第３８卷２期 安徽师范大学学报（自然科学版） Ｖ０１．３８ Ｎｏ．２ ２０１５年３月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｈｕｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｍａｒ．２ ０１ ５ ＤｏＩ：１０．１４１８２以．ｃｎｋｉ．１００１—２４４３．２０１５．０２．００３ 一类含ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ算子的时滞微分方程 多点边值问题解的存在性 郑春华 ， 刘文斌２ （１．陕西工业职业技术学院基础部，陕西咸阳７１２０００；２．中国矿业大学数学系，江苏徐州２２１１１６） 摘 要：利用上下解方法和紧向量场方程的解集连通理论研究了一类含ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ算子的时滞微分 方程多点边值问题．得到了这类边值问题解存在的充分条件，并在允许非线性项变号的情况下得到 了该边值问题非负解的存在性，推广和改进了一些已有结果． 关键词：ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ算子；时滞；多点边值问题；上下解方法；连通性 中图分类号：Ｏ１７５．８ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１—２４４３（２０１５）０２—０１１７—０６ 随着科学技术的不断发展，在医学、生态学、自动控制等应用研究领域中提出了大量具有时滞的微分方 程，它们一直受到科学研究人员的广泛关注［ ．由于时滞微分方程的周期边值问题和两点边值问题相对比 较简单，研究工作相对较多，也比较深入，已经出现不少有代表性的结果［２－５】．在多点边值问题方面，常微分 方程的相关问题的研究已经进行了几十年，也已取得不少出色的结果［６－８］，但关于时滞微分方程相应边值 问题的结果还不是很多．在文献［９】中，作者利用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理研究了边值问题 ｆｚ （ｔ）＋ａｐ（ｔ）ｆ（￡，ｚ（ｔ—ｒ）＝０ ｔ∈［０，１） Ｘ（ｔ）＝０，一ｒ≤￡≤０ ｌＸ（１）＝ａｘ（＇７） 正解的存在性． 对于含有ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ算子的时滞微分方程的非局部边值问题，文献［１０］的作者利用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点 定理和Ｌｅｇｇｅｔｔ．Ｗｉｌｌｉａｍｓ不动点定理研究了问题 ｆ（ ｐ（Ｘ ）） ＋ ｐ（ｔ）ｆ（￡，Ｘ（ｔ—ｒ））＝０ ｔ∈（０，１］ Ｘ（ｔ）＝０，一ｒ≤ｔ≤０ 【ｚ（１）＝ｚ（） 正解的存在性． 上下解方法是微分方程边值问题研究中的一种经典方法，在时滞微分方程的多点边值问题的工作中，利 用上下解方法开展研究的还不多．在本文中，我们以上下解方法和紧向量场方程的解集连通理论为工具研究 含有ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ算子的时滞微分方程的多点边值问题 ｆ声ｐ（ｚ ）） ＋ｆ（ｔ， （ ），ｚ（ —ｚ．））＝０ ｔ∈（０，１） ｌ （￡） （￡），一ｒ≤￡≤０ （１） ｌ ｚ（１）：∑ｒｉｍ一－２ ａ：（ ） 解的存在性，得到了边值问题（１）解存在的充分条件，进一步我们还得到了它存在非负解的条件，其中 （ｓ） ，，ｌ－２ ＝Ｉ ｓ Ｉ户一。