A'B'4AFBF;

21A'B'. 222. 切线方程 y0ymx0x

21. C'F一)焦点弦与切线

1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交

点在准线上

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、AB是抛物线y2px（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1l，BB1l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有

结论6PA⊥PB． 结论7PF⊥AB． 结论8 M平分PQ．

结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．

结论10FAFBPF 结论11SPABmin22p2

二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①xpyy2y1y2，yp1

22p结论13 PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．

结论14 PFAPFB 结论15 点M平分PQ 结论16 FAFBPF

2性质1：已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

y y B1 B P1 Q O x O P x B

证明：由图2可知，BF=BB1，AF=AA1，2PP1=AA1+BB1。所以2PP1=AB。

其中图1是图2的一个特例，即当焦点弦是通径时，图2即变成了图1。这就引导我们思考在图2中的两条直线P1A、P1B是否也是抛物线的两条切线，这样我们得出了抛物线的一个性质：

性质2：已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则以A、B为切点的两条切线的交点P落在其准线上。

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）

2

点A在抛物线上：y1=2px1 （1） 点B在抛物线上：y22=2px2 （2） 过点A的切线方程：yy1=p（x+x1） （3） 过点B的切线方程：yy2=p（x+x2） （4）

y1y2直线AB经过点F： （5） ppx1x222将（1）式与（2）式分别代入（3）、（4）、（5）式，得到

y12yy1=p（x+） （3′）

2p2y2yy2=p（x+） （4′）

2p

y1y2=-p2 （5′）

t2因为点P（x，y）的坐标满足（3′）、（4′），所以y1、y2可视为是方程yt=p（x+）

2pp的两根，因此由韦达定理可得y1y2=-p2=2px。即x=。

2所以点P的轨迹为抛物线的准线。

从上面的证明中我们可以看出，当A、B两点的坐标满足某种条件时，则以A、B为切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。因此，我们更进一步地得出了更好的性质：

性质3：已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的对称轴（即x轴）上一定点P（m，0）（m>0）的弦，则以A、B为切点的两条切线的交点Q的轨迹是一条直线x=-m。

对于上述性质的得出，我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法，但如果换一个角度看这个问题，我们也可以得出另一种形式的性质：

性质3′：动点P在直线x=-m上运动，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，得到弦AB，那么弦AB过定点（m，0）。

根据上面的讨论，我们得到了关于抛物线的一个性质，特别是对于抛物线的切线以及抛物线中动弦中的定值问题的结合，在高考题的命题中也常有涉及。

例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C（0，c）（c>0）作直线与抛物线y=x2

相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线y+c=0交于P、Q。

（1）若OAOB=2，求c的值； （2）若P为线段AB的中点， y 求证：AQ为抛物线的切线:

B （3）试问（2）的逆命题是否成立。 P 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，c） A O x 点A在抛物线上：y1=x12 （1）

Q 点B在抛物线上：y2=x22 （2）

直线AB经过点C：

y1cy2cx1x2 （3）

将（1）式与（2）式分别代入（3）式，得到x1x2=-c，y1y2=c2

由OAOB= x1x2+y1y2=2，得c=2。

（2）P为线段AB的中点，得点Q的坐标为（由AQ的斜率k1=

y1c2(x12x1x2)2x1，过点x1x2x1x2x12x1x22，-c）

A的切线的斜率为k2=2x1。所

以直线AQ是抛物线的切线。

（3）过点A的切线方程为y-y1=2 x1（x-x1）与直线y=-c相交于点Q， 将y=-c代入y-y1=2 x1（x-x1），可得-c-x12=2 x1（x-x1）即x1x2-x12=2 x1（x-x1） 所以点Q的横坐标为

x1x22，即点P为线段AB的中点。（2）的逆命题成立。

该题的命题思路就是借助于性质3而编制的一道中等难度的题。其中主要运用

了切线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命制的题。