非线性抛物型泛函偏微分方程组解的振动性

第７卷第５期２００７年３月　科学技术与工程　＠Ｖ０１．７　Ｎｏ．５　Ｍａｒ．２００７　１６７１—１８１９（２００７）５—０６７１—０３　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　２００７　Ｓｅｉ．Ｔｅｅｈ．Ｅｎｇｎｇ．　非线性抛物型泛函偏微分方程组解的振动性　高兴周文洁　（株洲职业技术学院，株洲４１２００１）　摘要讨论一类非线性抛物型时滞偏微分方程组解的振动性，利用积分不等式和泛函微分方程的某些结果，获得了该类　方程组振动的若干充分条件．结论充分表明振动是由时滞量引起的。　关键词　非线性　时滞　抛物型偏微分方程组　振动性　中图法分类号０１７５．２６；　文献标识码Ａ　近ｌ０年来，关于双曲型、抛物型泛函偏微分方　拉普拉斯算子，Ⅳ是　的单位外法向量。　程组的振动性，已有一些很好的研究工作发　在本文中，我们总假定下列条件成立：　表儿卜　。但以往研究的主要工作是关于线性扩散　（Ｈ１）ａｉ（ｔ），ａ　（ｔ）∈ｃ（Ｒ＋；Ｒ＋），ｉ∈Ｉｍ，ｋ∈Ｉｎ，　系数的情况进行讨论的，而对于非线性扩散系数情　为正常数；　况下的偏微分方程组的振动性的研究还很少，仅见　（Ｈ２），ｒ　（ｔ）∈Ｃ（Ｒ＋；　＋），且ｌｉｍ（ｔ一，ｒ　（ｔ））＝　文献［１０］。本文研究如下的一类非线性抛物型时滞　∞，ｋ∈，　；ｇ　（　，ｔ）∈Ｃ（Ｇ；Ｒ），且ｇ　（　，ｔ）＞０，　偏微分方程组（１）在边值条件（２）下解的振动性，　ｑｉｉ（　）　（　，　）｝，％（　）　｛　（　，　）Ｉ｝，　√∈　获得了判别其所有解振动的若干充分条件。结论充　，Ｑ（ｔ）＝　｛ｑ“（ｔ）一．　（　）｝＞０；　分表明了时滞量的决定性作用；同时，也指明了其　与普通抛物型偏微分方程组解的质的差异。　（Ｈ３）ｈ　（　），ｈ　（　）∈Ｃ　（Ｒ；Ｒ），ｕｉｈ：（　）ｉ＞０，　ｉ　（　）Ｉ＞０，ｉ∈，　，ｋＥ，　。　ａ　ｕ＿＿Ａ。＝ａｉ（　）ｈｉ（　）△　＋　定义１　称向量函数　（　，ｔ）＝（　（　，ｔ），　：（　，　口　ｔ），…，　ｘ，ｔ））　为系统（１），（２）式的解，若它在　∑ａｉｋ（　）　（　ｉ（　，ｔ一，ｒ　（　）））△　（　，ｔ一，ｒ％（　））一　Ｇ上满足系统（１）及在，上满足边值条件（２）。　定义２　称数值函数ｖ（ｘ，ｔ）在Ｇ内振动，若对　Ｊ＝１∑ｇ　　（　，ｔ）ｕｊ（ｘ，ｔ一　），（　，￡）∈Ｇ，ｉ∈，　＝　任意正数肛，存在点（　。，ｔ。∈　×［　，∞），使得　｛１，２，…，ｍ｝　（１）　ｖ（ｘ。，ｔ。）＝０，否则，称为非振动的；称系统（１），　（２）式的解ｕ（ｘ，ｔ）在Ｇ内振动，若它至少有一个分　ＯＮ＝０，（　，　）∈，，　∈，　（２）　量作为数值函数是振动的；称系统（１），（２）式的解　其中Ｇ＝　Ｘ　Ｒ＋，，＝　×Ｒ＋，Ｒ＋＝［０，∞），　Ｃ　ｕ（ｘ，ｔ）在Ｇ内非振动，若它的每一个分量作为数值　ＲＭ是有界域，边界　逐片光滑，△是Ｒ肘中的Ｍ维　函数都是非振动的。　以下是本文的基本定理。　２００６年１０月１８日收到　湖南省自然科学基金项目（０５ＪＪ４０００８），　定理１　若　株洲职业技术学院科研项目（ＺＺＹＫＹ０６０３）资助　１　ｌｉｍ　ｉｎｆＱ（￡）＞一１　（３）　第一作者简介：高兴（１９６６一），男，湖南沅江人，高级讲师，　Ｈ　ｅｏｒ　研究方向：微分方程振动理论研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｚｈａｐｐｙ２００５＠　则系统（１），（２）式的所有解在Ｇ内振动。　２１ｅｎ．ｃｏｒｎｏ　证明（用反证法）假设系统（１），（２）式有一　维普资讯 http://www.cqvip.com

