第３９卷第４期 力 学 与 实 践 ２０１７年８月 非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动阶段的边界位移与 黏性能量耗散 司 彦 ） （中国石油化工集团公司发展计划部，北京１００７２８） 摘要 本文研究了牛顿流体非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动阶段的边界位移与流体黏性摩擦能耗．在上边界始终保 持静止，下边界以恒定速度或恒定内壁剪切应力突然运动的情况下，建立了Ｃｏｕｅｔｔｅ非稳态流动的数学模型． 求解定解问题，获得流体速度分布函数；通过渐近分析，获得不同边界条件下流动充分发展的临界时间，进而 获得非稳态过程中的边界位移量．利用边界剪切应力和位移量的结果，计算非稳态过程中移动平板做功；再结 合流体动能增加量，计算得出不同边界条件下非稳态流动阶段流体黏性摩擦能耗． 关键词 边界位移，能量耗散，非稳态阶段，Ｃｏｕｅｔｔｅ流动 中图分类号：ＴＥ８１ 文献标ｉＲ￣ｉ５－：Ａ ｄｏｉ：ｉ０．６０５２／１０００—０８７９—１６—３９３ Ｂ０ＵＮＤＡＲＹ ＤＩＳＰＬＡＣＥＭＥＮＴ ＡＮＤ ＥＮＥＲＧＹ ＤＩＳＳＩＰ Ｉ’１０Ｎ ＩＮ ＵＮＳＴＥＡＤＹ Ｃ０ＵＥＴＴＥ ＦＬ０Ｗ ＳＴＡＧＥ ＹＡＮ Ｙａｎ１） （ＳＩＮＯＰＥＣ Ｐｌａｎｎｉｎｇ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｂｅｒｉｎｇ １００７２８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｓｔｅａｄｙ Ｃｏｕｅｔｔｅ ｆｌｏｗ ｓｔａｇｅ ｏｆ Ｎｅｗｔｏｎｉａｎ ｆｌｕｉｄ ｉｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｔｏｐ ｗａｌｌ ｉｓ ａｌｗａｙｓ ｋｅｐｔ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ａｎｄ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｏｒ ａ ｓｕｄｄｅｎ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ ｓｕｒｆａｃｅ ｆｏｒｃｅ ｉｓ ｉｍｐｏｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｗａｌ１．Ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｐｅｒｉｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｏｗ ｆｔｏ ｒｅａｃｈ ｔｈｅ ｓｔｅａｄｙ ｓｔａｔｅ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ａｎａｌｙｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｓｔｅａｄｙ ｓｔａｇｅ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｐｅｒｉｏｄｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓ．Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｈｅａｒ ｓｔｒｅｓｓ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｓｕｒｆａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｗａｌｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ，ｔｈｅ ｗｏｒｋ ｄｏｎｅ ｂｙ ｔｈｅ Ｃｏｕｅｔｔｅ ｓｙｓｔｅｍ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｉｎｃｒｅａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄ ｋｉｎｅｔｉｃ ｅｎｅｒｇｙ，ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎｓ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｓｔｅａｄｙ Ｃｏｕｅｔｔｅ ｓｔａｇｅ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ，ｅｎｅｒｇｙ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ，ｕｎｓｔｅａｄｙ ｓｔａｔｅ，ｃｏｕｅｔｔｅ ｆｌｏｗ Ｃｏｕｅｔｔｅ流动是流体力学的经典问题，是指黏 性流体在相对运动着的两平行平板之间的层流流动． 流体处于静止状态时，平板突然运动会引起非稳态 ２０１６—１２－０５收到第１稿，２０１７－０４—２４收到修改稿． Ｃｏｕｅｔｔｅ流动．对于平板速度恒定的非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ 流动，已经有学者开展了大量研究，并得出了速度分 布随时间变化的解析解［１－２］．基于经典黏性流体非 １）闰彦，高级工程师．Ｅ－ｍａｉｈ ｄａｙａｎｘｉａｏｌｉ＠１６３．ｃｏｍ 引用格式：闫彦．非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动阶段的边界位移与黏性能量耗散．力学与实践，２０１７，３９（４）：３５４—３５８ Ｙａｎ Ｖａｎ．Ｂｏｕｎｄａｒｙ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｅｎｅｒｇｙ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ ｉｎ ｕｎｓｔｅａｄｙ Ｃｏｕｅｔｔｅ ｆｌｏｗ ｓｔａｇｅ．Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ２０１７，３９（４）：３５４—３５８ 第４期 闰 彦：非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动阶段的边界位移与黏性能量耗散 ３５５ 稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动研究结果，许多学者针对特殊流体 或特殊工况开展了进一步研究，如考虑压力梯度的 非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动［３］，非牛顿流体的非稳态Ｃｏｕ— ｅｔｔｅ流动［４－５］以及电磁场［０］或多孔介质空间内的非 稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动［７】＿但上述研究中，均将Ｃｏｕｅｔｔｅ 流动中移动边界定为控制速度边界．也有学者针对 段的流体黏性摩擦能量耗散． １问题描述 如图１所示，初始时刻两平板及中间液体静 止，平板间距为ｄ，下平板突然运动，其边界条件分 为恒定速度边界与恒定剪切应力边界．控制恒定速 度边界时，下平板突然以速度 。开始运动：控制恒 其他类型的边界条件开展了相应研究，Ｔｉｎｇ［ｓ］通过 控制恒定的壁面剪切应力，研究了二阶流体非稳态 Ｃｏｕｅｔｔｅ流动；Ｂｅｒｎａｒｄｉｎ等【０］则通过控制Ｔａｙｌｏｒ— 定应力边界时，下平板内表面突然施加剪切应力ＴＯ． 上平板始终保持静止．当ｔ≥ｔｄ，Ｃｏｕｅｔｔｅ流动达到 Ｃｏｕｅｔｔｅ系统的扭矩，开展了内部流体非稳态流动过 程研究． 上述关于非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动的研究，通常更关 注流体速度分布函数的求解．