第27卷第2期2011年4月
大 学 数 学
COLLEGEMATHEMATICS
Vol.27,l.2Apr.2011
一类具有强阻尼项的二阶偏微分方程组解的振动性
蔡江涛, 罗李平, 杨 柳
(衡阳师范学院数学系,湖南衡阳421008)
[摘 要]研究一类具有强阻尼项的二阶时滞偏微分方程组解的振动性,通过利用Riccati变换、引入参数函数,获得该类方程组在Robin,Dirichlet边值条件下振动的充分判据.
[关键词]阻尼项;偏微分方程组;振动性
[中图分类号]O175.23 [文献标识码]A [文章编号]1672-1454(2011)02-0068-04
近年来,二阶偏微分方程(组)及二阶阻尼微分方程解的振动性研究受到普遍关注,并陆续取得一些成果
[2-13]
.本文讨论一类二阶具有强阻尼项的时滞偏微分方程组解的振动性,通过利用Riccati变换、
引入参数函数,获得该类方程组在Robin、Dirichlet边值条件下振动的充分判据..考虑如下的具有强阻尼项的二阶时滞偏微分方程组
5ui(x,t)5ui(x,t)52ui(x,t)+pi(t)-ai(x,t)$-bi(x,t)$ui(x,t-D)+qi(t)ui(x,t)=025t5t5t
tIR+,xI8,iIIm=
边值条件为:
(B1)
5ui(x,t)+B(x)ui(x,t)=0, xI58,iIIm;5N1,2,,,m.
(1)
(B2)ui(x,t)=0, xI58,iIIm.
式中N表示58的单位外法向量,B(x)IC(8,(0,+])).
本文总假设下列条件成立:
(H1)R+=[0,+]),GSR+@8,GT=[T,+])@8,8IRm是具有逐片光滑边界58的有界区域,$是Rm中的m维拉普拉斯算子,D>0;
(H2)pi(t)IC(I,R),qi(t)IC(I,R+),I=[t0,+]),t0\\0,pi(t)可微,p(t)=min{pi(t)},iII
m
q(t)=min{qi(t)},ai(x,t)IC(8@R+,(0,+])),a(t)=iII
m
xI8,iIIm
max{ai(x,t)},bi(x,t)IC(8@R+,
(0,+])),b(t)=
xI8,iII
max{bi(x,t)}.
m
定义1 称向量函数u(t,x)=(u1(t,x),u2(t,x),,,um(t,x))T为边值问题(1),(B1)((1),(B2))的解,若它在G上满足系统(1)及边值条件(Bi)(i=1,2).
定义2 称数值函数v(t,x):GyR为非振动的,若它最终为正或最终为负;反之,称v(t,x):GyR为振动的.称向量函数u(t,x):GyRm为非振动的,若它的每一分量都是非振动的;称向量函数u(t,x):GyRm为振动的,若它至少有一分量作为数值函数是振动的.
引理1
[1]
设K0是如下Robin特征值问题:
$5(x)+K5(x)=0, xI8,K是常数,
[收稿日期]2008-05-07
[基金项目]湖南省自然科学基金资助项目(06JJ5001);湖南省教育厅计划项目(10C0490)
第2期 蔡江涛,等:一类具有强阻尼项的二阶偏微分方程组解的振动性
55(x)+B(x)5(x)=0, xI585N引理2[1] 设K1是如下Dirichlet特征值问题:
$5(x)+K5(x)=0,xI8, K是常数,
5(x)=0,xI58,
的最小特征值,51(x)是与K1对应的特征函数,则K1>0,51(x)>0,xI8.
首先考虑边值问题(1),(B1)解的振动性.
定理1 设D={(t,s):t\\s\0},HI(D;R)满足(i)H(t,t)=0,t\0,H(t,s)>0,t>s\0;(ii)H在D上关于第二个变量的偏导数连续且非正;
(iii)存在hIC(D,R),使得
-1
+
+
69(2)
的最小特征值,50(x)是与K0对应的特征函数,且B(x)IC(8,(0,])),则K0>0,50(x)>0,xI8.
(3)
5H(t,s)=h(t,s)5sH(t,s), t>s\0.
2
Qc(s)H(t,s)(-p(s)-K0a(t))]}ds=+],
Q(s)若存在Q(t)IC(I,R),R=(0,+]),使得
t
11{H(t,s)Q(s)q(s)-Q(s)[h(t,s)-limsupty+]4H(t,t0)t0
Q则边值问题(1),(B1)的所有解在区域G内振动,其中K0由问题(2)确定.
