维普资讯 http://www.cqvip.com 高校应用数学学报Ａ辑 ２００７，２２（１）：３５—４２ Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．Ｊ．Ｃｈｉｎｅｓｅ ＵｎｉｖＳｅｒ．Ａ ．高阶非线性阻尼脉冲微分方程解的振动性 潘立军 （嘉应学院数学系，广东梅州５１４０１５） 摘 要：研究了一类高阶非线性阻尼脉冲微分方程振动状态，得到振动解的充 分条件． 关键词：高阶；非线性；阻尼；脉冲微分方程；振动 中图分类号：Ｏ１７５．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—４４２４（２００７）０１—００３５—０８ 关于二阶脉冲微分方程的振动性已有一些较好的结果 ，但对一般高阶脉冲微分方程 振动性的研究成果还是不多 引．本文研究高阶非线性阻尼脉冲微分方程，得到了解振动的充 分判据． 考虑高阶非线性阻尼脉冲微分方程 ｚ 。一”（ｆ）） ＋ｐ（ｔ）ｘ 。一 （ｆ）＋ｆ（ｔ，ｚ（ｆ））一０，ｔ≥ｔｏ，ｔ≠ｔ ， ）一 （ｚ“ （ｆ ）），ｉ一０，１，…，２，ｚ一１，ｋ一１，２… （１） ）一ｚ ， 这里，ｚ为正整数，０＜ｆｏ＜ｆ１＜ｆ２＜…＜ ＜…，ｋ一１，２，…．１ｉｍｔ 一＋∞，ｚ（。 （ｆ）一ｚ（ｆ）． 下面四个条件是经常用到的 （Ａ）ｒ（ｆ），Ｐ（ｆ）在［ｆ。，＋。。）上连续，ｒ（ｆ）＞Ｏ，ｆ（ｔ，ｚ（ｆ））在Ｉｔ。，＋。。）×（一ＣｘＤ，＋。。）上连 续，ｘｆ（ｔ，ｚ）＞０（ ≠Ｏ），ｆ（ｔ，ｚ）／ （ｚ）≥ｑ（ｆ），ｑ（ｆ）在［ｆ。，＋。。）上连续，ｑ（ｆ）≥０，且在任何区 间［ｆ，＋。。）上不恒为零， （ｚ）＞Ｏ（ｚ≠Ｏ）， （ｚ）≥Ｏ． （Ｂ）露 （ｚ）在（一。。，＋。。）上连续，且存在正常数日 ， ，ｉ＝０，１，…，２ｎ一１，使得 ≤ ｃ ≤ ａ（ｉ）ｊａ ＝＋。。； ｃ ｌｉａｒ……ｉｔ ａ（ ２ｎ－１）唧 一～ 收稿日期：２００５—０５—０８ 基金项目：广东省自然科学基金（０１１４７１）；广东省高校自然科学研究项目（０１２０） 维普资讯 http://www.cqvip.com ３６ 高校应用数学学报 第２２卷第１期 记 ‘ 一 （ｔ＾＋ｈ）一 ‘ 一 （ｔｋ） ，．（ ），。、 （一 １：～ ，．（ ），。＋、 １：． ‘ 一 （ｆ＾＋＾）一 ‘ 一 （ｆ ） — ， “ （ｆ ）一 ＾—・一 ０ ，‘ ＾—・＋ ０ ｎｚ一１，２，…，２ 一１， ｋ＝１，２，…． 定义１函数 ：Ｉｔ。，ｔｏ＋口）一Ｒ，ｔｏ＞Ｏ，ａ＞Ｏ，称为（１）的解，若它满足： （ｉ） “ （ｆｊＩ）一 ，ｉ一０，１，…，２ 一１； （ｉｉ）当ｔ∈Ｉｔ０，ｔｏ＋口），ｆ≠ 时， （ｆ）满足（ｒ（ｆ） ‘。一 （ｆ）） ＋Ｐ（ｆ） ‘。一 （ｆ）＋厂（ｆ， （ｆ））一０； （ｉｉｉ） “ （ｆ）在ｔ∈Ｉｔ。，ｔ。＋口）处左连续，且满足 “ （ｆ ）一 （ “ （ ））． 定义２方程（１）的解称为非振动的，如果这个解最终为正或最终为负，否则称该解为 振动的，如果（１）式的所有解为振动的，则称（１）式为振动的． 