Ｍｕｚｙｃｈｋａ等［１０】则对 牛顿流体非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动中的非定常参数开展 研究，通过寻求非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动与Ｓｔｏｋｅｓ第一 问题间的关联，建立了描述移动边界内表面剪切应 力随时间变化的简易模型，对非定常剪切应力进行 了渐近分析．然而文献『１０一儿］在进行渐进分析时， 通常只针对恒定速度边界条件，并未考虑其它边界 条件下的非稳态流动发展过程． Ｃｏｕｅｔｔｅ流动被认为是流变测试的理论基础［１ｏ］． 对于与时间相关的黏性流体，例如胶凝原油，流变 学中常通过连续记录应力与应变关系分析其力学特 性［１２ ３１．然而，在初始非稳态阶段，速度分布的非 线性，会造成测试结果出现偏差．两平板边界的相 对位移是用来计算剪切应变的核心参数，非稳态过 程中，两平行板间的相对位移越大，表明测试过程处 于非稳态流动的应变范围越大．另外，流体黏性摩擦 能耗会造成体系熵增，文献【１３—１４】以剪切能量耗散 为指标衡量材料物性变化，非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动阶 段的能量耗散过程明显不同于稳态阶段，同样值得 关注． 对于类似胶凝原油的材料，常采用控制恒定剪 切应力［１５ ６】或恒定剪切速率【１２］的方式开展流变 测试．对于流变测试系统，恒定剪切速率即是恒定边 界移动速度．所以，本文将针对相同稳定状态的Ｃｏｕ． ｅｔｔｅ流动，分别在恒定速度边界、恒定剪切应力边界 条件下研究非稳态阶段边界位移，寻求位移的函数 表达式，分析影响位移大小的相关参数，对比不同边 界条件下非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动阶段的边界位移量； 并基于非稳态阶段的边界位移研究结果，进一步计 算非稳态过程中的体系输入功，再结合流体动能增 加量，获得不同边界条件下非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动阶 稳定状态．此时，两种边界条件下流动状态一致，故 剪切应力ＴＯ与速度Ｕ０满足 ｄ＝Ｕ０（ｔ≥ｔｄ） （１） 式中，ｔｄ为Ｃｏｕｅｔｔｅ流动达到充分发展的时刻， 为流体的动力黏度．本文在对不同边界条件下，对 ０≤ｔ≤ｔｄ时间段内下平板位移、流体黏性摩擦能量 耗散分别进行求解． 山 Ｊ ｌ ，，， 托自 ０口■ Ｍ ａ§口Ｍ０∞ ０ ％０‘ Ｗ０口■■０■０ ％０ 拍０■口∞ Ｊ Ｉ ｄ １ ｒ ———－－—－－－－—一Ｉ■ 丁０或者ｕ０ 图１ Ｃｏｕｅｔｔｅ流动示意图 ２问题求解 ２．１恒定剪切应力边界条件下的边界位移 控制方程 丝Ｏｔ＝ Ｏｘ２‘ （２）一／ 其中， 表示流体流速，为空间Ｘ与时间ｔ的函数， 为流体的运动黏度． ｆ１）初始条件 初始状态，流体与平板均保持静止 ｕ（ ，０）＝０，０≤Ｘ≤ｄ （３） （２）边界条件 本文研究的Ｃｏｕｅｔｔｅ流动，两平行板中，上板始 终保持静止，故 （ｄ，ｔ）＝０，ｔ＞０ （４） 对于控制恒定应力边界，下平行板内表面剪应力丁 ３５６ 力 学 与 实 践 ２０１７年第３９卷 满’足 ＿０ｊ 一 ＝ （５） 根据式（２） 式（５），可求解出速度函数为 乱（ ）一 唧（ ２ ｃｏｓ 蚪 （ｄ— ） （６） 其中 ＝ ，佗＿０ｊ １ｊ２，…（７） 利用式（１），下平板速度可以描述为 （ 一２ ｕｏ￣ １ ｅｘｐ（一 ｔ）＋ 。（８） 一式（８）关于时间ｔ积分，即为边界位移量．结合式 （７），可获得位移表达式为 南‘ ｛ｅＸｐ［＿堕 ） 式中，ｌ１表示恒定剪切应力丁０时不同时刻的平板位 移；ｔ ＝ｄ２／ 为特征时间．下平板任意时刻速度与 稳态速度的比值可以表示为 ： ｕ（ｏ，∞） 一 南唧［＿ （１０） 式中，乱（０，∞）为ｔ＝。。即流动达 充分稳定后的 移动边界速度．ｕ（ｏ， ）／札（０，∞）与击的变化规律， 可以反映出恒剪切应力条件下Ｃｏ ｅｔｔｅ流动移动边 界速度变化的特征，如图２所示． 