６７２　科学技术与工程　７卷　个ｊＥ振动解　（　，ｔ）＝（　（　，ｔ），　２（　，ｔ），…，　（　，　ｔ））　，不失一般性可设，当ｔ＞Ｉｔ０＞Ｏ时，Ｉ　（　，ｔ）Ｉ＞　０，　∈，ｍ。令ｚ｛（　，ｔ）＝。６　ｉ（　ｔ），６　＝ｓｇｎｕ　（　，ｔ），贝０　ｚｉ（　，ｔ）＞Ｏ，（　，ｔ）∈　×［ｔ０，∞），ｉ∈，　。由（Ｈ２）可　（ｆ）＋　｛吼（ｔ）一∑　（ｔ）｝ｖｉ（ｔ一　）≥　（ｔ）＋　ｇ　一　：　）∑（ｔ一　）＝　ｉ＝１　知，存在Ｔ＞Ｉｔ０，使得　（　，ｔ）＞Ｏ，ｚ，（戈，ｔ一　）＞０，　ｚ　（　，ｔ一　（ｔ））＞０，（　，ｔ）∈　×［ｔ０，∞），ｉ，－，∈　（ｔ）＋Ｑ（ｔ）Ｕ（ｔ一　），ｔ≥Ｔ。　于是　，ｍ，　∈，　。　将（１）式两边同时对　在　上积分有　蔷［　（　卜ｊ至＝ｌ鲁　ｇ　（　（戈，ｔ一　）　＝　口　（ｔ）　（　（　，ｔ））ａｚ　（　）　＋　）￣ｈｌｋ（　（　，ｔ　（　）△　（　，￡　（ｔ））　，　ｔ≥Ｔ，ｉ∈Ｉｍ　（４）　由Ｇｒｅｅｎ公式、边值条件式（２）及（Ｈ。）有　Ｊｎｈ　（　（　，ｚ））△ｚ　（　，　）　（　ｓ一　・　＝　一　ｉ　：（　）Ｉ　Ｉ　ｄ　≤ｏ，ｔ≥　，　∈，　，　（５）　Ｊａｈ　（　（　，ｔ一　（ｔ）））ａｚ　（　，ｔ一　（ｔ））ｄ　≤０，　ｔ≥Ｔ，ｉ∈，ｍ，　∈，　（６）　其中ｄＳ是ａ　上的面积元素。　令　（ｔ）　（　，ｔ）　，ｔ≥　，ｉ∈，ｍ，显然　（　）＞０，ｔ≥Ｔ，ｉ∈，ｍ。于是由（４）式，（５）式，　（６）式，并结合（，Ｈ　），（Ｈ：）可得　Ｕ；（ｔ）＋ｑ“（　）　（ｔ一　）一　∑　（ｔ）　（ｔ一　）≤０，ｔ≥　，ｉ∈，　．（７）　令　（ｔ）＝∑　（ｔ），ｔ≥　，则　（ｔ）＞ｏ，ｔ≥Ｔ。　不等式（７）按ｉ＝１，２，…，ｍ垂直相加，并结合（Ｈ：）　可得　０≥Ｕ　（ｔ）＋　∑　（ｔ）Ｕｉ（卜　）一∑　ｔ）　（ｔ一　）］＝　Ｕ　（ｔ）＋Ｑ（ｔ）Ｕ（ｔ一　）≤Ｏ，ｔ≥Ｔ。　（８）　（８）式表明Ｕ（ｔ）是微分不等式（８）的一个最终　正解。　又据条件（３）式及文献［１１］中的引理３知，　（ｔ）＋Ｑ（ｔ）Ｕ（ｔ一　）＝０（ｔ≥Ｔ）的每个解都是振动　的。而且由（３）式知，对充分大的ｔ有Ｑ（ｔ）＞一ｌｌ，　ｐ，ｒ　故【Ｑ（ｔ）ｄｔ＝∞。再由文献［１２］中的定理１知，　微分不等式（８）无最终正解。矛盾。定理１证毕。　进一步还可以得到以下定理。　定理２　若Ｊｉｍｉｎｆ』　ｔ一　Ｑ（ｓ）ｄｓ＞÷，则系统　（１），（２）式的所有解在Ｇ内振动。　定理３　若ｌｉｍ　ｓｕｐ』ｔ　一　Ｑ（ｓ）ｄｓ＞１，则系统　（１），（２）式的所有解在Ｇ内振动。　定理４　若微分不等式（８）无最终正解，则系　统（１），（２）式的所有解在Ｇ内振动。　以上定理的证明类似于定理１的证明，故略。　注利用本文的方法可以类似地讨论方程组　（１）满足边值条件　——　＋ｒｊ（　，　）ｔ）　（　，　）ｔ）：ｏ，　ｕ，　（　，ｔ）∈Ｆ，ｉ∈，ｍ＝｛１，２，…，ｍ｝　的解的振动结果，其中ｒ　（　，　）∈Ｃ（Ｒ；Ｒ＋），ｉ∈，ｍ。　只要将文中的假设条件（Ｈ。）改为：　（月　）　ｈ　（　），ｈ　（　）∈Ｃ　（Ｒ；Ｒ＋），　ｉ　：（　ｆ）＞ｔ０，　（　）＞１０，ｉ∈，ｍ，　∈，　。　参考文献　１李永昆．具有偏差变元的双曲型微分方程组解的振动性．数学　学报，１９９７；４０（１）：ｌ０ｏ一１０５　（下转第６８１页）　维普资讯 http://www.cqvip.com

５期　田晓兰，等：用主成分分析法作综合评价时数据的预处理问题　６８１　Ｄａｔａ　Ｐｒｅｔｒｅａｔｍｅｎｔ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｉｎ　Ｕｓｉｎｇ　Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｔｏ　Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　Ｅｓｔｉｍａｔｅ　ＴＩＡＮ　Ｘｉａｏ—ｌａｎ，ＬＩＵ　Ｊｉｎ－ｐｕ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００４４，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ；Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｔａｆｉｓｔｒｃｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，　