州雩ｊｊ宽．乡掉 ２０１５年１２月第２９卷第６期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｄｅｅ．２０１５ Ｖｏ１．２９ Ｎｏ．６ 强阻尼非线性波动方程的解半群存在吸收集 班爱玲 （池州学院数学与计算机学院，安徽池州２４７０００） 【摘要］无穷维动力学统在非线性科学中极为重要，而波动方程是一类重要的无穷维动力系统，本文讨论具有临界增长指数的强阻尼非 线性波动方程的解所确定的解半群存在有界吸收集． 【关键词】强阻尼；波动方程；吸收集 【中图分类９１０１ ７ ５ 【文献标识码】Ａ ［文章编号】１ ６７４一ｌ１Ｏ２（２０１５）０６—００１７—０２ １ 引言 由文献【１］中的结果知，在（２）一（４）的条件下，系 设ｎ是 中的一个有界开子集，且边界ａ 统（１）存在唯一的连续解ｕ（ ，满足对 充分光滑，考虑下面波动方程的初边值问题： Ｖｔ≥０ ，Ｕ （ ））∈Ｃ（Ｒ ； （ ｘＬ （ ），系统（１）定义 ｆＭ ＋ｈ（ｕ ）一ａＡｕ 一△ｕ＋ （ ＝ｇ（ ， ∈Ｑ，ｔ＞０ 了一族解映射 ｛ｕ（ｘ，ｔ）Ｊ ＝０，ｔ＞０ ， （１） Ｓ（ ）：＠。， ） — （ｕ（ ），Ｕ Ｏ）） ，Ｅ— Ｅ，ｔ≥０， ｌＭ ，ｏ）＝ＵＯ（ ，“ ，０）＝ （ ， Ｅ Ｑ 其中Ｕ＝ｕ（ｘ，ｆ）是Ｑｘ［ｏ，＋。。）上的一个实值函 且｛ｓ …是Ｅ上的一个连续算子半群． 数， ＞０称为强阻尼系数，ｈＥＣ （Ｒ； ，ｇ㈤ｅＬ （ ， 定义［２］设Ｅ是一个Ｂａｎａｃｈ空间，｛５Ｏ）｝…是Ｅ 非线性项厂∈Ｃ （尺； 具有临界增长指数，且 上的半群，对于有界集Ｂ ∈Ｅ，如果对于任何有界 （０）＝０． 集ＢｅＥ，存在ｆ。 。， ＞０，当ｔ≥￡。（Ｂ。， ＞０时，有 设Ｇ（ｕ）＝ ＿厂（ ）山，并设函数ｆ，ｃ满足下列条件： ５∽Ｂ 。，则称Ｂ 为半群的有界吸收集． ｖ ∈尺，ｌｉｍ ｉｎｆ ≥０． （２） ３ 有界吸收集的存在性 ｌｕｌ… Ｕ‘ 存在常数Ｃ ＞０，Ｖｕ∈ ，使得 为了下面问题研究带来方便，在Ｅ中定义一 ｌｉｍ ｉｎｆ 二 ≥０． ｆ３１ Ｉ“Ｉ— Ｕ （ ， ＝ｔ４ｕ。，Ｍ ） ＋ ， ：），ｌ ＩＩｌ ＝（咖，（￣ １／２ ， （５） ．存在常数ｃ ＞０，０≤ｐ≤４，Ｖｕ ＥＲ，使得 ｊ厂 （“）Ｉ≤ｃ２（１＋ＩＭＩ ）． （４） 本文主要讨论系统（１）的解所确定的解半群存 在一个有界吸收集． ４＋（ｅｔ Ａ，＋ｆｌ１）ａ ＋／３２２： ２预备知识 ——————————— ，２（ａａ＋／３／＂２ ∈【 ，Ｊ， Ｊ， ４＋ １ １） ＋ 一 设算子Ａ＝一△：Ｄ（ ＝ （Ｑ）ｎＨ ）是自伴的、 其中 ，卢 是两个正常数，满足 正定的、线性的，Ａ的特征值｛、 Ａ ｝满足：Ｊ∈ ０＜Ａ１≤Ａ ２≤…≤Ａｆ≤…，Ａ ＋∞ ＋∞）． 设空间Ｅ＝ （Ｑ）ｘＬ ），Ｅ。＝ 。 ）ｎ ））× ） 其中 ≥卢，＋ｍｉｎ｛１， ｝．显然（５）所定义Ｅ上 是两个Ｈｉｌｂｅｒｔ空间， Ｉ为空间 （ ）中的范数， 的范数ＩＩ・ 等价于Ｅ中通常的范数． Ｉ 为空问 （ 中的范数． 设 ＝（“， ， ＝ ＋ Ｍ，其中 收稿日期：２０１５—０３—２３ 基金项目：池州学院自然科学研究项目（２０１３ＺＲＺ００６）。 作者简介：班爱玲（１９８２一），女，安徽巢湖人，池州学院数学与计算机学院讲师，研究方向为微分方程与动力系统。 １８ ｏｔＡ１＋ １ 一 ————— — 池州学院学报 第２９卷 ， 其中Ｐ＝． ， ＝ｍｉｎ（１，１６ｃ。），由（８），（１２）得， ４＋２（ａａ１＋卢１） ＋＿Ｐ ２ ＋ ≤ 则系统（１）可以化为以下初值问题： ＋Ａ（咖）＝Ｆ（ ， （ｏ）＝ 。，Ｕ。＋ “。Ｔ，ｔ＞０，（６） 由Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式得， ｌＩｇｌＩ （ｆ ＋ｃｌｆＩ）， ， 其中 ｙ ≤ｙ（０）ｅ ＋ １ ＩｌｇＩＩ ＋ ，㈣＝（ ㈤＋ｇ］，Ａ㈣＝ＩｏＡＵ －一ｙ （ 一咖＋（ 一咖＋ 一圳）． 因此，有 （６）的解也定义了一个连续算子半群： ｜ｓ ： 。