2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

数学Ⅰ

参考公式: 样本数据x1,x2,1n,xn的方差sxixni1221n，其中xxi．

ni1棱柱的体积VSh,其中S是棱柱的底面积，h是高．

1棱锥的体积VSh,其中S是棱锥的底面积，h为高．

3一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．（1）【2016年江苏，1，5分】已知集合A1,2,3,6，Bx|2x3，则A【答案】1,2

【解析】由交集的定义可得AB1,2．

B_______．

【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大，属于基础题． (2）【2016年江苏,2，5分】复数z12i3i，其中i为虚数单位，则z的实部是_______． 【答案】5

【解析】由复数乘法可得z55i,则则z的实部是5．

【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．

x2y2（3）【2016年江苏,3,5分】在平面直角坐标系xOy中,双曲线1的焦距是_______．

73【答案】210 【解析】ca2b210，因此焦距为2c210．

【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质,考查学生的计算能力，比较基础

（4)【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4。7，4。8,5。1,5.4，5。5，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1

1【解析】x5.1，s20.420.32020.320.420.1．

5【点评】本题考查方差的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． （5）【2016年江苏，5，5分】函数y32xx2的定义域是_______． 【答案】3,1

【解析】32xx2≥0，解得3≤x≤1,因此定义域为3,1．

【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．

（6)【2016年江苏,6，5分】如图是一个算法的流程图,则输出a的值是________． 【答案】9

【解析】a,b的变化如下表：

a 1 5 9 b 9 7 5 则输出时a9． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具)先

后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

5【答案】

6【解析】将先后两次点数记为x,y，则共有6636个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有

4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种,则点数之和小于10共有30种，概率为

1

305． 366【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用．

23,S510，Sn是其前n项和．（8）【2016年江苏，8，5分】已知an是等差数列，若a1a2则a9的值是_______． 【答案】20

5a110d10，【解析】设公差为d，则由题意可得a1a1d3，解得a14,d3，则a948320．

【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用．

y（9)【2016年江苏，9,5分】定义在区间0,3π上的函数ysin2x的图象与ycosx的图象的交点个数是________．

【答案】7

【解析】画出函数图象草图，共7个交点．

【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数ysin2x与ycosx在区间

1xO-120,3上的图象是关键，属于中档题．

（10）【2016年江苏，10,5分】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆

Ob的右焦点，直线y与椭圆交于B,C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是________． 26【答案】 33ab3abb,C【解析】由题意得Fc,0,直线y与椭圆方程联立可得B，222,2,由BFC90可得 23ab3ab32122c,CFc,BFCF0，BF,，则cab0,由b2a2c2可得 222244yxyB1ab022ab 22CFxc263212． ca,则ea3342【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能

力，属于中档题．

xa,1x0,(11)【2016年江苏，11,5分】设fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上fx2

x,0x1,559 其中aR，若ff,则f5a的值是________．

222【答案】

5111151912159【解析】由题意得ffa，ff,由ff可得a，

22222521022210332则a,则f5af3f11a1．

555【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性,根据已知求出a值,是解答的关键．

x2y40,（12）【2016年江苏，12,5分】已知实数x,y满足2xy20, 则x2y2的取值范围是________．

3xy30,4【答案】,13

5【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下:x2y2为可行域内的点到原点距离的平方．

可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线2xy20的距离，

d241254，则x2y2，图中B点距离原点最远，B点为x2y40min552

4321–4–3–2–1–1–2–3–4A1234yBx与3xy30交点，则B2,3，则x2y2max13．

AEF2【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键． (13）【2016年江苏，13,5分】如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上两个三等分点，

BACA4,BFCF1，则BECE的值是________．

7【答案】

8【解析】令DFa，DBb，则DCb，DE2a，DA3a，则BA3ab，CA3ab,

DBE2ab,CE2ab,BFab,CFab，则BACA9ab，BFCFab， B22222225213BECE4ab,由BACA4，BFCF1可得9ab4,ab1,因此a,b，

882245137 因此BECE4ab．

888【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算,平面向量的线性运算，难度中档． （14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形ABC中,sinA2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是_______． 【答案】8