ｓ， ＞１，０＜ｒ， ＜１，０≤ ＜１，０≤∑ ＜１， ∈ｃ（［一ｒ，０］，Ｒ）且 （ｏ）＝０，ｍ为大于 收稿日期：２０１４—０３—０５ 基金项目：国家自然科学基金（ＮＯ．１１２７１３６４）；陕西工院科研项目（ＮＯ．ｚｋｌ３—４０）． 作者简介：郏春华（１９８２一），男，河南漯河人，讲师，硕士，研究方向：微分方程边值问题． 引用格式：郑春华，刘文斌．一类含ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ算子的时滞微分方程多点边值问题解的存在性［Ｊ］．安徽师范大学学报：自然科学版，２０１５，３８（２）： １１７—１２２． １１８ 安徽师范大学学报（自然科学版） ２０１５焦 ２的整数． １ 预备知识 定义１ 设Ｕ∈Ｃ［一ｒ，１］ｎ Ｃ ［０，１］且 （“ ）∈Ｃ ［０，１］，若Ｕ（ｔ）满足 ｆ（ （ ，）） ＋ｆ（ｔ，“（ｔ），“（ｔ—ｒ））≥０ ｔ∈（０，１） ＿ｊ甜（ｔ）＝ （ｔ），一ｒ≤ｔ≤０ Ｉ ，，ｌ一２ ’ 【 （１）≤∑ （ ） 则称Ｕ（￡）为边值问题（１）的下解，类似可以给出其上解的定义． 下面列出两个文中经常用到的条件， （Ａ１）ＢｖＰ（１）存在下解；０（ ）和上解Ｙ—ｏ（￡）且 ０（￡）≤ ｏ（ｆ）， （Ａ２）厂∈Ｃ（［０，１］×Ｒ×Ｒ，Ｒ）且厂（ｔ，ｘ—ｏ（ ），Ｙ）和ｆ（ｔ，Ｙ一０（ｔ），Ｙ）关于Ｙ单调递增． 引理１［１１］ 设０为Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ中的有界闭凸集，Ｔ：［口，ｂ］×０一ｎ为全连续映射，则集合 Ｓ＝｛（ ， ）Ｉ Ｔ（ ，ｚ）＝Ｘ， ∈［ａ，ｂ］｝ 包含一条连接｛ｎ｝×ｎ与｛ｂ｝× 的连通分支三． 引理２三（ｔ）为边值问题（１）的解的充要条件是 （ｔ）＝ （ｔ）一ｚ （ｔ）是问题 ｆ（ｊ５ （Ｘ ）） ＋ｆ（ｔ，ｚ（ｔ），ｚ（ｔ—ｒ）＋Ｘ （ｔ—ｒ））＝０ ｔ∈（０，１） ｛ｚ（ ）＝０，一ｒ≤￡≤０ （２） 【 （１）＝∑ｒｉｘ（７ｉ） 的解，其中 ＝｛０ ０［ ，。 ． 引理２的证明是容易的，在此略去． 由引理２知，要研究问题（１）解的情况只需讨论边值问题（２）解的情况即可．若三０（ｔ）和Ｙ—ｏ（ｔ）分别为 ＢＶＰ（１）的下解和上解且 ｏ（￡）≤ （￡），容易验证ｘｏ（￡）＝三ｏ（￡）一 （ ）和３＇Ｏ（ ）＝ ０（￡）一Ｘ （ｔ）分 别为￣ｖｐ（２）的下解和上解且５Ｃｏ（ｔ）≤ ０（ｔ）． 定义修正函数 ， （ｔ， （ｔ），ｚ（ｔ—ｒ）＋ｚ （ｔ—ｒ）） ｆｆ（ｔ，ｙｏ（ ）， （￡——ｒ）＋。 （ ——ｒ））— ！ 。（ ）＜ （￡），ｆ∈ （。，１） ＝ ｆ（ｔ，ｚ（ｆ），Ｘ（ｔ—ｒ）＋ （ｔ—ｒ）） ｚｏ（ ）≤ｚ（ｔ）≤Ｙ０（ｔ），ｔ∈（０，１） 【ｆ（ｔ，ｘｏ（ ），ｚ（￡一ｒ）＋ｚ （ 一ｒ））一兰｛ ｚ（ｔ）＜ｚ。（￡），ｔ∈（。，１） Ｆ（ｔ， （ｔ），ｚ（ｔ—ｒ）＋ｘ （ｔ—ｒ）） ｆ厂 （ｔ， ｏ（ｔ），Ｙ０（ｔ—ｒ）＋ｘ （ｔ—ｒ）） Ｙ０（ｔ—ｒ）＜ （ｔ—ｒ），ｔ∈（Ｏ，１） ＝＿｛Ｊｒ （ｔ，ｓｃ（ ），ｚ（ｔ—ｒ）＋ｚ （ｔ—ｒ））ｘ０（ｔ—ｒ）≤Ｘ（ｔ—ｒ）≤Ｙ０（ｔ—ｒ），ｔ∈（０，１） 【ｆ （ｔ， ｏ（ｔ），ｘｏ（ｔ—ｒ）＋ｘ （ｔ—ｒ）） （ｔ—ｒ）＜ｚｏ（ｔ—ｒ），ｔ∈（０，１） 对于修正的边值问题 ｆ（ （ｚ ）） ＋Ｆ（ｔ，ｘ（ｉ）， （ｔ—ｒ）＋ｚ （ｔ—ｒ））＝０ ｔ∈（０，１） ｊ ｚ（￡）＝０，一ｒ≤ ≤０ （３） ｌｚ（１）＝∑ｆｉｘ（ ） 有下面的引理３． 