由于高阶非线性脉冲微分方程可化为脉冲微分方程组，而对脉冲微分方程组的整体解 存在性可参看文［６］．在下文中，总假定（１）的解在［ｆ。，＋∞）上是存在的． 引理１（［６］，Ｔｈｅｏｒｅｍ １．４．１）．设 （Ａ。）ｍ∈ＰＣ （Ｒ＋，Ｒ）且ｍ（ｆ）在ｔ ，ｋ一１，２，…处左连续， （Ａ１）对ｋ一１，２，…，ｆ≥ｆ０， ｍ （ｆ）≤Ｐ（ｆ） （ｆ）＋ｇ（ｆ），ｔ≠ｔ＾， （２） ｍ（ｆ ）≤ｄ ｍ（ ）＋ｂ ， （３） 这里Ｐ，ｑ∈ＰＣ （Ｒ＋，Ｒ），ｄ ≥Ｏ，ｂ 是实常数，则 砷）≤础ｏ，ｆ， ＜Ⅱ／ｆＬ＜ｆ ， ｘｐ（ （。 ０ ）＋∑ （Ⅱ ｄ ｐ ’ ＋ ＩⅡ ｅｘｐ（１ ｐ（ａ）ｄａ）ｑ（ｓ）ｄｓ，ｆ≥靠 （４） ０ ｓ＜ｔｋ＜ｔ 注１如果不等式（２）和（３）不等号相反，则不等式（４）的不等号相反． 引理２设 （ｆ）为（１）的解，且条件（Ａ）一（Ｃ）成立，又设对某一ｉ∈｛１，２，…，２ 一１），存 在Ｔ≥ｆ。，使当ｆ≥ 时， ‘ （ｆ）＞Ｏ（＜Ｏ）， ‘… （ｆ）≥Ｏ（≤Ｏ），则存在 ≥ ，使当ｆ≥Ｔ１时， 有 ‘ Ｄ（ｆ）＞Ｏ（＜Ｏ）． 证 仅就括号外情形作证明（括号内情形类似可证）．不妨设Ｔ－－ｔ。，当ｆ∈［ ，＋∞）时， 由 （ （ｆ）＞Ｏ， ‘… （ｆ）≥０，下面证明，存在某个 ，ｔｊ＞Ｔ时，有 “－１ （ｆＪ）＞Ｏ．若不然，对一切 ｔ ＞ 时，有 （Ｈ （ ）≤０，因为 ‘ （ｆ）＞Ｏ，ｆ≥Ｔ，知 ‘卜 （ｆ）在（ ， ＋ ］上单调增加，所以 （ｉ－１）（ｆ）≤０，ｆ≥Ｔ．又因 ‘… （ｆ）≥Ｏ，知 ‘ （ｆ）＞Ｏ且在（ ， ＋ ］上单调不减，从而当ｔ∈（ｆ ， ｔｏ］时，有 ‘ （ｆ）≥ ‘。（ｆ ），特别地，有 “ （ｆ２）≥ “ （ｆ ）＞Ｏ， 同理，当∈（ｆ。，ｔａ］时， ‘。（ｆ）≥ “ （ｆ ）≥口 ｘ（ｔ。）≥口；。 “ （ｆ ），用归纳法可得 ‘ （ｆ）≥ ｌ Ｉ口｛。 “ （ｆ ）， “一Ｄ（ｆ ）≥６｛ｉ－１）ｘ“一Ｄ（ ）． （５） ｆ１＜ｔｋ＜ｔ 由引理１，得 ｘ（ｉ－１）（ｆ）≥ ｃ ｌ （ｆ｝Ｉ）Ⅱ６￡１＜ｔｋ＜ｔ ｛Ｈ ＋ ∽（ｆ ）ｌ：Ⅱ６‘ｌｓ＜ｔｋ＜ｔ ｛ Ⅱｎｆｌ＜ｔｋ＜ ｄｓ一 ｔ ［ｘ（ｉ－１）（ｔ＋ ｔ ． １＜ｆ－＜ｆ ｌ‘、‘ 、 １ ’ ｄｓ］一 ． ㈤维普资讯 http://www.cqvip.com 潘立军：高阶非线性阻尼脉冲微分方程解的振动性 ３７ 注意到口 ＞Ｏ，６ｌｉ－１）＞Ｏ由条件（Ｃ）知当ｔ充分大时， “ （￡）＞Ｏ，与 “ （￡）≤０矛盾．所以 存在某个 ，￡，＞Ｔ时，有 “ （￡，）＞ｏ．则 “ （￡ ）≥口 ｉ－１）ｘ‘ （￡，）＞ｏ，因为 ‘ （￡）＞ｏ，所 以 “ （￡）在（￡，，ｔｊ＋１］上单调增加，从而当ｔ∈（￡，，ｔ川］时，有 “ （￡）＞ “ （￡ ）＞Ｏ特别 地，有 “ （￡，＋１）＞ “ （￡ ）＞０，类似地有ｔ∈（￡，＋ｌ，ｔ，＋２］时，ｚ“ （￡）＞ “ （￡ １）≥ 口川（ｉ－” “ （￡川）＞０．