抛物线经典性质总结30条
抛物线焦点弦性质总结30条
基础回顾
1. 以AB为直径的圆与准线L相切; 2. W上；
4
3∙ y∣∙^2 = -p ；
14∙ AACB = W ； 5. SFBy 90 ； 6. I^I = X+x÷p = 2(x + ⅜=
l
2
3
22f 2 Sln α
7 _LiI・
=
PFI IBFI P，
8. A、0、B三点共线； 10.
2
9. B、0、A三点共线；
P2
SbAoB = ---- ；
2sinα
10.
3
4
2.
SV
2
AOB
AB
3. AF ''
1 cos （定值）； P （2）
P
3
BF 1 cos '
P； 4. BC 垂直平分 BF；
5. AC 垂直平分 AF； 6. CF AB
7. AB 2P ；
1 8. CC' 2 P
'
'
；
1
9. 10 11 12
KAB= 3 AB ( AA' BB')tan
y2
y
；
; p 22
x-
4 AF BF ;
1A'B' A'B' . C'F 2
13. 切线方程 yy m x
0
0
x
质深究 ）焦点弦与切线 1、
性 过抛物线焦点弦的两端点作
抛物线的切线，两切线交点位置 有何特殊之处？
结论 1：交点在准线上 先猜后证：当弦 AB x 轴时，则点 P的坐标为
p2
,0
在准线上．
证明 : 从略
5
结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论 3 弦 AB不过焦点即切线交点 P 不在准线上 时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
2、上述命题的逆命题是否成立？
结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切 ，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切 ，则过两切点 AB的弦必过焦点．
结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线， 过两切 的弦最短时，即为通径．
3、AB是抛物线 y2px （ p> 0）焦点弦， Q 是
2
的中点， l 是抛物线的准线， AA
AB
1
，过 A， B 的切线相交于 P， 与抛物线交于点 M．则有
结论 6PA⊥ PB． 结论 7PF⊥ AB． 结论 8 M平分 PQ．
BB1 l
结论 9 PA平分∠ A1AB，PB平分∠ B1BA．
6
结论 10FA FB
PF
2
7
结论 11
S
PAB min
二） 非焦点弦与切线
思考：当弦 AB不过焦点，切线交于 P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论 12
x
yy
p
12 ，
2p
yp
y1 y2
2
结论 13 PA平分∠ A1AB，同理 PB平分∠ B1BA． 结论 14 PFA PFB 点 M结论 15 平分 PQ FA FB 结论 16 PF
相关考题
1、已知抛物线 x4y的焦点为 F，A，B 是抛物线
2
上 的两动点，且 AF FB（ >0），过 A，B 两点分别作 抛物线的切线，设其交点为 M，
1）证明： FM AB 的值；
（ 2）设 ABM 的面积为 S，写出 S f 的表达式，并 求 S 的最小值．
2、已知抛物线 C 的方程为 x4 y ，焦点为 F，准
2
8
线 为 l ，直线 m交抛物线于两点 A， B；
（1）过点 A 的抛物线 C的切线与 y 轴交于点 D， 求证： AF DF ；
（2）若直线 m过焦点 F，分别过点 A，B 的两条切 线相交于点 M，求证：AM⊥BM，且点 M在直线 l 上． 3、对每个正整数 n， A
2
n n
x,yn
是抛物
线 x4y上的点， 过焦点 F的直线 FAn交抛物线
于另一点 B
n n
s,tn
，（1） 试证： x
n
n
n n
s4
（n≥1）
（2）取 x2，并 Cn为抛物线上分别
以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点，求证： FC
FC2
FCn 2 2 1（
n
n 1
1
n≥ 1）
抛物线的一个优美性质
几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想 得到有关这个几何图形的美妙的性质， 作为几何中的圆锥曲线的研究， 正是这方面的一 个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当 重要的作用。因此，在研究圆锥曲线的过程中，有意识地得到一些有关圆锥曲线的几何 性质并且加以归纳， 并在教学中与学生一起进行一些可行的研究，一方面，作为高考命 题也会往这个方向上尝试， 另一方面， 作为新课程的一个理念，让学生进行一些学有余 力的研究，提高学生学习数学的兴趣， 提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。本人 从一个在教学中学生遇到的习题结合该知识点有关的一些性质， 并结合高考的热点题对 这一性质作了一些研究。
2
题：抛物线 y=2px（p>0）的准线与 x 轴交于 Q点，过点 Q作斜率为 k 的直线 L。则 “直线 L 与抛物线有且只有一个交点”是“ k=± 1”的 条件。
本题设计意图是考查学生对于直线与抛物线有且只有一个交点的问题的了解，要求
9
的两根，因此由韦达定理可得 y1y2=-p =2px
所以点 P 的轨迹为抛物线的准线。
从上面的证明中我们可以看出，当 A、B 两点的坐标满足某种条件时，则以 A、B为学生掌握直线与抛物线相切时是只有一个交点，还有当直线与抛物线的对称轴平行时， 直线与抛物线也只有一个交点， 因此，经过简单的验证可知道上题的答案是必要不充分 条件。
结合抛物线的下面的性质及上题的图形，我们发现了一些共同点
2
