第34卷 第7期Vol.34 成都师范学院学报
JOURNALOFCHENGDUNORMALUNIVERSITY2018年7月
Jul.2018
一类带粘性弹性阻尼的波方程解的整体存在性
王成强
*()成都师范学院数学学院,成都 611130
摘 要:本文研究一类具有粘性弹性阻尼的拟线性波方程解的整体存在性。在适当条件下,我们先用Galer-
建立先验估计,我们在新得到的局部性结果kin方法证明所考虑问题解的局部存在性。通过构造Launov泛函、yp的基础之上还证明了所考虑问题解的整体存在性。
:/doi10.3969i.ssn.2095-52.2018.07.101j
关键词:拟线性波方程;粘性弹性阻尼;整体存在性;Galerkin方法;Launov泛函yp()中图分类号:O175.8 文献标志码:A 文章编号:2095-52201807-0101-07
1引言
本文考察下述初边值问题:
其中,是未知函数,是
维Euclidean空间1RN中的有界非空开集,是
的边界(即
都是常数,
)且二阶光滑,
是1RN上的Lalace微分算子,称为relaxation函数,p
是初值。本文总假设
满足下述条件:
()是定义在H1
上取非负值的单调递减的绝对连续函数,且。
()H2()H3偏微分方程
;当
且
时,且
。
;当时,。
具有深刻的物理背景,特别地,用以说明波在媒介中的传播速度与媒介自身
*收稿日期:2018-02-20
()四川省教育厅项目“ 基金项目:Kortewe-deVries方程的非线性边界反馈锁定”18ZB0098g,王成强(男,四川广安人,讲师,博士,研究方向:数学控制论、数学教育。 作者简介:1985—)
101
成都师范学院学报 2018年7月
,的“振动”快慢相关(Boltzmann原理)
1-2]
。用以刻画传播媒介中的记忆性质[
3]
近二十年,有不少人对带有粘性弹性阻尼的波方程进行了深入的研究。文献[研究了初边值问题:
]3
)这是带粘性弹性阻尼波方程最简单的情形。文献[证明了初边值问题(能量1.2
的一般衰减估计:
,
其中,常数
与
相关,函数
111t)·,)·,)(),,,2(2(n)E(t=‖u(t‖2+(1-∫τ)dτ)‖∇u(t‖2+(u)t∀t∈[0+∞)tLΩ)0LΩ;Rg(g◇∇2222
[;),这里及下文总约定:对Ψ(t)∈Ll0,+∞)L2(Ω;RM)oc(
是用以刻画relaxation函数
衰减特性的辅助函数,
]4]3]5
文献[推广了文献[中的结果,文献[研究了带有粘性弹性阻尼Euler-Bernoulli板方程能量的一般6]
衰减估计。事实上,带粘性弹性波方程能量的一般衰减估计的研究近二十年取得了巨大成就。文献[研究
t((·,·,。t)=∫t-τ)‖Ψ(t)-Ψ(τ)‖2dτ,∀t∈[0,+∞)0L2(Ω;RM)g◇Ψ)g(
()13.