【解析】由sinAsinπAsinBCsinBcosCcosBsinC，sinA2sinBsinC,

222C可得sinBcosCcosBsinC2sinBsinC（＊）,由三角形ABC为锐角三角形，则cosB0,cosC0, 在（*)式两侧同时除以cosBcosC可得tanBtanC2tanBtanC，

tanBtanC又tanAtanπAtanBC（＃)，

1tanBtanCtanBtanC则tanAtanBtanCtanBtanC，由tanBtanC2tanBtanC可得

1tanBtanC22tanBtanC，令tanBtanCt，由A,B,C为锐角可得tanA0,tanB0,tanC0， tanAtanBtanC1tanBtanC2t22由（#）得1tanBtanC0，解得t1,tanAtanBtanC，

111tt2t11111111,由t1则02，因此tanAtanBtanC最小值为8， 2ttt24tt4当且仅当t2时取到等号,此时tanBtanC4,tanBtanC2，

2解得tanB22,tanC22,tanA4（或tanB,tanC互换），此时A,B,C均为锐角．

【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识,有一定灵活性． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过．．．．．．．．

程或演算步骤．

（15）【2016年江苏，15,14分】在△ABC中，AC6,cosB （1）求AB的长;

πcosA6的值．  (2）求

AB6ABAC，即:AB52． sinCsinB，2352272（2）cosAcosCBsinBsinCcosBcosC,cosA,又A为三角形的内角，sinA,

1010

π31726cosAcosAsinA．

62220【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式,考查学生的计算能力,属于中档题．

4π，C．

45解:(1）cosB43，B为三角形的内角，sinB，553

（16）【2016年江苏,16,14分】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D,E分别为AB,BC的中点，

点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，AC11A1B1．求证: （1)直线DE//平面A1C1F; （2）平面B1DE平面A1C1F．

解：（1）D,E为中点，又DE//AC，DE为ABC的中位线，

A1C1B1FABCA1B1C1为棱柱，AC//AC11

ACDDE//AC11,又

(2）

且AA1又

AC11平面A1C1F,且DEAC11F，DE//平面A1C1F．

AC11A1B1，

EBABCA1B1C1为直棱柱，AA1平面A1B1C1,AA1AC11,又

A1F平面AA1B1B，DEA1F，又

A1FB1D，DEA1B1A1,AA1,A1B1平面AA1B1B，AC又DE//AC11平面AA1B1B，11,DE平面AA1B1B，

B1DD，且DE,B1D平面B1DE,

A1F平面B1DE，又A1FAC11F，平面B1DE平面A1C1F．

【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明,把握常用方法最关键，难答不大． （17）【2016年江苏，17,14分】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四

P棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示）,并要求正四棱柱 D1C1B1的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

(1）若AB6m,PO12m，则仓库的容积是多少；

O1A1 （2)若正四棱锥的侧棱长为6m,当PO1为多少时，仓库的容积最大?

D112O解：（1）PO12m，则OO18m，VPA1B1C1D1=SABCDPO16224m3, A33VABCDA1B1C1D1=SABCDOO1628288m3，V=VPA1B1C1D1VABCDA1B1C1D1312m3，故仓库的容积为312m3． (2)设PO1xm,仓库的容积为V(x)，则OO14xm，A1O136x2m，A1B1236x2m，

211122VPA1B1C1D1=SABCDPO1722xx72x2x324xx3m3,

3333CBVABCDA1B1C1D1=SABCDOO1722x24x288x8x23m3,

226Vx=VPA1B1C1D1VABCDA1B1C1D124xx3288x8x3x3312x0x6,

33V'x26x231226x2120x6，当x0,23时，V'x0,Vx单调递增，

当x23,6时,V'x0,Vx单调递减，因此，当x23时,Vx取到最大值，

即PO123m时，仓库的容积最大．

【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． （18）【2016年江苏，18,16分】如图，在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M：

x2y212x14y600及其上一点A2,4．

y （1）设圆N与x轴相切，与圆M外切,且圆心N在直线x6上,求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BCOA，求直线l的方程;

