第4章 线性离散系统的状态空间分析法2-恢复

第4章 线性离散时间系统的状态空间分析法

4.1 4.2

线性离散时间系统的状态空间方程 状态空间方程的时域解

4.2.1 时域解 4.2.2 Z域解

4.3

4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4

能控性、能达性、能观性和能测性

状态能控性 状态能达性 状态能观性 状态能测性

4.4 实现

4.4.1 由差分方程求实现 4.4.2 由传递函数求实现

4.4.3 带有零阶保护器的传递函数的离散化实现

4.5

4.5.1 4.5.2 4.5.3

传递函数、特征方程及稳定性

传递函数 特征方程 稳定性

4.6 4.7

反馈系统分析 敏感性和鲁棒性

状态空间方程

x(k1)Fx(k)Gu(k)y(k)Cx(k)Du(k)

：x(k)n×1——状态向量；

u(k)r×1——输入向量； y(k)m×1——输出向量；

Fn×n——状态（一步）转移矩阵； Gn×r——输入矩阵； Cm×n——输出矩阵；

Dm×r——(输入输出)直传矩阵， 一般只考虑D=0的情况，式4.1成为

x(k1)Fx(k)Gu(k)y(k)Cx(k) ？？？

u(k)x(k+1)1x(k)y(k)G+zC+F图4.1 线性离散时间状态空间方程变量结构图

4.1

4.2

4.1 .其中

4.2 状态空间方程的时域解

4.2.1 时域解

由式4.1，设有初始值x(0)=x0，为n×1矩阵，及输入序列阵u(k), k=1, 2..... 可得

x(0)=x0

x(1)=Fx0+Gu(0)

x(2)Fx(1)Gu(1)F2x0FGu(0)Gu(1)

x(3)Fx(2)Gu(2)F3x20FGu(0)FGu(1)Gu(2)

……

x(k)Fkxk10FGu(0)Fk2Gu(1)......FGu(k2)Gu(k1)Fkk1xikk10FGu(k1i)Fx0Fk1iGu(i)i0i0Fkx0Fk1G*u(k1)y(k)Cx(k)CFkk1xi0CFGu(k1i)i0 定义状态转移矩阵

(k)Fk 其意义是对于另输入时的状态，有

x(kn)Fkx(n) 则式4.3成为

k1x(k)(k)x0(i)Gu(k1i)i0k1y(k)C(k)x0C(k1i)Gu(i)i0C(k)x0C(k1)*Gu(k1) 零输入解零状态解其中

4.3

4.4

4.5

4.6

k1k1C(i)Gu(k1i)C(k1i)Gu(i)C(k1)*Gu(k1)i0i0 注意上式中，矩阵函数卷积时前后顺序不能颠倒。

4.2.2 Z域解

对式4.1两边分别求Z变换，并考虑初值x(0)=x0,有

zX(z)zx0FX(z)GU(z)

X(z)(zIF)1zx10(zIF)GU(z)Y(z)C(zIF)1zx10C(zIF)GU(z)

对式4.1定义Z域（输入-输出）传递函数矩阵G(z)和（状态-状态）转移矩阵Φ(z)

G(z)C(zIF)1G(z)(zIF)1z 式4.8成为

X(z)(z)x10(zIF)GU(z)Y(z)C(z)x0G(z)U(z) 再对式4.8进行Z反变换，得

x(k)Z1[(zIF)1z]x(0)Z1[(zIF)1GU(z)]y(k)CZ1[(zIF)1z]x(0)Z1[C(zIF)1GU(z)]

比照式4.9，

x(k)Z1[(z)]x110Z[(zIF)GU(z)]y(k)CZ1[(z)]x10Z[G(z)U(z)]CZ1[(z)]x 0Z1[G(z)]1(k1)*Z1[U(z)]对比式4.11和式4.6可知

(k)Z1[(z)]g(k)C(k1)G1(k1)Z1[G(z)]1(k1)

如果考虑D不为零的情况

G(z)C(zIF)1GDg(k)C(k1)GDZ1[G(z)]