用归纳法可知ｔ∈（￡，＋ ，ｔ，＋ ＋１］时， “ （￡）＞０，所以当ｔ≥ｔ，时， “ （￡）＞Ｏ．因此，存在Ｔ ≥ ，当￡≥Ｔ 时，有 “ （￡）＞Ｏ． 引理３设 （￡）为（１）的解，且条件（Ａ）一（ｃ）成立，又设对某一 ∈｛１，２，…，２，２｝，存在 ≥￡。，当￡≥Ｔ时，有 （￡）＞Ｏ， “ （￡）≤０，且 “ （￡）在任何区间［￡，＋Ｃｘ３）上不恒为零，则当ｔ 充分大时，有 “ ’（￡）＞Ｏ． 证 不妨设Ｔ一￡。．下证对一切ｔｋ≥Ｔ，有 “ （ ）＞Ｏ．若不然，则存在某个ｔｊ≥Ｔ，使 ｃ （￡，）≤０．由 ｃ （￡）≤Ｏ知当愚≥ 时， “ （￡）在任何一个（￡ ，ｔｋ＋１］上单调不增，又由条件 知 ∞（￡）在任一区间［￡，＋Ｃｘ３）上不恒为零．故存在某个￡ｒ≥￡，，使 “ （￡）在（￡ｒ，￡…］上不恒为 零，为方便起见，不妨设ｌ＝ｊ，即 “ 在（￡，，￡ ］上不恒为零，从而有 （ Ｄ（￡川）＜ｚ“ （￡ ）≤口 ｉ－１） “ （￡，）≤０， 又当ｔＥ（ ＋ ，ｔｊ＋ａ］时，有 “一¨（￡）≤ “一Ｄ（￡＋＋１）≤ 口，（ｉ＋－】¨ “一¨（￡，＋１）＜：０， 由归纳法可得当ｔＥ（￡ ＋ ，ｔｊ＋ｍ＋１］时，有 ‘ （￡）＜Ｏ．故在（￡ ＋ｌ，＋Ｃｘ３）上有 “ （￡）＜Ｏ， “ （ ）≤Ｏ．由引理２可得当ｔ充分大时，有 “ （￡）＜Ｏ．依此类推，反复应用引理２，可得当ｔ充 分大时，有 （￡）＜Ｏ．这与 （￡）＞Ｏ（￡≥Ｔ）矛盾．故对一切的ｔｋ，有 “ （￡ ）＞Ｏ，再由 “ （￡） 在（ ，ｔｋ＋ｉ］上单调不增，知当ｔ充分大时，有ｚ“ （￡）＞Ｏ。 引理４设 （￡）为（１）的解，且条件（Ａ）一（Ｄ）成立．又设存在Ｔ≥￡ｏ，当￡≥Ｔ时，有 （ ）＞Ｏ。则存在丁 ≥丁及１６｛１，３，…，２ 一１），使当￡≥丁 时，有 ｊ “ （￡）＞ｏ， —ｏ，１，…， ｊ（一１） “ （￡）＞０， 一 ＋１，…，２ｎ一１． （７） 证 不妨设Ｔ＝ｔ。．因 （￡）＞Ｏ（￡≥￡。），首先证明对一切 ≥Ｔ时 一”（￡ ）＞Ｏ．若不然， 则存在某一自然数Ｊ使得 ，≥丁， ‘ （￡，）≤Ｏ，由（１）及ｇ（￡）≥Ｏ，且在区间Ｉ－ｔ。，＋Ｃｘ３）上不恒 为零，知当（￡ 一 ，ｔｉ＋ｉ］， 一１，２，…时有 ｒｃｚｎ，（￡）＋！： — ｒ（２ ｒ Ｌ Ｊ ｔ—ｏ， 即， ￣ｘ（２＂－ｎ（ｔ）ｅｘｐ（ｆ， （ｆ ．唧ｄｓ）］ 一一 ｅｘｐ（』：， ｄｓ）≤。． ｄｓ）’ ｄｓ）≤ ㈣ 令 则ｓ，（￡）≤Ｏ，ｓ（￡）在区间（ 一 ，ｔｊ＋ｉ］上单调不增．所以当ｔ６（￡，，￡，＋ ］时，ｓ（￡）≤ｓ（￡ ）≤Ｏ，特别 维普资讯 http://www.cqvip.com ３８ 高校应用数学学报 第２２卷第１期 地有ｓ（ ＋ ）≤ｓ（ｆ ）≤０．当ｔＥ（ｆ川，ｔｊ＋ｚ］时，ｓ（ｆ）≤ｓ（ｆ ， ／“川（２ｎ－＂ｓ（ｔ川）≤０，由归纳法知当 ｔＥ（ｆ，＋ ，ｔｊ＋ ＋ ］时，ｓ（ｆ）≤０，又由ｓ（ｆ）≤０及Ｓ （ｆ）≤０，且在任何区间Ｅｔ，＋∞）上不恒为零， 可得ｔ充分大时ｓ（ｆ）＜０，从而ｔ充分大时ｚ 一 ’（ｆ）＜０．