了下述初边值问题:
其中,relaxation函数体存在;当
),满足(H16]
是常数。文献[证明:当
)时,初边值问题(解整1.4
1112t2ρ+)(·,)(()(·,)(()()(;)E(t=‖∂ut‖+1-∫τdτ‖∇ut‖+u)ttLΩ0LΩRgg◇∇
222ρ+1
·,),,,+‖∇∂u(t‖2∀t∈[0+∞)tL(Ω;R)
2
2ρ+
2
)时,初边值问题(的能量1.4
指数衰减,其中,按下述方式定义:
N2
N]7-10
。究还非常多有意思的结果[
)式中的g◇∇定义。除了这些结果,带粘性弹性阻尼波方程能量的一般衰减估计的研u按方式(1.3
11]
的研究史。这方面的早期结果可见文献[及其所引文献。波方程解的爆破问题的研究高潮出现在2000年[2]13]
。文献[左右,其中的代表人物有T给出了抽象发展方程解的爆破准则。关ODOROVA、STRAUSS等114-17]16]
于波方程解爆破问题研究方面更多的结果可见文献[及其所引文献。特别地,文献[研究了初边值问
(同一般衰减估计一样,带或者不带粘性弹性阻尼)波方程解的爆破问题(拥有“悠久”blowuroblem)pp题:102
第3总第3一类带粘性弹性阻尼的波方程解的整体存在性4卷(05期) 王成强:
]16]16
)。在一定条件下,)满足(文献[给出了初边值问题(的一类爆破准则。文献[主H21.5
其中,
1112t2ρ+)(·,)(()(·,)(()()(;)E(t=‖∂ut‖+1-∫τdτ‖∇ut‖+u)ttLΩ0LΩRgg◇∇
222ρ+1
·,),,,()-‖u(t‖p∀t∈[0+∞)16.L(Ω)
p2ρ+
2
要工具之一就是能量泛函:
Np17]
)文献[将初边值问题(中的1.5
换成]17
,即文献[研究了初边值问题:
]17
)。文献[)满足(在不同的条件下分别给出了初边值问题(的一类爆破准则和一类整H21.7
其中,
16]17]
)体存在性结果。同文献[一样,文献[用到的主要工具之一就是按式(定义的能量泛函1.6
。
从前述文献中总结可发现,人们的主要任务之一,就是以这类方程为研究平台,分析、比较各种阻尼与非线性项
18,19]
()。受到前述文献的研究结果启发,的“强弱”亦可参见文献[本文的主要研究目的就是证
)明初边值问题(解的整体存在性。1.1
本文用空间、用
表示一般的正实数,它在不同的位置可能会取不同的值。本文用表示
上的Lebesueg表示
最佳P即onincaré嵌入常数,
),表示一阶S下标0表示该空间中的函数在边界上的取值为0以及,用obolev空间(
2
2
2准备知识
,}B=inC>0;∀Ψ∈H1Ω)‖Ψ‖L≤C‖∇Ψ‖L(.0(Ω;R)f{
N[]
引理2.因此,我们这里略去这两个引理的证明细节。2的证明出现在文献6中,
本节以引理形式给出本文将多次用到的两个结果。引理2.1的证明普遍存在于偏微分方程教课书中,引理2.1(Young不等式)对
以及。
引理2.2若
)是初边值问题(在区间1.1
m2
,总有
11m22()(·,)(·,)()()()·,,,()(;)Et=-‖∂ut‖∂ut‖'◇∇ut-gt‖∇u(t)‖∀t∈[0T)tLΩ-‖∇tLΩR+gL(Ω;R)
22
N2
上的解,且
)按式(定义,则有1.6
N103
成都师范学院学报 2018年7月
:注1因
单调递减,故,从而,其中,。
3主要结论及相关证明
))定理3.和(都成立。存在单调递减函数1假设(H1H2
,使得对
,)初边值问题(有唯一解1.1
2
02ax,u∈0Tm‖∇u‖L(Ω;Rφ[
(
并且,
(
N)
是解
);[,H(Ω)∩0T(‖∇u‖))φ(
1
0
1
max
0
2
L2(Ω;RN)
的最大存在区间。
);L(Ω)))
2
;
1()。遵从特征函数个数与相应特征在某区间u∈(;)[;)1.10,T)H1Ω)∩0,T)L2Ω)0(0(φ[φ(
6]
,证明:借助于G仿照文献[我们首先证明:对alerkin方法,,初边值问题
值几何重数相等原则,我们将Lalace微分算子p所有规范特征函数依次列为正交基,而且,该函数组还在
在中相应于特征值序列的
。由偏微分方程经典理论,中正交。构造函数列
事实上是,
,其中,
的一组标准
是下述常微分方程组初值问题的解:
由常微分方程的C上述常微分方程初值问题在某区间auchischitz理论,y-Lp~
样的构造是合理的,另一方面,uk∈
~~
。由前面常微分方程组的构造特点可知,在中的极限记为uu实际上是下述初边值问题在区间
~1;将函数列{[,;)[,;)0T)H1Ω)∩0T)L2(Ω)uk}0(φ(φ(
~
上存在。这表明u这
上的解:
)借助这一结果,运用压缩映射原理,我们就可证明初边值问题(在区间1.1104
1
[;)[,;)。u∈0,T]H1Ω)∩0T]L2(Ω)0(φ(φ(
上有唯一解
第3总第3一类带粘性弹性阻尼的波方程解的整体存在性4卷(05期) 王成强:
基于这一局部性结果,运用常微分方程领域惯用的延拓技术,人们还能证明:
,
,使得
)是初边值问题(解的最大存在区间。1.1
,)初边值问题(有唯一解1.1
。
)、()和()定理3都成立。对.2假设(H1H2H3
证明:任给际上就是证明
反设
max,令Tmax=T。我们用反正法来证明这一点。。构造辅助泛函
‖∇u‖(
0
2
L2(Ω;Rn)
)
。证明定理3.2实
其中,
2p-()(),),),)F't=E't+2∫|u(xt|u(xt∂u(xtdxΩtm)按照式(给出。借助于引理2.我们可开展下述计算1.62和注1,
11m22
(·,)(·,)()()()·,)()(;)=-‖∂ut‖-‖∇∂ut‖+'◇∇ut-t‖∇u(t‖tLΩtLΩRL(Ω;R)gg222p-,),),)+2∫|u(xt|u(xt∂u(xtdxΩt22p-,),),)·,),,),()≤2∫|u(xt|u(xt∂u(xtdx-‖∇∂u(t‖∀t∈[0Tm32.ΩttL(Ω;R)ax
2
N2
N2
N注意到及
,),由Y引理2.oun1g不等式(
其中,
待定,是最佳P常数onincaré嵌入常数,
依赖
。将式()),带入式(得3.33.2
105
成都师范学院学报 2018年7月
取
,),并利用(对所得不等式稍稍化简,得3.1
其中,常数依赖
。由Gronwall引理,
取恰当的
,使得
))由(和(可得3.1H1
2
由此可知
22C2T·,)()),,)。‖∇u(t‖≤Ft≤eF(0∀t∈[0TmL(Ω;R)ax
11Nmaxmax·,tt‖∇u(t‖20+0)L(Ω;R2
(
N)
~
)设u是初边值问题(以(1.1x,t)
2)≥t+t(e0
max1
CTmax)>TmaF(0x。
上的
)
为初值在区间
解。构造函数
~
u(x,t)=
由上式可知,
2{u(
,),(,),xtxt∈Ω×[tt+T(e1
~
0
0
,(,,u(x,t)xt)∈Ω×[0t0]
maxCTmax)F(0
)是初边值问题(在区间1.1
))
。
的定义。
上的解。由
可知
,)这与(矛盾。故3.5
不成立,从而,
4结束语
性阻尼的拟线性波方程解的整体存在性。针对这类有深刻物理背景的方程,我们还有很多后续研究计划,例)如,我们将试图在一定条件下给出初边值问题(的一类爆破准则。1.1参考文献:
[]:A[:A,1 CHRISTENSENRM.TheorfViscoelasticitnIntroductionM].NewYorkcademicPress1977.yoy
,,AliedMathematics12.SocietorIndustrialandAliedMathematics(SIAM)1992.ppyfpp
通过构造适当的L联合运用G本文证明了一类具有粘性弹aunov泛函,alerkin方法和先验估计方法,yp
[],2 FABRIZIOPM,MORROA.MathematicalproblemsinlinearviscoelasticitM].PhiladelhiaPA:SIAMStudiesiny[p
106
第3总第3一类带粘性弹性阻尼的波方程解的整体存在性4卷(05期) 王成强:[][],):3 MESSAOUDISA.GeneraldecafsolutionsofaviscoelasticeuationJ.J.Math.Anal.Al.2008,341(21457-yoqpp[]]4 MESSAOUDISA,AL-KHULAIFIW.Generalandotimaldecaoraquasilinearviscoelasticeuation[J.Al.pyfqpp[],[],,:5 MUNOZRIVERAJEBARETTOR.DecaratesforviscoelasticplateswithmemorJ.J.Elast.199461-87.yy
[],coelasticeuationwithstronaminJ.Math.MethodsAl.Sci.2001,24:1043-1053.qgdpgpp[],viscoelasticproblemsJ.Differ.InteralEu.2002,15:731-748.gq,NonlinearAnal.2006,:2314-2331.,):Anal.2008,68(4785-793.,Math.Lett.2017,66:16-22.1467.