4.7 4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.3

3.3.1

能控性、能达性、能观性和能测性

状态能控性

定义： 对式4.1的第一式，若任给初值x0，都可以找到一个输入序列u(k)，k=0, 1, 2, ......, N-1, N>0,使得

x(N)Fx0FGu(N1i)0i0NN1i 4.14

则称式4.1第一式是状态可控的。或称F和G是一个可控对。

对于一个线性定常离散系统，状态可控，状态完全可控，状态全局可控，都是等价的。 状态可控判据： 式4.14可以写成

u(0)u(1)N1N2FNx[FGFGFGG]0u(N1)

按照线性代数理论，为使上式右边为任意时都存在一个输入序列输入序列u(k)，k=0, 1, 2, ......, N-1, N>0，使上式成立，必须满足

rank[FN-1G....FGG]N-1rank[FG....FGGFx0],N0N 4.15

这时称为此离散系统是最多n步可控的。

定理：对于线性定常离散状态方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k), 系统为状态（完全）可控的充分必要条件为式4.15成立。

推论：如果是状态完全可控的，则此系统一定是在最多n步内状态完全可控的。 也可类似地对式4.1系统定义输出完全可控性 定理：式4.1系统为输出完全能控的充要条件是

rank[CFN-1G....CFGCG]G....CFGCGCFx0],N00Nrank[VFN-1 4.16

如果是输出能控的，总是有nN

，称为此离散系统是最多n步可控的。

3.3.2 状态能达性

_

定义： 对式4.1的第一式，若初值x0=0和任给终值x，都可以找到一个输入序列u(k)，k=0, 1, 2, ......, N-1, N>0,使得

x(N)FGu(N1i)xi0N1i 4.17

则称式4.1第一式是状态（完全）可达的。或称F和G是一个可达对。

对于一个线性定常离散系统，状态可达，状态完全可达，状态全局可达，都是等价的。 状态可达判据： 式4.17可以写成

u(0)u(1)N1N2x[FGFGFGG]u(N1)

按照线性代数理论，为使上式右边为任意时都存在一个输入序列输入序列u(k)，k=0, 1, 2, ......, N-1, N>0，使上式成立，必须满足

rank[FN-1G....FGG]n,N0 4.18

总是有nN0，称为此离散系统是最多n步可达的。

定理：对于线性定常离散状态方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k), 系统为状态（完全）可达的充分必要条件为满足式4.18

推论：如果是状态完全可达的，则此系统一定是在最多n步内状态完全可达的。 也可类似地对式4.1系统定义输出完全可控性 定理：式4.1系统为输出完全能控的充要条件是

rank[CFn-1G, CFn-2GCFG,CG]m 0

如果是输出能达的，总是有nN，称为此离散系统是最多n步可达的。

能控与能达

由式4.15和4.18可知，对于式4.1的第一式：

状态完全能达状态完全能控

离散时间系统的能达性与连续时间系统的能控性相对应。一般来说，往往比照连续时间

系统的状态能控性，将离散时间系统的能控性和能达性合称状态能控性。有定义：

对式4.1的第一式，若任给初值x0和终值x，都可以找到一个输入序列u(k)，k=0, 1, 2, ......, N-1, N>0,使得

x(N)FGu(N1i)xFx0i0N1iN_

4.19

则称式4.1第一式是状态（完全）可控的。或称F和G是一个可控对。

对于一个线性定常离散系统，状态可控，状态完全可控，状态全局可控，都是等价的。 综合式4.15和4.18可得状态可控性判据：

定理：对于线性定常离散状态方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k), 任给初值x0和终值x，系统为状态（完全）可控的充分必要条件为满足式4.18。

3.3.3

状态能观性

_

与能控性对偶，能观性只研究式4.1中的矩阵对（F, C）

定义：任给初值x(0)=x0，可以通过一个输出量测序列y(k), k=0,1,2....N-1, N>0, 来唯一地确定x0, 则称式4.1系统是状态完全能观的。