不妨设ｆ≥ 时ｚ‘ －”（ｆ）＜０．由此知 ｚ（２一”（ｆ ）一 －１’（ｚ‘ 一 ’（ ））≤ｎｊ 一 ’ｚ‘ 一 ’（ｆ ）＜０．记ｚ‘ 一 ’（ｆ ）一－－ａ（ａ￣Ｏ），又因ｓ（ｆ） 在区间（ ＋ ，ｔｊ＋ｉ］上单调不增．所以 于是 ｚ（２Ｈ一¨（ｔｊ＋ｌ ｅｘｐ（ ｄｓ）≤Ｘ（２ｎ－１）ｃ 一一口＜。． ｚ（ 一１’（ｔｊ＋ｌ ≤一ａｅｘｐ（一 ｄｓ）＜。． ｚｃ 一”（ｔｊ＋ｚ ≤一ｎ （２＋ｎ －”口ｅｘｐ（一ｊ． 。 ＿， ｄｓ）＜０． （９） 同理有 由数学归纳法，得到当ｔ∈（ｆ，＋ ，ｔｊ＋ｍ＋１］时．有 一１）（ ）≤一口Ⅱ，ｔ＜ｆ ＜ｆ矿１ ）ｅｘｐ（’ ＿ ’３ 芸 ｄｓ）＜０． 于ｚ 一 （ｆ ）≤６｛ ’ｚ 一 （ ），ｋ一 ＋１， ＋２，…，由引理１知 又由引理３知，当ｔ充分大时ｚ 一 （ｆ）＞０．为了方便起见，不妨设ｆ≥ 时ｚ 一 （ｆ）＞０．由 Ｘ（２ｎ－２）（ｆ）≤ｚ （ｆ ）Ⅱ ｆＪ一 ＜ｆ＾＜ｆ ａ“ｆ：Ⅱ ）Ｕ ｌｌ＿ａ｛ｚ．－Ｄｅｘｐ（一 ．Ｊ５＜ｆ＾＜ｆ ＜ｆ＾＜５ ｆ，＼“Ｊ ｄｖ 一 ／ 、 ～Ｊ 、 ｔ ｚ，ｊ＜ｔ＾＜ｆ ［ Ｌ 一 Ⅱ 唧（～， —ｊｔ＜ｔｋ＜ｓ ，ｄｖ）ｄｓ］． 因为ｚ 一 （ｆ）＞０（ｆ≥ｆ，），当ｆ一∞时，（１０）与条件（Ｄ）矛盾．因此ｚ 一”（ ）＞０，（ ≥丁），又 因ｓ（ｆ）在区间（ ， ＋ ］上单调不增，得ｓ（ｆ）＞０，所以ｚ‘ －１’（ｆ）＞０，ｔＥ（ ， ＋ ］．故ｆ≥Ｔ时， 有ｚ 一”（ｆ）＞０，从而有ｚ 一 （ｆ）在（ ， ＋ ］上单调增加．若对一切ｔ ，有ｚ 一 （ ）＜０，这 时显然有ｚ 一 （ｆ）＜０（ｆ≥ｆ。）．若有某个ｔ ，使ｚ 一 （ ）≥０，则由ｚ 一 （ｆ）的单调性及 ｎ｛ ’＞０，６｛ ’＞０知当ｔ＞ｔ 时，有ｚ 一 （ｆ）＞０由此知存在丁 ≥丁，使下面两情形之一成 立： （Ａ１）ｚ‘ －１’（ｆ）＞０，ｚ 一 ’（ｆ）＞０，ｔ≥Ｔ１； （Ｂ１）ｚ‘ 一 （ｆ）＞０，ｚ‘ ’（ｆ）＜０，ｔ≥Ｔ１； 当（Ａ ）成立时，利用引理２可知当ｔ充分大时，有ｚ 一 （ｆ）＞０．反复利用引理２，最终可得 当ｔ充分大时，有 ｚ‘ 一 ’（ｆ）＞０，ｚ‘ 一 ’（ｆ）＞０，…，ｚ （ｆ）＞０，ｚ（ｆ）＞０． 当（Ｂ ）成立时，类似前面的讨论，利用引理２可知当ｔ充分大时，有ｚ 一 （ｆ）＞０，且进一步 可推知存在丁 ≥丁 ，当ｆ≥丁 时，有以下两种情形之一成立： （Ａｚ）ｚ 一。’（ｆ）＞０，ｚ 一 ’（ｆ）＞０，ｔ≥Ｔｚ； （Ｂｚ）ｚ‘ 一。’（ｆ）＞０，ｚ‘ 一 ’（ｆ）＜０，ｔ≥Ｔ２； 维普资讯 http://www.cqvip.com 潘立军：高阶非线性阻尼脉冲微分方程解的振动性 ３９ 重复上述讨论，最终可得结论：存在丁 ≥丁及ｚ∈｛１，３，…，２ｎ－－１），使当￡≥丁 时，有 ｆ “’（￡）＞０，ｉ一０，１，…，Ｚ， 【（一１，－１ “’（￡）＞０， —ｚ＋１，ｚ＋２，…，２ｎ一１． 