(3)设点Tt,0满足:存在圆M上的两点P和Q，使得TATPTQ，求实数t的取值范

围．

解：（1)因为N在直线x6上，设N6,n，因为与x轴相切，则圆N为x6ynn2,

22MAOxn0,又圆N与圆M外切,圆M：x6x725，则7nn5，解得n1，

即圆N的标准方程为x6y11．

(2）由题意得OA25,kOA2 设l:y2xb，则圆心M到直线l的距离d则BC252d2225127b21222225b5，

5b52，BC25,即2254

5b5225,

解得b5或b15,即l:y2x5或y2x15． （3)TATPTQ,即TATQTPPQ,即TAPQ，TA即t2242，又PQ≤10,

t2242≤10,解得t2221,2221，对于任意t2221,2221，欲使TAPQ，

TA42此时TA10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为25，必然与圆交于P、Q两

点,此时TAPQ，即TAPQ，因此对于任意t2221,2221,均满足题意,

综上t2221,2221．

【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题，解题时

要认真审题,注意圆的性质的合理运用．

（19）【2016年江苏，19,16分】已知函数fxaxbxa0,b0,a1,b1． （1)设a2，b1． 2①求方程fx2的根;

②若对于任意xR,不等式f2x≥mfx6恒成立,求实数m的最大值;

（2）若0a1,b1，函数gxfx2有且只有1个零点，求ab的值． 11解：（1）①fx2，由fx2可得2xx2，

22xx 则2x22x10，即2x10,则2x1，x0．

22②由题意得22x21x1≥m2x2x2211xxx6恒成立，令t2x，则由20可得t≥22x2,

2244t244 此时t2≥mt6恒成立，即m≤当且仅当t2时 t恒成立∵t≥2时t≥2t4，

tttt等号成立，因此实数m的最大值为4．

lnabxbxxxxx(2）gxfx2ab2，g'xalnablnbalnb,由0a1,b1可得1,

alnbablnalna令hx,则hx递增，而lna0,lnb0,因此x0logb时hx00, lnbalnbax因此x,x0时,hx0，axlnb0，则g'x0；xx0,时，hx0,axlnb0， 则g'x0；则gx在,x0递减,x0,递增，因此gx最小值为gx0，

xlogb2时，xloga2时，① 若gx00，则gx0；axaloga22，bx0，ax0，bxblogb22，

则gx0;因此x1loga2且x1x0时，gx10，因此gx在x1,x0有零点， x2logb2且x2x0时，gx20，因此gx在x0,x2有零点， 则gx至少有两个零点，与条件矛盾；

② 若gx00，由函数gx有且只有1个零点，gx最小值为gx0，可得gx00, lnalna 由g0a0b020，因此x00，因此logb1，即lnalnb0， 0，即lnblnba 因此lnab0，则ab1．

【点评】本题考查函数与方程的综合应用,函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用,考查分析

问题解决问题的能力．

（20）【2016年江苏，20,16分】记U1,2,,100．对数列an（nN*）和U的子集T，若T，定义ST0；

若Tt1,t2,

,tk,定义STat1at2atk．例如：T1,3,66时，STa1a3a66．现设an（nN*）

5

是公比为3的等比数列，且当T2,4时，ST30． (1)求数列an的通项公式；

(2）对任意正整数k（1≤k≤100),若T1,2,,k,求证：STak1；

（3)设CU,DU，SC≥SD，求证：SCSCD≥2SD．

解：（1)当T2,4时,STa2a4a29a230，因此a23，从而a1a21，an3n1． 33k1k(2)ST≤a1a2ak13333ak1

2BDCD，AB，SCSASC（3)设ACCD，

2k1DSDSBSC，

D, SCSCD2SDSA2SB，

因此原题就等价于证明SA≥2SB．由条件SC≥SD可知SA≥SB． ① 若B，则SB0，所以SA≥2SB．

② 若B,由SA≥SB可知A，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，

若m≥l1，则由第⑵小题，SAal1≤am≤SB,矛盾．因为AB，所以lm,所以l≥m1，

S3m1am1al SB≤a1a2am1333≤≤A，即SA2SB．

2222综上所述，SA≥2SB,因此SCSCD≥2SD．

2m1【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．

数学Ⅱ

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做，则按作答 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B（21—A）【2016年江苏，21—A,10分】（选修4—1：几何证明选讲)如图，在△ABC中，ABC90，EBDAC，D为垂足,E是BC中点，求证：EDCABD．