对于一个线性定常离散系统，状态能观，全局能观，完全能观，都是等价的。 按上定义

y(0)Cy(1)CFx0N1y(N1)CF 4.20

按照线性代数的理论，上式中总是存在一个唯一的x0的充要条件是：

CCFnrankN1CF 4.21

定理：对于线性定常离散状态方程式4.1，矩阵对（F, C）为完全能观的充要条件为上式4.21成立。

如果（F，C）是状态可观的，总是有nN

0，即一定是最多n步状态可观的。

3.3.4 状态能测性

不可观状态

定义：状态x(0)=x0称为不可观的，如果当x(0)=x0≠0时，对于k=0,1,2....N, N≥n-1，及u(k)=0，有输出y(k)=0。

状态能测性

定义：线性定常离散状态方程式4.1是可测的，如果该系统中不可观的状态都是稳定的。即，如果状态x(0)=x0≠0是不可观的，一定有Fkx0→0。 几点说明：

1）当输入u为标量，则式4.21中的判秩矩阵为方阵，似乎更容易理解些。事实上,当u为r>1维时，判秩矩阵为n×nr维，非方，不能直接用“可逆”的概念，但是按照线性代数中映射的“算子”与其“值域”之间的关系，同样不难理解。

2）研究状态能控时，与输出矩阵C无关。研究状态可观时，与输入矩阵G无关，是因为任给已知的u(k)序列，其在输出y(k)中的“零状态响应”分量也是已知的，可以从量测的y(k)中减去，它与对x(0)的观测结果无关。 3.3.5

结构分解

对于

x(k1)Fx(k)Gu(k)y(k)Cx(k)

4.2

我们知道，非奇异的相似变换不会影响其可达性和可观性。如果系统不是完全可达的（部分状态可达，部分状态不可达）；亦不是完全可观的（部分状态可观，部分状态不可观），则总是可以经相似变换对其分解为四部分，成为如下形式：

F110x(k1)F310y(k)C1其中

F12F22F32F42000F33000x(k)F34F44G10u(k)G30

4.22

C20x(k)xro(k)=[ x1(k)…xn1(k)]为n1维可达可观子空间，

xro\\(k)= [ xn1+1(k)…xn1+n2(k)] 为n2维可达不可观子空间， xr\\o(k)= [ x n1+n2+1(k)…x n1+n2+n3(k)] 为n3维不可达可观子空间， xr\\o\\(k)= [ x n1+n2+n3+1 (k)…xn(k)] 为n4维不可达不可观子空间， 并有，n=n1+n2+n3+n4。

四个子系统之间的关系如下图所示。

u(k)y(k)Sro++Sr\\oSro\\Sr\\o\\

图4.2 线性离散时间状态空间的卡尔曼分解示意图

显然，输入输出之间的关系只由可达可观子系统决定。

可测性的理解：只有当非可测状态收敛时，通过观测得到的内部（全部）状态才是真实的。

4.4 实现

定义：已知以某种方式描述的离散时间系统，寻找（构造）其具有相同动态特性（输

入输出动态特性）的状态空间方程，称为“实现”。

一般来说实现不是唯一的。

定义：所有的实现中，阶数最低者称为最小实现。最小实现也不是唯一的。 定理：最小实现一定是可控可观的，反过来也一样。

定理：非最小实现一定是或者不可控，或者不可观，或者既不可控又不可观。反过来也一样。

3.4.1 由差分方程求实现

已知由差分方程描述的线性定常离散系统（mx(kn)a1x(kn1)....an1x(k1)anx(k)b0u(km)b1u(km1)....bm1u(k1)bmu(k) 2.1