， ＋８Ｕ０） —＋ ，ｕ ＋ ）） ，￡＞１０，Ｅ—｝Ｅ，且 满足Ｌｓ ＝Ｒ Ｓ（ｔ）Ｒ一其中Ｒ ：（“， 一（ｕ， ＋ 是 Ｅ中的一个同构，因此，仅需考虑系统（６）． ￣ＩＮ［３］对Ｖ ＝（ｕ， ｅＥ，有 ， ≥训训 ≥ 『，（７） 其中 ｏｒ ＝——— 兰＋ ｙ２ ， ｌ＝—————— — — ，４＋（ｕａ＋ｆｌ ２：（０ 】 １＋ｌｆ ＋） ＋ 一．譬ｒ－ｚ‘ ，，） ＋ 定理存在一个正常数ｒ。＞０，对于Ｅ中的任意有 界集Ｂ，存在 （ ＞０，使得对于咖（ｏ）ｅＢ，系统（６） 的解咖 ＝ ， ） ，满足： １１＇４（ｔ）［Ｉ ＝（／ｚｌｌｕ（ｔ）ｌｌ ＋ＩＩｖ（ｔ）ｌｌ ） ≤ｒ。，Ｖｔ≥Ｔｏ㈣１＞０． 证明：设 ＝ＬＧ ，用咖＝（ｕ， 与方程（６）两边 作内积（．，．） 得， ｌ ｄ ｕ Ｉ ｌ２＋２ ）＋（Ａ（ｑｂ），咖） ＋ （ ， ＝ ∽， ）（８） 由条件（２），（３）得， 存在两个正常数Ｚ…ｌ≥０，使得 ＠ ））－ｃｌ ＋ ｚ ／＞０，Ｖ ∈ ）， （９） ＋ ｌ ／＞０，Ｖｕ￣Ｈｏｂ（ｔ２）， （１０） ＋去ＩＩ ｚ ≥０，Ｖ ∈ ㈣， （１１） 由（１０）得，２Ｇ—（ｕ—）＋２ｌ，≥一丢ｌｌ“ＩＩｉ＞￣一￣１１＇４ＩＩ：， ， 由上面所定义的 ， 易得， ＜ ＜ ． 设ｙＱ）＝ ． ＋２Ｇ一（ｕ）＋２ｌ ＞Ｉ￣１１＇４（ｔ）ＩＩ：． ≥０，再 由（７），（９），（１１）得， （Ａ（ ， 蚰＋ｓ ㈦，Ｕ） ≥铷岍ＩＩ Ｉ Ｉ）慨。 （ｕ）一 ＋ ，（１２） ≥ｌｐｙ－ｓ（１ ＋ｃ１ｆ。）＋ ＩＩ ２—０ ４ｙ（０）ｅ ‘ １ ｌｌｇＩＩ２＋２ ） ０． 由（４）知，存在正常数ｃ，，使得 Ｉ厂（ ）Ｉ≤ｃ，（１＋Ｉｕｌ ），Ｖ ｅＲ． （１３） 对Ｅ中的任意有界集，有 ｐＩ Ｉ≤ｒ ｒ为正常 数）．如果咖（０）ｅＢ，那么 由Ｌ５㈣ＣＨ ㈣和（１３）知，存在Ｃ ：Ｃ４（ｒ），使得 ＩＡ 。）Ｉ≤ｃ ，再由（９）知，存在ｃ ：ｃ （ｒ），有 。）≤ＩＩ“。 ＩＡ ｆ（ｕ。）ｌＩ＋ Ｉ ｌ。ｌ『＋ｌ ≤ｃ 因此，存在ｃ ＝ｃ （ｒ），使得 ｙ（０）＝１１＇４（ｏ）１１： ＋２ 。）＋２１ ≤ｃ ． 因而系统（６）的解咖 ＝ ， ） ，咖（０）∈Ｂ满足： ｌ Ｉ）ｌｌ ２ ｃ ｅ－ｏｒ＋４‘ １ ｌＩｇＩＩ ＋ 兰 ），ｔ≥。． 令ｒ。２＝８‘ １ ＩＩｇＩＩ。＋ ！ ）， ≥。． 定理得证． 因此，半群｛５（ 。存在一个有界吸收集 Ｂｏ＝｛ ， ）∈Ｅ： ）ｌｃ＋ｌｌ （ｔ）ｌｌ ≤ｒ 参考文献： ［１］Ｃａｒｖａｌｈｏ Ａ Ｎ ａｎｄ Ｃｈｏｌｅｗａ Ｊ Ｗ．Ｌｏｃａｌ ｗｅｌｌ ｐｏｓｅｄｎｅｓｓ ｆｏｒ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｄａｍｐｅｄ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅｓ［Ｊ］．Ｂｕｌ１． Ａｕｓｔｒａ１．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，２００２，６６：４４３—４６３． ［２］Ｔｅｍａｍ．Ｒ，Ｉｎｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｄｙｎａｍｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍａ ｉｎ Ｍｅ－ ｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ［Ｍ】／／Ａｐｐｌ＿Ｍａｔｈ．Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ６．２ｎｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９９７． ｆ３］Ｚｈｏｕ Ｓ Ｆ．Ｇｌｏｂａｌ ａｔｔｒａｃｔｏｒ ｆｏｒ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｄａｍｐｅｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１９９９（６）：４５１—４７０． 【责任编辑：桂传友】