注２ （￡）为（１）的最终负解的情形，也有类似引理３、引理４的结论． 定理１ 设条件（Ａ）一（Ｄ）成立，且存在一个正整数点。使得口ｌ∞≥１，志≥志。．如果 ％ 南ｑ（ｓ）ｅｘｐ ｄｓ＝－ｑ＇－。。， … 则方程（１）的一切解振动． 证不失一般性，假设志。一１．如果（１）有一个非振动解 （￡），不妨设 （￡）＞０（￡≥￡。）．由 引理４及方程（１）知存在Ｔ ≥￡。，当￡≥丁 时，有 ‘ 一 ’（￡）＞０， （￡）＞０， （￡）＞０． （１２） 不妨设Ｔ 一￡。，令 一 ， Ｌ Ｌ￡Ｊ Ｊ 则“（￡ ）＞０（志一１，２，…），“（￡）＞０（￡≥￡。）．由条件（Ａ），方程（１），得 “ （￡）一一 ｐ（ｔ）ｘ‘ 一 （￡）一ｆ（ｔ（ （￡）） ， （￡）） ｒ（ｔ）ｘ‘ ’（￡） （ （￡）） （￡） （ （￡）） ≤ 一 ）一 ）， （１４） 又由条件（Ｂ）和口；ｏ）≥１， （ ）≥０，有 “（ ）一 ！ ≤６ｌ 月一１） ； ≤ （ （￡ ）） ≤６｛ ：二 ： 一（ （￡ ）） ６ｌ 一”“（￡ ）． （１５） ≤ ２ｎ－ｌ￣ｅｘｐ（；：。 — ｘ删一 ｄｓ一 唧＼㈣ｏｔ—Ｐ （ｓ ）Ｉ ｓ ｋ ｄｓ］．（１６ 由（１１）（１６）且“（￡）＞０，当￡一。。时，矛盾．故方程（１）的一切解振动． 定理２设条件（Ａ）－－（Ｄ）成立，ｑｇ（ａｂ）￣ｑｇ（ａ）ｑｇ（ｂ），口６＞０，如果 ｌｉｍ……ｒ＇ ｐ（ｆ０ ＋。。， （１７） 证 如果（１）有一个非振动解 （￡），不妨设 （￡）＞０（￡≥￡。）．由引理４及方程（１）知存在 Ｔ ≥￡。，当￡≥丁 时，有 ‘ 一 （￡）＞０， （￡）＞０， （￡）＞０． 维普资讯 http://www.cqvip.com ４０ 高校应用数学学报 第２２卷第１期 不妨设 一 令 （ ）＝ （￡）＞０（￡≥ ）．容易得到 础 ，＝ 则 （ ）≤一簧筹 （ ）一ｇ（ ）， （ ）＞ｏ（ 一１，２，…）， ≤ ≤ （口｛ｏ）） （ｚ（ ）） ： （口ｌｏ））竹 。 、… 由引理１，得 Ⅱ＜ 唧Ｉｆ』一 ｐ 一— Ｐ （ｖ ）Ｉ ｂ￣２．－１）唧 一 ｋ 筹 ｘ ｄ ＝＋ｏ。， ］・㈣ ㈣ 由（１７）（１９）且 （￡）＞Ｏ，当ｔ－－｝ｏｏｆｌ￣－，矛盾．故方程（１）的一切解振动． 推论１设条件（Ａ）一（Ｄ）成立，且存在一个正整数ｋ。使得口｛ｏ）≥１，６｛２ｎ－－１）≤１，愚≥志ｏ，如 果 则方程（１）的一切解振动． 证不失一般性，假设ｋｏ一１．由口ｌｏ）≥１，６｛ Ｄ≤１，知 １ 【，‘ ≥１．所以 ｐ ｐ ≥ 。 当￡一ｏ。时，由（２０），（２１）知（１１）成立．由定理１，方程（１）的一切解振动． 推论２设条件（Ａ）一（Ｄ）成立，且存在一个正整数ｋｏ和一个正常数ａ＞Ｏ，使得 ≥１，南≥（ ） ，（志≥ ． 如果 ｌｉｍ…（２２） …ｆ＇ ∽ｅｘｐ（』＝０ ｄ 一＋ｏ。， （２３） 则方程（１）的一切解振动． 证不失一般性，假设志。一１．由 ≥（ ） ，得 ｋ ｘｐｐ（ｆ０ ｄ 一 ＋．．．＋ （ｆ０ ｄ ＋ ｑ（ｓ￣ｅｘｐ（；。 