图２恒定应力边界条件下无量纲速度的变化 从图中可以看出，恒剪切应力边界条件下， Ｃｏｕｅｔｔｅ流动移动边界处速度随时问从０开始增 大，并逐渐趋于稳定．本文认为，恒定剪切应力边界 条件下，当边界速度“（０，ｔ）与稳定流动状态速度ｕｏ 的相对差值为０．０１时，Ｃｏｕｅｔｔｅ流动充分发展｛”］， 即 二 ！ ！ ：０．０１ ｆ１１１ ＵＯ 式中，ｔｄ１为恒定剪切应力条件下Ｃｏｕｅｔｔｅ流动达到 充分发展的时刻．根据式（１０）、式（１１），可以计算出 ｔｄ１＝１．７８５ｔ 时，速度充分发展，结合式（９），可以计 算出非稳态过程中下平板位移为 １１（㈦：１．４５６ｕｏｔ ：１．４５６ ／； （１２） 从式（１２１可以看出：恒定剪切应力边界条件下，在 Ｃｏｕｅｔｔｅ流动的初始非稳态阶段，平板边界的移动距 离ｆ１（ｔｄ１）与稳态平板速度 ０、特征时间 相关，即 平板问距ｄ、流体运动黏度 与稳定流动时平板速 度“０决定非稳态阶段的平板位移ｌ （ ｄ１）． ２．２恒定速度边界条件下的边界位移 对于恒定边界速度札。的情况，不同时刻边界位 移可以描述为 式中，ｌ２表示恒定速度 ０时不同时刻的平板位移． 对于控制恒定速度边界的非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动，文 献［１］已开展了相关研究，并给出了流体速度分布函 数 ，“（ ，ｔ）＝ 唧（ ）ｓｉ咖十 （ｄ ） ｆ１４） 其中 肌∈ｎ＝ ：－５－ ，，Ｃｔ 礼＝１，，，‘・・礼：１，２ ３２ ３．． （１５） 壁面处剪切速率可以表述为 一 ＝ ［２薹ｅｘｐ（一ｎ２丌。砉）＋ ］ ｃ ６ 式中，ｑ（ｏ，ｔ）表示移动边界（Ｘ＝０）处的剪切速率， 当ｔ一。。时，流动达到稳定状态，下平板内壁稳态 第４期 闰 彦：非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动阶段的边界位移与黏性能量耗散 ３５７ 剪切速率々（０，∞）＝ＵＯ／ｄ．基于式（１６），移动边界处 剪切应力的变化规律可以表征为 ７－（０， 丁（０，∞） 一 １ ２．７１ ２（ｔｄ２） … ：（２０）々（０，ｔ）々（０，∞） 一所以，相同稳定流动状态的Ｃｏｕｅｔｔｅ流动，控制恒 定剪切应力条件下非稳态阶段边界位移ｆ （ｔｄ ）要明 显大于恒定速度边界条件下的非稳态阶段边界位移 ￣（ｔｄ２）．１１（ｔｄ１）大约是１２（ｔｄ２）的２．７１倍． ２竹∑ｅ（＝１ ＼（ ＿ｎ２１ｒ２吾）＋砉）＋１ （１７， ｌ２ ｅｘｐ式中，７－（０，∞）表征非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动达到稳定后 ３流体黏性流动能量耗散 非稳态过程中，下平板对流体介质做功，一方面 移动边界处的剪切应力；丁（０，ｔ）为任意时刻移动边 界处的剪切应力．参数丁（０，ｔ）ｂ－（ｏ，。。）随 ／ 的变 化规律，如图３所示． 图３恒定速度边界条件下的无量纲剪切应力变化 从图３可知，恒速度边界条件下，移动边界处 的剪切应力随时间逐渐减小，并最终趋于稳定值．由 于流体粘度 恒定， （０，ｔ）可以直接反映移动边界 处的剪切应力变化，本文认为当下平板内壁剪切速 率々（０，￡）与稳态剪切速率々（０，Ｏ０）相对差值为０．Ｏ１ 时，Ｃｏｕｅｔｔｅ流动充分发展［１７］，即 ’（０：二 ：０．∞） ０１ （１８），、 式中，幻２为恒定速度边界条件下Ｃｏｕｅｔｔｅ流动达到 充分发展的时刻．根据式（１６）与式（１８），可以计算 出ｔｄ２＝０．５３７ｔ 时相应的非稳态过程中平板移动的 距离，表示为 １２（妇２）＝０．５３７ｕ０ ＝０．５３７ｕｏａ＂． （１９） 可以看出：与ｆ１（ｔｄ ）一致，在恒定速度边界条件下， 非稳态阶段的平板位移１２（ ：ｔｄ２）同样由平板间距 ｄ、流体运动粘度 与稳定流动时平板速度 ０决定． ２．３不同边界条件下的平板位移对比 根据式（１２）、式（１９），可得 增加流体的动能，另一方面转换为流体黏性摩擦产 生的热能．