1AD解：由BDAC可得BDC90,由E是BC中点可得DECEBC，则EDCC, 2由BDC90可得CDBC90，由ABC90可得ABDDBC90,因此ABDC， 又EDCC可得EDCABD．

【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于

中档题．

12（21—B）【2016年江苏，21—B，10分】（选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A,矩阵B的逆矩阵0211B2，求矩阵AB．

02112211511244111解:BB22,因此AB4． 10201010102222【点评】本题考查逆变换与逆矩阵,考查矩阵乘法的性质,属于中档题． （21-C)【2016年江苏，21-C，10分】（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的

1C1x1t,xcos,2参数方程为t为参数,椭圆C的参数方程为y2sin,为参数,设直线l与椭圆C相交于

y3t,2A,B两点,求线段AB的长．

6

y2解：直线l方程化为普通方程为3xy30,椭圆C方程化为普通方程为x1，

4123xy30x2x183167120联立得，解得或，因此AB1． y2y07771xy8347【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用，是基

础题．

aa（21-D）【2016年江苏，21-D】(本小题满分10分)(选修4—4：不等式选讲）设a0,x1,y2,求证:

332xy4a．

2a2a2aa可得2x2,2xy4≤2x2y2a． 3333【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，

属于基础题．

【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内． y．．．．．．．．．．．解：由x1(22）【2016年江苏，22,10分】如图,在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:xy20，抛物

线C:y2pxp0．

2lC（1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程;

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．

①求证：线段PQ上的中点坐标为2p,p; ②求p的取值范围．

解：（1)l:xy20，l与x轴的交点坐标为2,0,即抛物线的焦点为2,0，Oxp2，y28x． 2y12x122py2pxyy22p1（2）① 设点Px1,y1,Qx2,y2，则：12，即2,kPQ21， 2y2pxyyyy22112y2x222p2p2pyy2又P,Q关于直线l对称，kPQ1，即y1y22p，1p，

2xxyy2又PQ中点一定在直线l上，121 22p,线段PQ上的中点坐标为2p,p；

22y1y22py1y22py1y22p22② 中点坐标为2p,p,即，， y1y22222yy8p4pyy4p4pxx42p1212212p24即关于y22py4p24p0有两个不等根，0,2p44p24p0，p0,．

3【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． (23）【2016年江苏,23，10分】

4（1）求7C364C7的值；

mm（2）设m,nN*，n≥m，求证:m1Cmmm2Cm1m3Cm24解：(1）7C364C77204350．

mm2nCmn1n1Cnm1Cn2．

（2)对任意的mN*，

m2① 当nm时，左边m1Cmmm1，右边m1Cm2m1，等式成立，

② 假设nkk≥m时命题成立，即

mmm1Cmmm2Cm1m3Cm2mm2kCmk1k1Ckm1Ck2，

7

mm 当nk1时，左边=m1Cmmm2Cm1m3Cm2mmkCmk1k1Ckk2Ck1m1Cm2k2k2Cmk1

，

k3!k2!m2m22m1Cm1Cm1 右边m1Cm,而 k3k2k3m2!km1!m2!km!k2!k1!mk3km1k2k2C m1k1 m2!km1!m!km1!2mm2 因此m1Cmk2k2Ck1m1Ck3,因此左边=右边，因此nk1时命题也成立，

综合①②可得命题对任意n≥m均成立．

m1另解：因为k1Cmkm1Ck1，所以

1m1左边m1Cmm1m1Cm21m1m1m1Cmn1m1Cm1Cm21Cmn1又由CCknkn1Ck1n1

1Cmn1，

，知

2m1Cmm2Cm21m1m1Cmn1Cm1Cm22m2m1m211CmCmCmn2Cn1Cn1Cnnn1所以，左边右边．

【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运

用．

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