引理３ 若条件（Ａ１）和（Ａ２）成立，则对ＢｖＰ（３）的解ｚ（ｔ）有 ０（ｔ）≤ （ｔ）≤Ｙ０（ｔ），ｔ∈（Ｏ，１）成 寺． ３８卷第２期 郑春华，刘文斌： 一类含ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ算子的时滞微分方程多点边值问题解的存在性 １１９ 证明 设ｚ（ｔ）为ＢＶＰ（３）的任意一个解，若 （ｔ）≥Ｘｏ（ｔ）不成立，则存在ｔｏ∈［０，１］使得ｚ（ｔｏ）一 ｚ０（ｔｏ）＝ ｍｉｎ［ｚ（￡）一Ｘ０（ ）］＜０．由于 （０）一ＳＯ（０）＝０，故ｔｏ∈（Ｏ，１］．如果ｔｏ＝１，贝Ｕ ．，，ｌｔ Ｌ—ｆ・１ Ｊ ｚ（１）一戈ｏ（１）≥∑ （ （ｒ／ｉ）一Ｘｏ（ｒ／ｉ））≥∑ （ （１）一ＳＯ（１））， 利用０≤∑ ＜１可知ｚ（１）一ＳＯ（１）≥０，这与￡０的定义矛盾，从而ｔＯ∈（ｏ，１）．易知 （￡０）一ｓ＇ｏ（ｔｏ）＝ ０且存在正数 满足 （ｆ）一Ｓ ｏ（ ）＜０ ∈（ｔ０一 ，ｔＯ）， 再结合 的单调性可知 ． （ｚ （ ））＜ （ ｏ（ ））ｔ∈（ｔ０一 ，ｔｏ），从而有（ ｘ ）一 （ ｏ）） （ｔｏ）≥０． 另一方面，由ＢＶＰ（３）中的第一个方程、修正函数及下解的定义可知 （ ｘ ）一 （ｚ ｏ）） （ｔｏ） ≤厂（ ０，ｚ０（ｔｏ）， ｏ（ ０一ｆ）＋ｘ （ｔｏ—ｒ））一Ｆ（ｔｏ，ｚｏ（ｔｏ），ｚ（ｔｏ—ｆ）十 （ｔｏ—ｆ）） （１）若ｚ（ｔ０一ｒ）≤ ０（ ｏ—ｒ），贝０ （ （ ）一 （ｚ ｏ）） （ｔｏ） ≤，（ｔｏ，ｓ０（￡０ ），Ｓ０（ ０一ｒ）＋ｓ （ｔｏ—ｒ））一厂（ｔｏ，ｓｏ（ｔｏ），ｘｏ（ｔｏ—ｒ）＋ｘ （ｔｏ—ｒ）） ４。－ 一’ 二 ＝：丛 —————————— —＝————————一＜ｏ‘ Ｉ，．． １＋ （ｔｏ） １＋ （ｔｏ） 、 。 （２）若ｚ（ｔ０～ｒ）＞ｚｏ（ｔｏ—ｒ），则利用条件（Ａ２）可知 （ ｓ ）一 （ｚ ｏ）） （ｔｏ） ≤厂（￡。，ｚ。（ｔｏ），ｚ。（￡。一ｒ）＋ｚ （￡。一ｒ））一ｆ（ｔｏ，ｘｏ（ｔＯ），ｚ（ 。一ｒ）＋ （ｔ０－－ｖ））＋兰 ≤，（ 。，。 。（￡。）， 。（ 。一ｒ）＋。 （ 。——ｒ））——厂（ 。， ｒ。（ 。）， 。（ 。——ｒ）＋ （ 。一ｒ））＋！！ ； ＝ ＜。 显然和前面的结论矛盾，因此，．ｚ（ ）≥Ｘｏ（￡）成立．类似可以证明ｚ（￡）≤ｙｏ（￡）． ２ 主要结果及证明 定理１ 设条件（Ａ１）一（Ａ２）成立，则边值问题（１）有解． 证明 利用引理２和引理３可知，要证明边值问题（１）有解，只需证明边值问题（３）有解即可 将边值问题（３）和下解转化为方程组的形式， ｆＸ １＝ ｑ（Ｓ２） Ｉ Ｘ ２＝一Ｆ（ｔ，ｚ１（ ）， １（ｔ—ｒ）＋ｓ （ｔ—ｒ））ｔ∈（０，１） １ ｚ１（￡）＝０，一ｒ≤￡≤０ （４） ｌ ｍ一２ 【ｚ１（１）＝∑ｒ １（ ） ｆ ０１＝ 口（ｚ０２） Ｉｚ ｏ２≥一厂（ｔ，ｚ０１（ ），Ｘ０１（ —ｒ）＋ｚ’（ｔ—ｒ）） ∈（０，１） ．１ Ｓｏ１（ ）＝０，一ｒ≤ｔ≤０ ｌ ｍ一２ 【Ｘ０１（１）≤∑ｒｉｘ０１（ ） 其中ｑ＞１，满足吉十－－ｑ１＝ｌ，类似可以将上解也转化为方程组的形式．显然，如果ｚ（ ）＝（ｚ－（￡）， ｚ（ ））Ｔ 是ＢＶＰ（４）的一个解，则Ｘ （ｔ）一定是ＢＶＰ（３）的解．因此，要证明边值问题（３）有解，我们只需证明边值问题 １２０ 安徽师范大学学报（自然科学版） ２０１５正 （４）有解． 