两种边界条件具有相同的稳态流动，流体 速度分布相同，动能增加量也一致，所以本文将对比 两种边界条件下非稳态过程中流体黏性摩擦能耗的 差别． ３．１动能增量的计算 Ｃｏｕｅｔｔｅ流动充分稳定后，流体速度分布满足 ｕ（ ，。。）＝ｕ ｏ（ｄ一 ） （２１） 理想的Ｃｏｕｅｔｔｅ流动平板面积认为无穷大，单位平 板面积上，稳定流动时流体动能可以描述为 ｄ Ｅｋ ｐ［ （ｄ— ）］２ ｄ ＝ １ ２ｄ（２２） ３．２恒定剪切应力条件下的能量耗散 单位面积上，下平板拖动力在位移上的积分即 为功，可以表达为 ： ． ｄ１）＝１．４５６Ｔ￣ｕ ￣ｄ２． （２３） 结合式（１），式（２３）可以转换为 ＝１．４５６ｐｕ￣ｄ （２４） 式中， 为恒定剪切应力条件下，非稳态过程中， 单位面积平板施加总功，Ｐ为流体密度．减掉动能增 加量，即为摩擦能耗 １ Ｔ ｌ，１＝１．４５６ｐｕ￣ｄ一 ｌ ＿“２０ｄ≈１．２８９ｐｕ￣ｄ （２５） 式中，晰 为恒定应力边界条件下，非稳态过程中， 单位平板面积上的流体黏性摩擦能耗．可以看出：控 制恒定剪切应力边界时，单位平板面积上，非稳态 Ｃｏｕｅｔｔｅ流动过程中，流体黏性摩擦能耗与流体密度 Ｐ，Ｃｏｕｅｔｔｅ平板间距ｄ以及稳态平板速度 ０相关， 而与流体黏度无关． ３５８ 力 学 与 实 践 ２０１７年第３９卷 ３．３恒定速度边界条件下的能量耗散 恒定速度边界条件下，非稳态过程中，下平板壁 面剪切应力随时间不断变化，非稳态过程中平板做 功总量为拖动力在位移上的积分．根据式（１６），可 以获得下平板壁面剪切应力为 丁 ｌＬ ２ 唧（ｎ＝１ 、 一 ）＋ Ｊｌ 非稳态过程中，单位面积的下平板做功为 Ｗｕ＝／ ７－（０，ｔ）ｄｌ （２７） 式中， 为恒定边界速度条件下，非稳态过程中， 单位面积平板施加总功．由于边界速度恒定，所以 ｄｌ＝ｕｏｄｔ （２８） 结合式（２６）＾一式（２８）可得 ｆ０。 ｘｐ（一 ｔ）斗 （２９） 转换为 ＝ 卜蒹匡去ｅｘｐ（一 ｔｄ２）一 ２） ｃｓｏ 根据上文可知，ｔｄ２＝０．５３７ｄ。／ ，所以可以求出式 （３０１为 ＝０．８６８ｐｕｇｄ （３１） 相应的非稳态过程中，单位平板面积上的流体黏性 摩擦能耗为 Ｗｆ２＝０．８６８ｐｕ２ｄ一 １ ｕｎ ２ｄ≈００．７０１ｐｕ￣ｄ （３２） 与恒定剪切应力情况一致：恒定速度边界条件下， 单位平板面积上，非稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动过程中，流体 黏性摩擦能耗与流体密度Ｐ，Ｃｏｕｅｔｔｅ平板间距ｄ以 及稳态平板速度钆０相关，与流体黏度无关． ３．４不同边界条件下非稳态阶段的流体黏性摩擦 能耗 根据式（２５）与式（３２），不同边界条件下，非稳 态过程中，单位平板面积的流体黏性摩擦能耗比值 为 Ｗｆ２ ０＝ ． ７０１篇引 ｐｕａ２ｄ …一 （３３）／ 可以看出，对于相同稳定流动状态的Ｃｏｕｅｔｔｅ流动， 控制恒定剪切应力条件下非稳态阶段流体黏性摩擦 能耗 １明显大于恒定速度边界条件下的非稳态阶 段流体黏性摩擦能耗Ｗｆ２．Ｗｆ１大约是 的１．８４ 倍． ４结论 （１）对于边界速度为乱０的Ｃｏｕｅｔｔｅ稳态流动， 无论采用恒定速度边界还是恒定剪切应力边界，非 稳态过程中的边界位移ｆ均由平板间距ｄ、流体运 动黏度 与稳定流动时平板速度 ０决定．恒定剪 切应力边界条件下，非稳态过程边界位移ｆ１（ｔｄ ）显 著大于恒定速度边界条件下的非稳态过程边界位移 ｌ２（ｔｄ２），且前者大约是后者的２．７１倍． ｆ２）对于同一稳态Ｃｏｕｅｔｔｅ流动，无论采用恒 定速度边界还是恒定剪切应力边界，非稳态流动阶 段，单位平板面积上的流体黏性摩擦能耗都仅与流 体密度Ｐ、Ｃｏｕｅｔｔｅ平板间距ｄ以及稳态平板速度 相关，而与流体黏度无关．恒定剪切应力边界条 件下，单位平板面积上的流体黏性摩擦能耗Ｗｆ 大 于恒定速度边界条件下单位平板面积上的流体黏性 摩擦能耗 ，且 １大约是 的１．８４倍． 参考文献 １ Ｗｈｉｔｅ ＦＭ，Ｃｏｒｆｉｅｌｄ Ｉ．ＶｉＳＣＯＵＳ Ｆｌｕｉｄ Ｆｌｏｗ． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： ＭｃＧｒａｗ—Ｈｉｌｌ，２００６ ２ Ｅｒｄｏｇａｎ ＭＥ．Ｏｎ ｔｈｅ ｆｌｏｗｓ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｓｕｄｄｅｎ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｏｒ ｂｙ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｍｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｂｏｕｎｄａｒｙ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｎ—Ｌｉｎｅａｒ Ｍｅｃｈａｎ— ｉｃｓ，２００３，３８（５）：７８１—７９７ ３ Ｍｅｎｄｉｂｕｒｕ ＡＡ．Ｃａｒｒｏｃｃｉｂ ＬＲ．Ｃａｒｖａｌｈｏ ＪＡ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｒａｎｓｉｅｎｔ ｏｎｅ．．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｃｏｕｅｔｔｅ ｆｌｏｗ ｃｏｎ．． ｓｉｄｅｒｉｎｇ ｃｏｎｓｔａｎｔ ａｎｄ ｔｉｍｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｇｒａｄｉｅｎｔｓ． Ｅｎｇｅｎｈａｒｉａ Ｔｄｒｒｎｉｃａ（Ｔｈｅｒｍａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ），２００９，８（２）： ９２—９８ ４ Ｓｈａｏｗｅｉ Ｗ，Ｍｉｎｇｙｕ Ｘ．Ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎ ｕｎｓｔｅａｄｙ Ｃｏｕｅｔｔｅ ｌｆｏｗ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｍａｘｗｅｌｌ ｌｆｕｉｄ ｗｉｔｈ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ． Ａｃｔａ Ｍｅｃｈａｎｉｅａ，２００６，１８７（１－４）：１０３—１１２ ５ Ｂｏｓｅ Ｄ，Ｂａｓｕ Ｕ．Ｕｎｓｔｅａｄｙ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ ｆｌｏｗ ｏｆ ａ ｇｅｎｅｒ— ａｌｉｓｅｄ ０ｌｄｒｏｙｅｄ—Ｂ ｆｌｕｉｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｐｌａｔｅｓ． Ｗｏｒｌｄ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２０１３，３（２）：１４６—１５１ ６ Ａｓｇｈａｒ Ｓ，Ａｈｍａｄ Ａ．Ｕｎｓｔｅａｄｙ Ｃｏｕｅｔｔｅ ｌｆｏｗ ｏｆ ｖｉｓｃｏｕｓ ｌｆｕｉｄ ｕｎｄｅｒ ａ ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１２，２５（１１）：１９５３—１９５８ （下转第３７８页） ３７８ 力 学 与 实 践 ２０１７年第３９卷 度因子 ９宋娜，周储伟．扩展有限元裂尖场精度研究．计算力学学报， 参考文献 １范天佑．断裂理论基础．北京：科学出版社，２００３：７３—１１２ ２ Ｂｅｌｙｔｓｃｈｋｏ Ｔ．Ｂｌａｃｋ Ｔ．Ｅｌａｓｔｉｃ ｃｒａｃｋ ｇｒｏｗｔｈ ｉｎ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅ— ｍｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｍｉｎｉｍａｌ ｒｅｍｅｓｈｉｎｇ．／ｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｒ ２００９，２６（４）：５４４—５４７ １０余天堂．