则有

x(k1)Fx(k)gu(k)y(k)cx(k)其中，

0F0an10,1a1 4.2

an10;g01mncbmbm1b1b00,n 4.23

是其一个实现，且（F, b）是一个可控对，即上式是一个可控的实现，称为约当可控标准型。其中，g和c小写表示是标量（但输入单输出）系统。

另外，

01F0c0010anan1,a11,mnbmgb0;0 4.24

也是其一个实现，且（F, g）是一个可观对，即上式是一个可观实现，称为约当可观标准型。

注意到式4.22和4.23中的F互为转置，g和c互为转置。

约当标准型不一定是最小实现，即可控标准型未必可观，可观标准型未必可控。 3.4.2 由传递函数求实现

1. 已知由Z传递函数描述的标量线性定常离散时间系统

G(z)b0zb1zza1znmm1bm1zbm，m4.25

n1an1zan由Z传递函数分子和分母多项式的系数与差分方程各系数之间的对应关系，可直接写出其约当标准可控实现形式或约当标准可观实现形式。与式4.22和4.23完全相同。

定理：如果G(z)是不可约的，则由此写出约当可控标准型和约当可观标准型均是最小实现，即约当可控标准型也是可观的，约当可观标准型也是可控的。

2. 并联实现方式 设有

G(z)nkizpi

i1 4.26

上式意味着直传系数d为零，或mx1(k+1)x1(k)1/zk1p1u(k)xn(k+1)xn(k)y(k)1/zknpn

图4.2 并联实现方式

则有

p11pF200g1;;ck1k2kn pn1或者

FˆFT,gˆcT,cˆgT 3.4.3 带有零阶保持器的传递函数的离散化实现

连续时间状态方程离散时间状态方程（A,B,C）（F,G,C）

u(k)u(t)y(t)y(k)ZOHG(s)图4.4

带有零阶保持器的传递函数

设有连续时间系统传递函数G(s):

x(t)Ax(t)Bu(t)y(t)Cx(t) 其解为

4.27

4.28

4.29

tx(t)eAtx(0)eA(t)Bu()d,t00teA(tt1)x(t(t)1)eABu()d,tt10t1 设t1=kT时，x(t1)＝x(kT)= x(k)，u(t1)=u(kT) =u(k) 在t=kT~(k+1)T期间，u(t)=u(k) ——保持 因此到t=(k+1)T时，有

(k1)Tx(k1)eATx(k)eA[(k1)T]Bdu(k)kT x(k1)Fx(k)Gu(k)

对照可知：

FeAT(k1)TTTGA[(k1)T]BdeeA(Tv)BdveAtBdtkT00其中，vkT,tTv C不变4.5

特征方程与稳定性

3.5.1

传递函数

对于

x(k1)Fx(k)Gu(k)y(k)Cx(k) 4.2.2中已求得有Z传递函数

G(z)=C(zI-F)1G

即

Y(z)C(zIF)1GU(z)

3.5.2 特征方程

与线性连续时间状态方程类似，线性离散时间状态方程的特征方程为zIF0

4.30

4.31

4.32

4.2

4.33

4.34

4.35

3.5.3 稳定性

对于一个n阶线性离散状态方程4.1或4.2，有特征方程式4.37，该特征方程有n个复数解，当F为实系数时，N个解必为实根或共轭复根对，z1, z2, ... zn-1, zn,

线性离散方程4.1的解由与上述n个特征根相对应的n个模态z1k, z2k,... zN-1k, zNk的线性组合组成。因此方程4.1的稳定性完全由上述n个特征根决定。

4.6 反馈系统分析

一般的闭环反馈控制系统有如下结构：

dL(k)ur(k)给定输入控制前置滤波控制器负载扰动e(k)测量噪声Hff(z)Hc(z)uc(k)控制Hp(z)被控对象y(k)输出-Hfb(z)反馈检测

图4.5 典型的闭环反馈控制系统结构图

上图中，Hff(z)，Hfb(z)和Hc(z)都是人为构造的，可以认为其参数是确定的；

Hp(z)是被控对象，其参数和结构都有可能存在不确定性。比如：环境温度变化引起参数变化，模型降阶的误差，线性化误差等。

扰动——指外部输入的、不希望、担忧难免存在的“干扰”。

摄动——指被控对象内部的“参数”、以及进而引起的“结构”的变化，当然也是不希望、担又无法避免的。

当为标量系统（单输入单输出）时，其输出的z变换Y(z)可求得如下式：

Y(z)Hff(z)Hc(z)Hp(z)1+Hfb(z)Hc(z)Hp(z)Hp(z)1+Hfb(z)Hc(z)Hp(z)11+Hfb(z)Hc(z)Hp(z)Ur(z)DL(z)