[]6 CAVALCANTIMM,DOMINGOSCAVALCANTIVN,FERREIRAJ.Existenceanduniformdecaornonlinearvis-yf[]7 CAVALCANTIMM,DOMINGOSCAVALCANTIVN,SORIANOJA.Globalexistenceandasmtoticstabilitorypyf[][]8 BERRIMIS,MESSAOUDISA.ExistenceanddecafsolutionsofaviscoelasticeuationwithanonlinearsourceJ.yoq[][]9 MESSAOUDISA,TATARNE.ExonentialandpolnomialdecaoraquasilinearviscoelasticeuationJ.Nonlinearpyyfq[],M.,10 S.A.MESSAOUDII.MUSTAFA,AgeneralstabilitesultforaquasilinearwaveeuationwithmemorNonlin-yrqy[][]11 LEVINEHA.SomeadditionalremarksonthenonexistenceofglobalsolutionstononlinearwaveeuationsJ.SIAMJ.q[][]12 TODOROVAG.CauchroblemforanonlinearwaveeuationwithnonlineardaminndsourcetermsJ.Nonlinearypqpga[]]13 VITILLAROE.Globalnonexistencetheoremsforaclassofevolutioneuationswithdissiation[J.Arch.Ration.qp[][]14 SONGHT,ZHONGCK.BlowufsolutionsofanonlinearviscoelasticwaveeuationJ.NonlinearAnal.RealWorldpoq
,(),Mech.Anal.1999,1492151-182.,),Anal.2000,41(7-81-905.,Math.Anal.1974,5,138-146.
,):earAnal.RealWorldAl.2013,14(41854-18.pp
,Al.2010,11:3877-3883.pp[][],15 SONGHT,XUEDS.BlowufsolutionsforaviscoelasticwaveeuationwithstronaminJ.NonlinearAnal.poqgdpg[][],16 SONGHT.GlobalnonexistenceofositiveinitialenerolutionsforaviscoelasticwaveeuationJ.NonlinearAnal.pgysq[],WE17 HAOJIH.Blow-undglobalexistenceforsolutionofuasilinearviscoelasticwaveeuationwithstronam-paqqgdp[][],18 MESSAOUDISA.BlowundglobalexistenceinanonlinearviscoelasticwaveeuationJ.Math.Nachr.2003,260:paq[][]19 CAVALCANTIMM,OQUENDOHP.FrictionalversusviscoelasticdamininasemilinearwaveeuationJ.SIAMpgq
,J.ControlOtim.2003,42:1310-1324.p58-66.
],inndsourceterm[J.BoundaralueProblems2017,PaerNo.65:12p.gayVpp2015,125:260-269.2014,109:245-251.
GlobalExistenceofSolutionstoaClassofWaveEuationswithVisco-elasticDaminsqpg
(,,)SchoolofMathematicsChenduNormalUniversitChendu611130,Chinagyg
WANGCheniangqg:AbstractThispaerisconcernedwithaclassofquasi-linearwaveeuationswithvisco-elasticpq
,damins.Underaroriateconditionsweprovefirstthelocalexistenceofsolutionstotheproblemun-pgppp
,derconsiderationbalerkin'smethod.Bonstructinaunovfunctionalestablishinrioriesti-yGycgaLypgaptotheprobleminquestion.
:;;;;Keordsuasi-linearwaveeuationsvisco-elasticaminslobalexistenceGalerkin'smethodqqpggywLaunovfunctionalyp
(实习编辑:杨晓玲 责任校对:曲 比)
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,,matesandcombininheobtainedlocalexistenceresultsweprovenexttheglobalexistenceofsolutionsgt