Ａｎｈｎｉ　Ｆｉｎａｎｃａｌ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂａｎｇｆｕ　２３３０３０，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）　［Ａｂｓｔｒａｃｔ］　Ａｇａｉｎｓｔ　ｗｅａｋｎｅｓｓ　ｉｎ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｒｅｌｅｖａｎｃｅ，ｉｎ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ａｎｄ　ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄａｔａ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｉｎ　ｕｓｉｎｇ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ，ｓｏｍｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ａｒｅ　ｓｔａｔｅｄ　ｏｆ　ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｉｎ　ｍｕｌｔｉ－　ｐｌｅ　ｒｅｌｅｖａｎｃｅ，ｉｎ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ａｎｄ　ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄａｔａ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ａｎｄ　ｐｕｔ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｓｕｇｇｅｓｔｉｏｎｓ．　［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｅｖａｌｕｔｉｏｎ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｒｅｌｅｖａｎｃｅ　ｉｎ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｄａｔａ　ＪｔＪｔＪｔＪｔＪｔＪｔＪ也Ｊ也ＪｔＪ也Ｊ也Ｊ也Ｊ也Ｊ也Ｊ也Ｊ也ｊ也．‘也Ｊ也ｊ也ｊ也ｊ止ｊ也ｊ也ｊ也ｊ也　也ｊ也ｊ止ｊ止ｊ止ｊ也ｊ止ｊ止ｊ止ｊ止ｊ止ｊ止ｊ止ｊ止Ｊ止ｊ止ｊ止ｊ止ｊ也ｊ止　（上接第６７２页）　２　Ｙａｎｇ　Ｊ，Ｇｕａｎ　Ｘ　Ｐ．Ｏｓｃｉｌｌａｉｔｏｎ　ｆｏｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｔｙｐｅ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｐａｒｔｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｐｐ１　ＭａｔｈＯＣＵ，１９９７；１２Ｂ（２）：１６５—１７８　师范大学自然科学学报，２００５；２１（５）：３１—３３，３７　８罗李平，欧阳自根．具有连续分布滞量的非线性中立型双曲偏泛　函微分方程系统的强迫振动性．河南师范大学学报（自然科学　３关新平，杨军．非线性中立型双曲偏泛函微分方程系统的振动　版），２００６；３４（２）：１０—１３　９罗李平．一类拟线性抛物型偏微分方程组解的振动性．云南师范　大学学报（自然科学版），２００６；２６（２）：１７—２０　１０袁扬，刘伟安．