证 反证法.设边值问题(1),(B1)有一个非振动解,
u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t),,,um(x,t))T,
不失一般性,不妨设当t\1>0时,有ui(x,t)>0,iIIm.令
i=sgnui(x,t),yi(x,t)=Diui(x,t),D
则yi(x,t)>0.令t0=t1+D,则yi(x,t-D)>0,iIIm.将方程(1)两边乘以50(x)并关于x在8
上积分,有
QQQ
-b(x,t)$y(x,t-D)5(x)dx+q(t)y(x,t)5(x)dx=QQ
yi(x,t)50(x)dx+p(t)8
i
0
d2dt2dyi(x,t)50(x)dx-dt8
8
i
a(x,t)$8
5yi(x,t)50(x)dx5t(4)
8
0
0 (t\0>0).
Q
由Green公式及边值条件(B1)及(H2)有
5yi(x,t)5
5yi(x,t)5yi(x,t)550(x)5t$50(x)dx=[50(x)-]dS+8585t5N5t5NQ
i
Q
8
5yi(x,t)$50(x)dx5t(5)(6)(7)(8)
Qy(x,t)5(x)dx,
Q$y(x,t-D)5(x)dx=-KQy(x,t-D)5(x)dx,
5y(x,t)da(x,t)$5(x)dx[-Ka(t)y(x,t)5(x)dx,Q5tdtQQb(x,t)$y(x,t-D)5(x)dx[-Kb(t)Qy(x,t-D)5(x)dx.
8
i
0
8
0
0
8
i
0
8
i
i
0
0
8
i
0
8
i
i
0
0
8
i
0
d=-K0
dt
式中dS是58上的面积元素.
令
Vi(t)=
Qy(x,t)5(x)dx,
8
i
0
Vi(t-D)=
Qy(x,t-D)5(x)dx.
8
i
0
显然Vi(t)>0,Vi(t-D)>0.于是由(4)-(8)式可得
Vdi+[p(t)+K0a(t)]Vci(t)+q(t)Vi(t)+K0b(t)Vi(t-D)[0.
进而有
Vdi+[p(t)+K0a(t)]Vci(t)+q(t)Vi(t)[0.(9)70令V(t)=
大 学 数 学 第27卷
i=1
EV
m
i
(t),t\\T1,则有V(t)>0,t\0.不等式(9)按i=1,2,,,m垂直相加,可得
0a(t)]Vc(t)+q(t)V(t)[0.Vd+[p(t)+K
(10)
令w(t)=Q(t)Vc(t),t\\T0\0,结合(9)式可得
V(t)
Qc(t)Q(t)Vd(t)Q(t)[Vc(t)]2
wc(t)=w(t)+-Q(t)V(t)V2(t)
Qc(t)-p(t)-K12
0a(t)w(t)-w(t).Q(t)Q(t)Qc(t)12
Q(t)q(t)[-wc(t)+[-p(t)-K0a(t)]w(t)-w(t).
Q(t)Q(t)[-Q(t)q(t)+
将(11)两边乘以H(t,s)积分(t>T>t0),得
(11)
QH(t,s)Q(s)q(s)ds
1[H(t,T)w(T)+
Q4
T
tT
t
h(t,s)-
Qc(s)-p(s)-K0a(t)H(t,s)Q(s)2
2
Q(s)ds
2
-
QT
t
h(t,s)-t
Qc(s)H(t,s)-p(s)-K0a(t)
Q(s)21h(t,s)-4
Q(s)ds
+
H(t,s)w(s)
Q(s)2
ds
(12)
2
[H(t,T)w(T)+
对于t\\T\0,令
A(T,t)S
t
Q
T
Qc(s)H(t,s)-p(s)-K0a(t)
Q(s)Q(s)ds.
QT
1H(t,s)Q(s)q(s)-Q(s)h(t,s)-4
Qc(s)-p(s)-K0a(t)H(t,s)Q(s)ds.(13)
则由(12)得A(T,t)[H(t,T)w(T).
由H(t,s)的性质(i),(ii)可得
A(T0,t)[H(t,T0)w(T0)[H(t0,T0)w(T0)[H(t,t0)w(T0).