性质 1：已知 AB是经过抛物线 y=2px（p>0）的焦点 F 的弦，则以 AB为直径的圆与 抛物线的准线相切。
y
y
2
B
P
Q
O
F
1 A
O
F A
x
A
图1 图 2
证明：由图 2 可知， BF=BB1，AF=AA1，2PP1=AA1+BB1。所以 2PP1=AB。 其中图 1是图 2 的一个特例，即当焦点弦是通径时，图 我们思考在图 2 中的两条直线 2 即变成了图 1。这就引导 P1A、P1B是否也是抛物线的两条切线， 这样我们得出了抛 物线的一个性质： 性质 2：已知
AB 是经过抛物线 y=2px（ p>0）的焦点
2
弦，则以 A、B 为切点的两条切线的交点 P落在其准线
上。 证明：设 A（x1，y1），B（x2， y2），P（x， y） 点 A 在抛
2物线上： 点 B 在抛物线上： 过点 A 的切线方程： 过点 B 的切线y1=2px1 （122 方程： ） ）
y2 =2px2
yy1=px+x1) yy2=px+x2)
(
y
34
直线 AB经过点
1
y
2
p
x1 2
p1
2y
1
x2 2
2
（5） ）
式分别代入将( 1)式与( 2) 1 （4、式，得到 （ 3）、 ） （5 yy 1=p(x+ ) 2
3′) yy2=p(x+ y2 4′) 2p
2
）
2
y1y2=-p
2p
2
tx+ ) 因为点 P（ x，y）的坐标满足 （3′）、（），所以4′ y1、y2 可视为是方程 yt=p（
2
p
即 x=
。
p
2
10
切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。 因此，我们更进一步地得出了更好 的性质：
2
性质 3：已知 AB是经过抛物线 y=2px（p>0）的对称轴（即 x 轴）上一定点 P（m， 0）（m>0）的弦，则以 A、B 为切点的两条切线的交点 Q的轨迹是一条直线 x=-m。证明： 略。
对于上述性质的得出，我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法，但如 果换一个角度看这个问题，我们也可以得出另一种形式的性质：
性质 3′：动点 P在直线 x=-m 上运动，过点 P作抛物线的两条切线 PA、PB，切切点 分别为 A、B，连结 AB，得到弦 AB，那么弦 AB过定点（ m，0）。
证明：略 根据上面的讨论，我们得到了关于抛物线的一个性质，特别是对于抛物线的切线以 及抛物线中动弦中的定值问题的结合，在高考题的命题中也常有涉及
例 1：（2007 江苏高考第 19 题）如图，过 C（0，c）（c>0）作直线与抛物线 2
y=x相 交于 A、B两点，一条垂直于 x 轴的直线，
分别与线段 AB和直线 y+c=0 交于 P、
Q。
若 OA OB =2，求 c 的值； 1）
y
若 P 为线段 AB的中点， 2）
求证： AQ为抛物线的切线；
（3） 解：（ A（x1， 试问（ 12）设）的逆命题是否成立。
Q 点 A 在抛物线上： y1=x1 直C（0，c） 点 B y1），B（x2，y2）， 2
线 AB经过点 C： x1 将 （1）在抛物线上： y2 c x2 y2=x2 ( 2) （ 1）式与（ 2）式分别代入 2
（33）式，得到 ）x1 x2=-c ，y1y2=c
2
B
y1 c
由 OA OB = x 1x2+y1y2=2，得 c=2。
2）P 为线段 AB的中点，得点 Q的坐标为（ 由 AQ的斜率 k1=
2
y1 c
x
1 x2
2
， -c ）
x
1 2 x1
x
2
2(x1
x1 x2
2x1 ，过点 A的切线的斜率为 k2=2x1。所以直
线 AQ是抛物线的切线。
（ 3）过点 A的切线方程y-y 1=2 x 1（ x-x 1）与直线 y=-c 相交于点 Q， 为 将 y=-c 代入 y-y 1=2 x 1（x-x 1），可得-c-x 1=2 x 1（x-x 1）即 x1x2-x 1=2 x 1（x-x 1） 所以点 Qx1 x2 的横坐标为
2
x1 x2
22
，即点
P 为线段 AB的中点。（2）的逆命题
成立。
该题的命题思路就是借助于性质 3 而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切 线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。 下题也是用类似的方法 制的题。
2
例 2：（ 2006全国高考卷Ⅱ 21 题）抛物线 x=4y的焦点 F， A、B是抛物点， 线上两动
且 AF FB ，过 A、 B两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。
11
1） 证明： FM AB 为定值；
12
（2） 设△ ABM的面积为 S，写出 S=f（λ）的表达式，并求出 S的最小值 解：（1）设 A（x1， y1）， B（ x2，y2）， F（0，1）
22
点 A在抛物线上： 4y1=x1 （1）点 B 在抛物线上： 4y2=x2 （2）
直线 AB经过点 F：
y1 1 y2 1
（3）
x2
x1
得到过点 A的切线方程： 2（y-y 1）=x1（x-x 1） （4） 过点 B 的切线方程： 2（ y-y 2）=x2（x-x 2） （ 5） 由（ 1）（ 2）（3）得 x1x2=-4 ，y1y2=1。 由（ 4）、（5）得 M坐标为（ x1
x22
，-1）。
2 2
x1 x2
， yx x
所以 FM AB =（ ，-2 ）·（x2- x
12- y 1）= x2 x1
2（y2 y1） 0 （ 2） AF FB ，即（ 0-x 1，1-y 1）=λ（x2，y2-1 ） 所以 -x 1=λ xx1x2=-4 ，得λ x2x2=4，
即 x2= 4
，则 x1= 4 ，y1=λ， y2= 1
。由 FM AB =0，
所以 S= f （λ） =1
AB FM 1
x1 x2 2
y1 y2
2 x1 x2
4
1
4。当λ =1时，△ ABM的面积 S取得最
小值
13
2，再由
。