为了利用引理１证明ＢＶＰ（４）有解，引入以下几个定义． Ｘ＝｛ｚ Ｉ ｚ＝（ １（ｔ）， ２（ｔ））丁∈Ｃ［一ｒ，１］×ｃ［ｏ，１］，ｚ１（ｔ）＝０，ｔ∈［一ｒ，０］， １（１）＝∑ｆｉｘ１（ ）｝， Ｙ＝ｃ［ｏ，１］×ｃ［ｏ，１］， 并定义范数 Ｉ ＩＩＪ ｘ＝ｍａｘ｛ｌ Ｘｌ ｌ ｏ，Ｊ ２ Ｉ ｏ｝，对Ｖ ∈Ｘ， Ｉ ｌｙ ｌ Ｉｙ＝ｍａｘ｛Ｉ Ｙｌ ｌ ｏ，Ｉ Ｙ２ Ｉｏ｝，对Ｖ ｙ∈Ｙ， 其中ｌ ｚ ｌ。 ｍａｘｕＩｌ】Ｉ （ ）Ｉ显然，Ｘ和Ｙ分别在范数Ｉｌ・Ｉｌ ｘ和ＩＩ・ｌＩ ｙ下成为Ｂａｎａｃｈ空间・ 下面证明存在常数Ｍ＞０使得ｍａｘ Ｉ Ｘ２（ｔ）｛＜Ｍ． 首先证明ｚ２（ｔ）在［Ｏ，１］上有零点．事实上，如果ｚ２（ｔ）＞０，ｔ∈［０，１］由ＢｖＰ（４）中的第二个方程可 知ｚ ｌ（ ）＞０，ｔ∈［０，１］，故ｚｌ（１）＞ｚｌ（ｔ）≥Ｘ１（０）＝０．另一方面，利用０≤∑ ＜１和ｚ１（１）＝ ∑ｒｉｘ１（ ）≤∑ｒ １（１）可得Ｉ１（１）≤ｏ，矛盾．类似可证Ｘ２（ ）＜０，ｔ∈［０，１］也不可能，故Ｘ２（ｆ）在［０， １］上有正有负，利用微分中值定理知结论成立． 再利用的有界性和ＢｖＰ（４）中的第二个方程可得Ｍ的存在性． 定义算子： Ｌ：Ｄ（Ｌ） Ｘ—Ｙ， ： ＝（Ｘ １（ｔ），ｚ ２（ｔ）） ｒ，ｔ∈（０，１） Ｎ：Ｘ—ｙ。 ｆ（ 口（Ｍ），一Ｆ（ｔ，ｚ１（ｔ），ｚ１（ｔ—ｒ）＋Ｘ （ｔ—ｒ））） 。 Ｍ＜ｚ２（ｔ） Ｎｘ＝｛（ ｑ（ｚ２（ ）），一Ｆ（￡，２Ｃ１（ｆ），．７２１（ 一ｒ）＋ｚ （ｔ—ｒ）））Ｔ —Ｍ≤Ｘ２（￡）≤Ｍ， 【（‰（一Ｍ），一Ｆ（ｔ，ｘｌ（ ），Ｘｌ（ｔ—ｒ）＋５ｃ （ｔ—ｒ）））Ｔ ｚ２（ｚ）＜一Ｍ 其中Ｄ（Ｌ）＝｛ ｌ Ｘ∈Ｘ ｎ Ｃ ［０，１］×Ｃ ［０，１］｝．易证 ＫｅｒＬ＝｛Ｘ ｌ ＝（ｚ１（ｔ），Ｘ２（ｔ））Ｔ∈Ｘ，Ｘ１（ｔ）＝０，Ｘ２（ｔ）＝ｃ，ｃ∈Ｒ｝， ＩｍＬ Ｉ ∈ｙ （ｓ）ｄｓ＝ ＇Ｙｌ㈤ ． 定义算子 Ｐ：Ｘ—ＫｅｒＬ， ＝（０，ｚ２（０））Ｔ； 一ＩｍＱ， ＝（胁 一摹＿ ｉ㈤ ， 易知Ｘ：ＫｅｒＬ④ＫｅｒＰ，Ｙ＝ＩｍＬ ０ Ｒ，对任意的Ｘ∈Ｘ有ｚ＝Ｃ＋ ，其中 Ｃ＝［０，ＣＩＴ∈ＫｅｒＬ，Ｗ：［ １（ｔ），伽２（ｔ）］Ｔ∈ＫｅｒＰ． 令Ｌ６＝Ｌ ｆＤ（Ｌ）ＮＫ。 Ｐ：Ｄ（Ｌ）ｎ ＫｅｒＰ—ＩｍＬ， 则Ｌｐ具有连续的逆算子，记Ｋ ：Ｌ； ，ＫｐＱ＝ＫＰ（Ｉ—Ｑ）．由于Ｋ 全连续，．『一Ｑ和连Ｎ续，从而ＫｐＱ全 连续． 容易验证问题（４）等价于 』ｗ＝ＫＰｌＱＮ（Ｃ＋ｗ）＝０ （卜Ｑ）Ｎ（ｃ＋ｗ （５） 若记Ｔ（ｃ，ｗ）＝ＫＰ（ｆ—Ｑ）Ｎ（Ｃ＋Ｗ），利用Ｆ的有界性可得Ｎ也是有界算子，进一步可知存在有界闭凸 集ｎ ＫｅｒＰ使得Ｔ（ｃ， ） ，进而利用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理容易证明对任意的Ｃ∈Ｒ都有 ∈ｎ满 足（５）中的第一个方程，即 Ｗ（ｃ）＝｛ ＩＷ：ＫＰ（ —Ｑ）Ｎ（Ｃ＋ｗ）｝≠ ． ３８卷第２期 郑春华，刘文斌： 一类含ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ算子的时滞微分方程多点边值问题解的存在性 １２１ 由引理１可知对任意的优，７ｚ∈Ｒ且 ＜ ，集合Ｓ：｛（ｆ， ）Ｉ （ｆ， ）＝Ｗ，Ｃ∈【 ， Ｊ｝包含 一条连接｛优｝Ｘ Ｗ（ ）与｛ ｝×Ｗ（，ｚ）的连通分支三． 对于任意的Ｃ∈Ｒ，由于集合Ｗ（ｃ） ０有不依赖于ｃ的界，故可以选Ｃ１∈Ｒ取使得Ｃｌ十Ｗ２（ｔ）＞ Ｙ０２（￡），ｔ∈（０，１），Ｗ∈ ｗ（Ｃ１），这里Ｙｏ（ ）＝（ ０１（ ），Ｙｏ２（ ））Ｔ为相应于边值问题（４）的上解． 