摩擦接触裂纹问题的扩展有限元法．工程力学，２０１０， ２７（４）：８４—８９ １１茹忠亮，朱传锐，张友良等．裂纹问题的扩展有限元法研究．岩 土力学，２０１１，３２（７）：２１７１—２１７６ １２杜修力，金浏，黄景琦．基于扩展有限元法的混凝土细观断裂破 Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９９，４５（５）：６０１—６２０ ３ Ｍｏｅｓ Ｎ．Ｄｏｌｂｏｗ Ｊ，Ｂｅｌｙｔｓｃｈｋｏ Ｔ．Ａ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃｒａｃｋ ｇｒｏｗｔｈ ｗｉｔｈｏｕｔ ｗｉｔｈｏｕｔ ｒｅｍｅｓｈｉｎｇ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ 坏过程模拟．计算力学学报，２０１２，２９（６）：９４０—９４７ １３茹忠亮，申葳，赵洪波．基于扩展有限元法的钢筋混凝土梁复合 断裂过程模拟研究．工程力学，２０１３，３０（５）：２１５—２２０ １４傅玉珍 张华，谈政．基于扩展有限元的巴西圆盘动态裂缝扩展 Ｊｏｕｒｎａｌ，０ｒ Ｎｕｍｅｉｃｒａｌ Ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９９，４６（１）： １３１—１５０ ４ Ｍｏｓｅ Ｎ，Ｂｅｌｙｔｓｃｈｋｏ Ｔ．Ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃｏｈｅｓｉｖｅ ｃｒａｃｋ ｇｒｏｗｔｈ．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｆｒａｃｔｕｒｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， 分析．四川建筑科学研究，２０１４，４０（２）：４７＿５４ １５师访，高峰，杨玉贵．正交各向异性岩体裂纹扩展的扩展有限元 ２００２，６９（７）：８１３—８３３ ５余天堂．含裂纹体的数值模拟．岩石力学与工程学报，２００５，２４： ４４３２．４４３９ 法研究．岩土力学，２０１４，３５（４）：１２０３—１２１０ １６盛茂，李根生．水力压裂过程的扩展有限元数值模拟方法．工程 力学，２０１４，３１（１０）：１２３ １２８ １７江守燕，杜成斌，顾冲时等．求解双材料界面裂纹应力强度因子 ６方修君，金峰，王进廷．基于扩展有限元法的粘聚裂纹模型．清 华大学学报（自然科学版），２００７，４７（３）：３４４—３４７ ７方修君，金峰．基于ＡＢＡＱＵＳ平台的扩展有限元法．工程力 的扩展有限元法．工程力学，２０１５，３２（３）：２２—２７ １８庄茁，柳占立，成斌斌等．扩展有限单元法．北京：清华大学出 版社，２０１２ １９薛世峰，侯密山．工程断裂力学．东营：中国石油大学出版社， ２０】】 学，２００７，２４（７）：６．１０ ８懂玉文，余天堂，任青文．直接计算应力强度因子的扩展有限元 法．计算力学学报，２００８，２５（１）：７２—７７ （责任编辑：刘希国） （上接第３５８页） ７ Ｊｈａ ＢＫ．Ａｐｅｒｅ ＣＡ．Ｔｉｍｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ＭＨＤ Ｃｏｕｅｔｔｅ ｌｏｗ ｉｆｎ ｌ２兰浩，张国忠，等．恒剪速下胶凝原油初始结构破坏过程力 ａ ｐｏｒｏｕｓ ａｎｎｕｌｕｓ．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ 学特性．中国石油大学学报（自然科学版），２００９，（２）：１１７－１２１ １３ Ｔｅｎｇ Ｈ，Ｚｈａｎｇ Ｊ．Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｉｘｏｔｒｏｐｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｗａｘｙ ｃｒｕｄｅ．Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ Ｒｅｓｅａｒｃｈ． ａｎｄ Ｎｕｍｅｉｃｒａｌ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２０１３，１８（８）：１９５９—１９６９ ８ Ｔｉｎｇ ＴＷ．Ｃｅｒｔａｉｎ ｎｏｎ—ｓｔｅａｄｙ ｆｌｏｗｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｆｌｕｉｄｓ． Ａｒｃｈｉｖｅ ｏｒ Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ，１９６３，１４（１）： １—２６ ２０１３，５２（２３）：８０７９—８０８９ １４ Ｔｅｎｇ Ｈ，Ｚｈａｎｇ Ｊ．Ａ ｎｅｗ ｔｈｉｘｏｔｒｏｐｉｃ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｗａｘｙ ｃｒｕｄｅ． ９ Ｂｅｒｎａｒｄｉｎ Ｄ，Ｎｏｕａｒ Ｃ．Ｔｒａｎｓｉｅｎｔ Ｃｏｕｅｔｔｅ ｆｌｏｗｓ ｏｆ Ｏ１一 ｄｒｏｙｄ’Ｓ ｆｌｕｉｄｓ ｕｎｄｅｒ ｉｍｐｏｓｅｄ ｔｏｒｑｕｅｓ． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｎ— Ｒｈｅｏｌｏｇｉｃａ Ａｃｔａ，２０１３，５２（１０—１２）：９０３—９１１ １５王志方，张国忠，．胶凝原油的黏弹性流变模型．高校化学 Ｎｅｗｔｏｎｉａｎ Ｆｌｕｉｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９９８，７７（３）：２０１—２３１ １０ Ｍｕｚｙｃｈｋａ ＹＳ．Ｙｏｖａｎｏｖｉｃｈ ＭＭ．Ｕｎｓｔｅａｄｙ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｌｏｗｓ 工程学报，２００８，２２（２）：３５１—３５５ １６李传宪，林名桢，杨飞等．胶凝含蜡原油非线性蠕变模型研究． 高校化学工程学报，２０１１，２５（４）：５７９．５８３ １７ Ｃｈｅｎ Ｌ，Ｌｉｕ Ｇ，Ｚｈａｎｇ ＧＺ，ｅｔ ａ１．Ｔｒａｎｓｉｅｎｔ ｓｔａｇｅ ｃｏｉｎ— ｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ Ｃｏｕｅｔｔｅ ｆｌｏｗ ｕｎｄｅｒ ｓｔｅｐ ｓｈｅａｒ ｓｔｒｅｓｓ ａｎｄ ｓｔｅｐ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａ— ａｎｄ Ｓｔｏｋｅｓ’Ｓ ｆｉｒｓｔ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ Ｄ，Ｔｈｅｒ— ｅａｌｒ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２０１０，４９（５）：８２０－８２８ １１ Ｅｒｄｏｇａｎ ＭＥ．Ｏｎ ｔｈｅ ｕｎｓｔｅａｄｙ ｕｎｉｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ ｆｌｏｗｓ ｇｅｎ— ｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｍｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｒ ｓｕｄｄｅｎ ａｐ— ｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｎ—Ｌｉｎｅａｒ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００２，３７（６）：１０９１—１ １０６ ｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｈｅａｔ ａｎｄ Ｍａｓｓ Ｔｒａｎｓｆｅｒ，２０１６，７５：２３２—２３９ （责任编辑：刘希国）