由(13),(14)得
A(t0,t)=A(t0,T0)+A(T0,t)[H(t,t0)
于是有
A(t0,t)limsup[ty+]H(t,t0)
这与定理条件
t
11QH(t,s)Q(s)q(s)-(s)h(t,s)-limsupty+]H(t,t0)t04
矛盾,(10)无最终正解,故假设不成立.
Tt
(14)
QQ(s)q(s)ds+
0
Tt
w(T0)
0
QQ(s)q(s)ds+
00
w(T0).
2
QQc(s)
H(t,s)-p(s)-K0a(t)
Q(s)ds=+],
下面考虑边值问题(1),(B2)解的振动性.
借用引理2,类似定理1的证明可得定理2,证明略.
定理2 设D={(t,s)Bt\\s\0},HI(D;R)满足(i)H(t,t)=0,t\0,H(t,s)>0,t>s\0;(ii)H在D上关于第二个变量的偏导数连续且非正;(iii)存在hIC(D,R),使得
-5H(t,s)=h(t,s)
5s若存在Q(t)IC1(I,R+),R+=(0,+]),使得1limsupty+]H(t,t0)
H(t,s),t>s\0.
Qc(s)-p(s)-K1a(t)H(t,s)Q(s)2
Qt
0
t
1H(t,s)Q(s)q(s)-Q(s)
4
h(t,s)-
ds=+],
1由问题(3)确定.则边值问题(1),(B2)的所有解在区域G内振动,其中K第2期 蔡江涛,等:一类具有强阻尼项的二阶偏微分方程组解的振动性71
[参 考 文 献]
[1] GilbargD,TrudingerNS.Ellipticpartialequationsofsecondorder[M].Berlin:Springer-Verlag,1977.
[2] HsuHB,YehCC.Ocillationtheoremsforsecondorderhalf-lineardifferentialequations[J].Appl.Math.Lett,
1996,9(6):71-77.
[3] LiHJ,andYehCC.Anintegralcreterionforoscillationofnonlineardifferentialequations[J].Math.Japonica,
1995,41(1):185-188.
[4] LiHJ.Ocillationcriteriaforsecondorderlineardifferentialequations[J].Math.Anal.andAppl,1995,(194):
217-234.
[5] ManojlovicJV.Ocillationcriteriaforsecondorderhalf-lineardifferentialequations[J].MathComput.Medolling,
1999,(30):109-119.
[6] YuVRogovchenko.Onoscillationofasecondordernonlineardelaydifferentialequation[J].FunkcialEkvac,2000,
43:1-29.
[7] 王光培,傅希林,俞元洪.一类时滞双曲方程的振动准则[J].数学研究与评论,1998,18(1):105-111.[8] 李永昆.具有偏差变元的双曲型微分方程组解的振动性[J].数学学报,1997,40(l):100-105.[9] 李伟年.时滞抛物方程组解的振动性定理[J].数学的实践与认识,2001,31(2):143-147.
[10] 邓立虎,葛渭高,俞元洪.拟线性抛物泛函微分方程组有关边值问题的振动性[J].应用数学学报,2001,24(2):
295-301.
[11] ZhangYT,LuoQ.Ontheforcedoscillationofsolutionsforsystemsofimpulsiveneutralparabolicdifferential
equationswithseveraldelays[J].JofMath,2006,26(3):272-276.
[12] 罗李平,欧阳自根.一类脉冲中立型时滞抛物方程组的振动性[J].应用泛函分析学报,2006,8(3):257-2.[13] 张全信,燕居让.一类二阶非线性阻尼微分方程的振动性[J].系统科学与数学,2004,24(3):296-302.
OscillationofSolutionstoaClassofSecondOrderPartialDifferential
EquationSystemswithStronglyDampingTerms
CAIJiang-tao, LUOLi-ping, YANGLiu
(Dept.ofMath.,HengyangNormalUniversity,Hengyang421008,China)
Abstract:Oscillatorypropertiesofsolutionstoaclassofsecondorderpartialdifferentialequationsystemswithstronglydampingtermswerestudied.SomecriteriaofsufficientconditionsfortheoscillationofallsolutionsofthesystemswereobtainedunderRobinandDirichletboundaryconditionsbymakinguseofRiccatitransformationandintroducingparameterfunction.
Keywords:dampingterm;systemsofpartialdifferentialequations;oscillation