ｄ ＋ 维普资讯 http://www.cqvip.com 潘立军：高阶非线性阻尼脉冲微分方程解的振动性 ４１ 呀 ．ｘ 。 ｑ（ｓ）ｅｘｐ（ｆＩ ｄ ＋南ｐ ｄ ≥ ｑ（ｓ＇ｅｘｐ（Ｉ：。 ｄ ＋．．．＋ ≥ 沁 ｘ ¨ｔ３ ｔ ｓ ｄ ）¨…＋ ＋ｌｑ（ｓ＇ｅｘｐｔ ｌｌ ｄ Ｍ≥ ￣ｌ Ｉｆ，ｌｓ＂ｑ（ｓ）ｅｘｐ（ｆｌ。 ¨ ｓ￣ｑ（ｓ＇ｅｘｐ（Ｉｉ。 ¨…＋ －㈤唧 ｄ —ｌ…［＇ｓ＂ｑ（ｓ）ｅｘｐ（ ｆ：。 。。一南，＋ 一 一 （２４ 志一＋ ≥ —ｌ ： （２５）ｆ∈（ ， ＋ ］．当ｆ一。。时，由（２３），（２４）知（１１）成立．根据定理１，方程（１）的一切解振动・ — 推论３设条件（Ａ）一（Ｄ）成立， （口６）≥ （口） （６），口６＞０，存在一个正整数ｋ。和一个正 凿狮ｄ ０．傅得 ≥（ｔｋ ＋１］ ≥ ， 如果 ｌｉｍ一。。 ｓ＂ｑ（ｓ）ｅｘｐ 小：＋∞， Ｉ１ 一则方程（１）的一切解振动・ 推论３可由定理２推出，其证明类似推论２，这里省略・ 例１考虑方程 ）一 ｚ（２ｎ １ （ｆ） １ｚ（２ （ ｔ （ｋ ＜ｚ（志十 —ｚ（志），ｚ‘ｌＩ ｚｌｆ １ …’ｚ Ｉ ２』 ， ｆ ＼ 其中 ｌ。 ：６ｌ。，一１， ：。一６｛ 一 ｋｉ＝ｌ，２，＇＂，２ｎ－１，ｒ（￡）一１， （￡）：一÷，ｑ（￡）一去， （ｚ） 一ｚ．易见条件（Ａ）一（Ｄ）成立，令矗。一１，ａ一１．则 １ 一 一等且 ２１ｍ ｆ＊ｊ＂ｑ（ｓ）ｅｘｐ（ｆ＇。袋舅 ）ｄｓ一＋∞・由推论２，方程（２６）的一切解振动’ 例２考虑方程 维普资讯 http://www.cqvip.com ４２ 高校应用数学学报 第２２卷第１期 ｆ（ｔｘ（Ｚ．－１）（￡）） 一ｚ（２一”（￡）＋ １ ｚ。（￡）一０，￡≥￡。，￡≠ ， ｛ ）一 ） 一 【ｚ（ １）一 １）一 ， 这里ｎｌ０）一６｛∞一 ＝ ” 一１， （２７） ，ｎ 一６｛。一１， 一１，２，…，２，ｚ一１，ｒ（￡）一￡，户（￡）一一１，ｇ（￡）一 击， ）一ｚ３，易见条件（Ａ）一（。）成立．令 。一 ，ａ一３，则喾 一（ ）。一（警）。 且 。ｇ（ ）ｅｘｐ（ 舅ｄ ）ｄ 一＋。。．由推论３，方程（２７）的一切解振动． 。 参考文献： ｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ＯＤＥ ｗｉｔｈ ｉｍｐｕｌｓｅｓ ［１］ Ｗｕ Ｘ Ｌ，Ｃｈｅｎ Ｓ Ｙ，Ｔａｎｇ Ｈ Ｊ．Ｏｓｃｉ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐｕｔ，２００３，１３８：１８１—１８８． ｚｈｅｎ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ＯＤＥ ｗｉｔｈ ｉｍｐｕｌｓｅｓ［Ｊ］．Ｊ ［２］ Ｃｈｅｎ Ｙｏｎｇｓｈａｏ，Ｆｅｎｇ ＷｅｉＭａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，１９９７，２１０：１５Ｏ一１６９． ａｏｗａｎ。