由 ＱＮ（Ｃ＋Ⅳ）＝（胁ｃ十 （ｃ＋ 可知要使（５）中的第二个方程成立，只需证明存在（Ｃｏ，Ｗ０）使得式子 胁 ㈤ 一ｉ妻ｃ。＋ （ ０ ＝ｌ 成立即可，其中Ｗｏ＝（Ｗｏ１（ ），础０２（ ））１’∈ｗ（Ｃｏ）．利用上解的定义和 的单调性可得 胁 ｉ ＝１ ｄｓ ：（１一∑７＂ｉ） （ｃ ＋叫ｚ（ｓ））ｄｓ＋∑ ｌ （ｃ１＋训２（ ））ｄｓ ≥（１一∑ｍ－２ ） ０２（ ¨妻， （ ０２（ ＝（１一∑ｒ＝１ １） ｏ１（５）ｄｓ＋∑ｒｉ；１ ｆＩ ０１（ ）ｄｓ ＝（１一∑ ）ｙｏｌ（１）＋∑ （ ｏｌ（１）一Ｙ０１（ ）） ： ｏｌ（１）一∑ｒ ０１（ ）≥０ 同理可选常数ｃ２＜ｃｌ使得ｃ２＋Ｗ２（ｔ）＜ｚ０２（￡），ｔ∈（０，１），Ｗ∈Ｗ（ｃ２）．类似于上面的证明可知 胁ｃ： ㈤ ≤ ㈥ 成立．再利用 的连通性和介值定理可知存在 ０∈［ｃ２，ｆ１］及相应的Ｗ０使得（ｃ０，Ｗｏ）∈ 且方Ｎ（５）中 的第二个方程也成立．记Ｃｏ＝［０，ｃ０］Ｔ，则Ｃ０十Ｗ０为方程（５）的解，也为ＢＶＰ（４）的解， ｏｌ（ｔ）为问题（２） 的解，进而利用引理２可知ＢＶＰ（１）有解． 推论１ 设ｆ（ｔ，ｚ，ｊ，）满足 （Ｂ１）ｍｉ‘ ｌ∈［０．ｎ，１】 ｆ（￡，０，０）≥０且存在常数ｂ＞０满足ｍａｘ ｆ（￡，ｂｔ，ｂｔ—ｂｒ）≤０，ｌｔ Ｌｕ．１】 （Ｂ２）ｆ（￡，０，Ｙ）和ｆ（ｔ，ｂｔ，ｙ）关于Ｙ单调递增； 则ＢＶＰ（１）有非负解． 证明容易验 ㈤＝ ０ ０｛ ＜。 ＝ 。 ＜。分别为聊（１）的下 解和上解且三ｏ（ ）≤ ｏ（ｔ），利用定理１可知ＢＶＰ（１）存在解Ｘ（ｔ）满足０≤ｚ（ｔ）≤ｂｔ，ｔ∈［０，１］，即 ＢＶＰ（１）存在非负解． 例 考虑边值问题 ｌ（Ｉ ｆ Ｘ ） 一Ｘ２丢≤ （ ）一ｚ（ ）＋ｚ（ 一专）＋￡２＋音＝０。 ∈（０，１） ㈤ ，一【 （１）： １ （丢）＋ １ ｚ（号） 对照边值问题（１）可知厂（ ，ｚ， ）＝一ｚ２一ｚ＋ ＋ｔ２＋ １（￡）＝ｆ２，ｒ＝ １， ＝， 丢，＇７２＝吉，ｒｌ ＝吉，ｒ２＝寺．显然，ｆ（￡，Ｘ，Ｙ）的值可正可负，取ｂ＝１易知下面的式子成立， １２２ 安徽师范大学学报（自然科学版） ２０１５矩 积 】厂（ ，ｏ，０）＝丢＞ｏ． Ｘ］ （ ， ， ～丢）＝一÷＜０， 易验证条件（Ｂ１）、（Ｂ２）成立，利用推论１可知边值问题（６）存在非负解ｘ（ｔ）满足０≤ｘ（ｔ）≤ｔ，ｔ∈［０，１］． 参考文献 ［１］Ｊａｃｋ Ｈａｌｅ．泛函微分方程理论【Ｍ］．北京：世界图书出版公司２００３． ［２］ＳＨＵ Ｘ Ｂ，ＨＵＡＮＧ Ｌ Ｈ，ＬＩ Ｙ Ｊ．Ｔｒｉｐｌｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ｓｅｃｏｎｄ．ｏｒｄｅｒ ｎｅｕｔｒａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｆｉｏｎ［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａｌｙｓｉｓ．２００６，６５（４）：８２５—８４０． 【３］ＷＡＮＧＹＹ，ＺＨＡＯｗｘ，ＧＥｗＧ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅｐｏ￣ｔＮｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒ＇ｏｏｕｎ６ａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｄｅｌａｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈ ｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐ－Ｌａｐｌａｅｉａｎ［Ｊ】．