一类非线性中立型抛物方程组解的振动判据．　性．系统科学与数学，１９９８；１８（２）：２３９－－２４６　４邓立虎，葛渭高，俞元洪．拟线性抛物泛微分方程组有关边值问　题的振动性．应用数学学报，２００１；２４（２）：２９５—３０１　５　ＬｉＷ　Ｎ，ＭｅｎｇＦＷ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｆｏｒ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｏｆｎｅｕｔｒｌａ　ｐａｒｔｉｌａ　ｄｉｆｆｅｒｅｎ一　ｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ　ｄｅｖｉａｔｉｎｇ　ｒａｇｕｍｅｎｔｓ．Ｄｅｍｏｎ—　ｓｒｔａｔｉｏ　Ｍａｈ，２０ｔ０１；３４：６１９－－６３３　６李伟年，盂凡伟．偏泛函微分方程系统解的强迫振动性．系统科　数学杂志，２００６；２６（３）：２８７—２９１　ｌ１燕居让．　阶非线性时滞微分方程的振动性与渐进性．数学学　报，１９９０；３３（４）：５３７＿５４２　１２魏俊杰．一阶偏差变元微分方程振动的充要条件及应用．数学　学与数学，２００４；２４（３）：３２４—３３１　７罗李平．一类拟线性抛物型偏微分方程系统解的振动性．哈尔滨　学报，１９８９；３２（５）：６３２—　３８　Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｐａｒａｂｏｌｉｃ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＧＡＯ　Ｘｉｎｇ，ＺＨＯＵ　Ｗｅｎ－ｊｉｅ　（Ｚｈｕｚｈｏｕ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｚｈｕｚｈｏｕ，４１２００１，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）　［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｈｅ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｄｅｌａｙ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａ－　ｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｓｏｍｅ　ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｏｒｆ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｂｙ　ｍａｋｉｎｇ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｈｅ　ｉｔｎｔｅｇｒａｌ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ａｎｄ　ｓｏｍｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｆｕｌｌｙ　ｉｎｄｉｃａｔｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｃａｕｓｅｄ　ｂｙ　ｄｅｌａｙ．　［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｅｌａｙ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｏｆ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｐａｒｔｉｌａ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