Ｌｏｋｅｎａｔｈ Ｄｅｂｎａｔｈ．０ｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ［３］ Ｌｕｏ Ｊｉｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｉｍｐｕｌｓｅｓＤ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，１９９９，２４０：１Ｏ５一ｎ４． ［４］ Ｐｅｎ Ｍ Ｓ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｉｍｐｕｌｓｅｓ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００１，２５５：１６３－１７６． Ｊ］．华南师范大学（自然科学学报），２００３（３）： ［５］ 陈永劭，冯伟贞．高阶线性脉冲微分方程解的振动性［１４～１９． ｋａｎｔｈａｍ Ｖ，Ｂａｉｎｏｖ Ｄ Ｄ，Ｓｉｍｅｏｎｏｖ Ｐ Ｓ．Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］． ［６］ ＬａｋｓｈｍｉＳｉｎｇａｐｏｒｅ：Ｗｏｒｌｄ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ，１９８９：１１—２Ｏ． Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄａｍｐｉｎｇ ＰＡＮ Ｌｉ—ｊｕｎ （Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｍａｔｈ．，Ｊｉａｙｉｎｇ Ｕｎｉｖ．，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ ５１４０１５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄａｍｐｉｎｇ ａｒｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ，ａｎｄ ｓｏｍｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｂｏｕｔ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄａｍｐｉｎｇ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ；ｄａｍｐｉｎｇ；ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ； ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ＭＲ Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：３４Ａ３７