Ｊｏｕｒｎ￣ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｎａｌＡｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７，３２６（１）６４１—６５４． ［４】ＢＡＩ Ｄ Ｙ，ＸＵ Ｙ Ｔ．Ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７，５３（９）：１３６１—１３６６． ［５］ＭＡ Ｒ Ｙ Ｘｕ Ｊｉａ，Ｈａｎ Ｘ Ｌ＿Ｇｌｏｂａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１２，２１８（１０）：５９８２—５９８８． ［６】ＷＡＮＧ Ｙ Ｍ．Ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ２ｎｔｈ－ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｕｌｔｉ－ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， ２０１０，２１７（５）：２２５１—２２５９． ［７］ＳＵＮ １３ｏ，ＧＥ Ｗ Ｇ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｓｔｕｒｍ Ｌｉｏｕｖｉｌｈ－ｌｉｋｅ ｐ－Ｌａｐｌａｅｉａｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］． ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａｌｙｓｉｓ，２００８，６９（４）：１４５４—１４６１． ［８］ＬＩ Ｆ Ｆ，ＳＵＮ Ｊ Ｔ，ＪＩＡ Ｍｅｉ．Ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｃｓｏｎｄ・ｏｒｄｅｒ ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ ｏｕｎｄａｒｂｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｏｌｓｕｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｖｅｒｓｅｄ ｏｒｄｅｒ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１１，２１７（９）：４８４０—４８４７． ［９】ＷＡＮＧ Ｗ Ｂ，ＳＨＥＮ Ｊ Ｈ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｏｌｓｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ ｍｕｌｔｉ—ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｄｅｌａｙ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， ２００７，１８８（１）：９６—１０２． ［１０］ＤＵ Ｂｏ，ＨＩｄ ＸＰ，ＧＥＷＧ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏ ａｔｙｐｅｏｆｍｕｌｔｉ－ｐｏｉｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｗｉｔｈｄｅｌａｙ ａｎｄｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐ－Ｌａｐｌａｅｉｎ［Ｊ］．