2004年高考.重庆卷.文科数学试题及答案

2004年普通高等学校招生重庆卷文史类数学试题

本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟.

第Ⅰ部分（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那幺n次重复试验中恰好发

kk生k次的概率Pn(k)CnP(1P)nk

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.函数ylog1(3x2)的定义域是：（ ）

2A [1,) B (2 C [2 D (2 3,1]3,1]3,)

x21f(2)2. 函数f(x)2, 则 ( )

1x1f()233A 1 B -1 C D 

55 3.圆x2y22x4y30的圆心到直线xy1的距离为：（

）

A 2 B 4．不等式x2 C 1 D 22 22的解集是：（ ） x1

A (1,0)(1,) B (,1)(0,1) C (1,0)(0,1) D (,1)(1,)

5．sin163sin223sin253sin313 ( )

1133 A  B C  D

2222 6．若向量a与b的夹角为60，|b|4,(a2b).(a3b)72,则向量a的模为：

（ ）

A 2 B 4 C 6 D 12

7．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。那

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么p是q成立的：（ ）

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

8．不同直线m,n和不同平面,，给出下列命题：

//m//n① m// ② n//

mm//m③ ④ m,n异面m

nm//其中假命题有：（ ）

A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

9． 若数列{an}是等差数列，首项a10,a2003a20040,a2003.a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是：（ ）

A 4005 B 4006 C 4007 D 4008

x2y210．已知双曲线221,(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2,点P在双

ab曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )

457A B C 2 D

33311．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为：（ ）

211737A B C D

40401012012． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是：（ ） A 258 B 234 C 222 D 210

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第Ⅱ部分（非选择题 共90分）

题 号 分 数 二 三 17 18 19 20 21 22 总 分

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13. 若在(1ax)5的展开式中x3的系数为80，则a_______

5314．已知2,(x0,y0),则xy的最小值是____________

xy15．已知曲线y134x，则过点P(2,4)的切线方程是______________ 3316．在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。又知地球的体积大约是火

星的8倍，则火星的大圆周长约______________万里。

三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17．（本小题满分12分） 求函数ysin4x23sinxcosxcos4x的取小正周期和取小值；并写出

该函数在[0,]上的单调递增区间。

18．（本小题满分12分）

设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。 （1） 三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人

命中目标的概率；

（2） 若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率。 P

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

EPA底面ABCD,AEPD,EF//CD,AMEF

FAD(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；

(2) 若PA3AB,求直线AC与平面EAM所成角MB的正弦值。 C E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第3页 （共9页）

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20．（本小题满分12分）

某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p1（元/吨）之间的关系式为：p24200x2,且生产x吨的成本为

5R50000200x（元）。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）

21．（本小题满分12分）

设p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y22px交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。

22．（本小题满分14分）

551 设数列an满足:a12,a2,an2an1an,(n1,2,.......)

333yBHOQ(2p,0)xA(1) 令bnan1an,(n1,2......)求数列{bn}的通项公式； (2) 求数列{nan}的前n项和Sn。

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2004年普通高等学校招生重庆卷文史类数学试题

参

一、选择题：每小题5分，共60分.

1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C 二、填空题：每小题4分，共16分.

13．－2 14．6 15．y4x40 16．4 三、解答题：共74分. 17．（本小题12分）

解:ysin4x23sinxcosxcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)3sin2x

3sin2xcos2x2sin(2x).6

 故该函数的最小正周期是；最小值是－2； 单增区间是[0,],[,]

18．（本小题12分） 解：（I）设AK表示“第k人命中目标”，k=1，2，3.

这里，A1，A2，A3，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5. 从而，至少有一人命中目标的概率为

1P(A1A2A3)1P(A2)P(A2)P(A3)10.30.40.50.94 恰有两人命中目标的概率为

1356P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)

0.70.60.50.70.40.50.30.60.50.44 答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44

（II）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为

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2P3(2)C3(0.7)2(0.3)0.441.

王 生

答：他恰好命中两次的概率为0.441. 19．（本小题12分）

（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE， 又AM∥CD∥EF，且AM=EF， 证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD， 而MF∥AE，得MF⊥面PCD， 故MF⊥PC，

因此MF是AB与PC的公垂线.

（II）解：因由（I）知AE⊥AB，又AD⊥AB，

故∠EAD是二面角E—AB—D的平面角. 设AB=a，则PA=3a. 因Rt△ADE~Rt△PDA 故∠EAD=∠APD

因此sinEADsinAPD20．（本小题12分）

解：每月生产x吨时的利润为f(x)(24200

ADPDaa2(3a)210. 1012x)x(50000200x) 51x324000x50000(x0)5

3由f(x)x2240000解得x1200,x2200(舍去).5 因f(x)在[0,)内只有一个点x200使f(x)0，故它就是最大值点，且最

大值为：f(200)(200)24000200500003150000(元)

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 21．（本小题12分）

153ayx2,解法一：设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足2

y2x.消去x得 y2ay40 则 2

yAyB2a,

yAyB4. E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第6页 （共9页）

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xAxB4a(yAyB)42a2, (yAyB)24xAxB4因此OAOBxAxByAyB0,即OAOB. 故O必在圆H的圆周上.

又由题意圆心H（xH,yH）是AB的中点，故

xAxB2x2a,H2 yyByAa.H2由前已证，OH应是圆H的半径，且|OH|22xHyHa45a24.

从而当a=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小. 解法二：

ayx2,设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足2

y2x.2y2pky40,分别消去x，y得2 2x2(a2)x40.

故得A、B所在圆的方程xy2(a2)x2ay0. 明显地，O（0，0）满足上面方程

故A、B、O三点均在上面方程的表示的圆上. 又知A、B中点H的坐标为(222xAxByAyB,)(2a2,a), 22

故 |OH|(2a2)2a2

222222而前面圆的方程可表示为[x(2a)](ya)(2a)a 故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）. 又R|OH|a5a4，

故当a=0时，R2最小，从而圆的面积最小， 解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上

22又直径|AB|=(xAxB)(yAyB)

2242 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第7页 （共9页）

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2222xAxByAyB22xAxB2xA2xB

王 生

2xAxB4xAxB4.

上式当xAxB时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.

此时a=0.

22．（本小题14分）

解：（I）因bn1an2an1

52an1anan1332 (an1an)

32bn3

故{bn}是公比为

22的等比数列，且b1a2a1,故 33(n1,2,)

23n bn()

23n（II）由bnan1an()得

an1a1(an1an)(anan1)(a2a1)

22222()n()n1()22[1()n] 33333

注意到a11,可得

2nan3n1(n1,2,)

3

n2n1记数列{n1}的前n项和为Tn，则

322n()n1,33

22222nTn2()n()3333Tn12 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第8页 （共9页）

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两式相减得12222Tn1()2()n1n()n 33333223[1()n]n()n,332n2n(3n)2n故Tn9[1()]3n()9333n1从而Sna12a2nan3(12n)2Tn3(32(n1)n)2n1n3n118

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