ａ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉ．ｏｉｌ，２００９，２０８（２）：５０１—５１０． ［１１］徐登洲，马如云．线性微分方程的非线性扰动［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９４． Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ Ｍｕｌｔｉ－Ｐｏｉｎｔ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ Ｗｉｔｈ Ｄｅｌａｙ ａｎｄ Ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ Ｏｐｅｒａｔｏｒ ＺＨＥＮＧ Ｃｈｕｎ．ｈｕａ ，ＬＩＵ Ｗｅｎ—ｂｉｎ２ （１．Ｂａｓｉｃ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｓｈａａｎｘｉ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｘｉａｎｙａｎｇ ７１２０００，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｍｉｎｉｎｇ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｕｚｈｏｕ ２２１１１６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｍｕｌｔｉ—ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ｄｅｌａｙ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｓｅｔ ｔｏ ｃｏｍｐａｃｔ ｖｅｃｔｏｒ ｆｉｅＩｄ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ。ｓｏｍｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｔｈｅ ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｏｌｕｔｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｔｅｍ ｉｓ ａｌｌｏｗｅｄ ｔｏ ｃｈａｎｇｅ ｓｉｇｎ．Ｓｏｍｅ ｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅｄ． ．Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｄｅｌａｙ；ｍｕｌｔｉ．ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｏｌｓｕｔｉｏｎｓ；ｃｏｎｎｅｃｔｉｖｉｔｙ