E(z)4.36

Grc(z)Ur(z)Gdc(z)DL(z)Gec(z)E(z)

进而，可求得从参考输入ur(k)、负载扰动dL(k)、及测量噪声e(k)到输出y(k)的闭环（用下表c表示）传递函数分别为Grc(z)、Gdc(z)、和Gec(z)。

定义环路增益传递函数为

L(z)Hfb(z)Hc(z)Hp(z)

可分别得

GHff(z)Hc(z)Hp(z)rc(z)1+L(z)GHp(z)dc(z)1+L(z) G1ec(z)1+L(z)其特征方程为

1+L(z)=1+Hfb(z)Hc(z)Hp(z)0

当为多变量（多输入多输出系统）时，其闭环系统结构如图4.6。 其输出的z变换Y(z)可求得如下式：

Y(z)H-1p(z)Hc(z)I+Hfb(z)Hp(z)Hc(z)r-rHff(z)Ur(z)Hp(z)I+Hc(z)H1fb(z)Hp(z)s-sDL(z) I+Hp(z)H1c(z)Hfb(z)m-mE(z)Grc(z)m-rUr(z)Gdc(z)m-sDL(z)Gec(z)m-mE(z)dL(k)负载扰动e(k)测量噪声ur(k) rHff(z)Huc(k)y(k)c(z)H(z)给定输入控制p r控制前控制器 s被控对象 m输出 m置滤波 s-r m-s r-r-Hfb(z)反馈检测 r-m图4.6 典型的多变量闭环反馈控制系统结构图

其中，特别注意各传递函数的“求逆式”中

4.37

4.38

4.39

4.40

① 环路增益矩阵的排列顺序； ② “逆式”的阶数；

③ 以及“逆式”所处的位置。 各传递函数分别如下示：

Grc(z)m-rHp(z)Hc(z)I+Hfb(z)Hp(z)Hc(z)Gdc(z)m-sHp(z)I+Hc(z)Hfb(z)Hp(z)Gec(z)m-mI+Hp(z)Hc(z)Hfb(z)1m-m1s-s-1r-rHff(z) 4.41

该系统的特征方程为

I+Hp(z)Hc(z)Hfb(z)I+HI+Hc(z)Hfb(z)Hp(z)(z)Hp(z)Hc(z)0 4.42

fb4.7 敏感性和鲁棒性

敏感性和鲁棒性都是针对被控对象中（参数和结构）的摄动而言的。这些摄动反应为

Hp(z)的变化，或亦称Hp(z)的摄动。

敏感性（sensitivity）是指，Hp(z)的摄动在多大程度上影响各闭环传递函数。 ——我们希望敏感性越小越好。

鲁棒性（robustness）是指，要保证Hp(z)的摄动不至于影响闭环系统稳定性，应如何Hp(z)的摄动。

——允许的摄动范围越大，成为鲁棒性越好。 4.7.1 敏感性

为了方便起见，下面的讨论针对标量系统给出结论；在多变量系统的情况下，敏感性函数是一个庞大的（ms-mr）矩阵，但定义的原理是相同的。

标量系统的情况下，定义Grc(z)相对于Hp(z)的灵敏度为

dGrc(z)dHp(z)HffHc1+L2 4.43

Grc(z)相对于Hp(z)的相对灵敏度为

dGrc(z)Grc(z)dHp(z)Hp(z)lnGrc(z)lnHp(z)11+L(z)S(z)

4.44

S称为Grc(z)相对于Hp(z)的灵敏度函数。T称为Grc(z)相对于Hp(z)的互补灵敏度函数。

T(z)1S(z)L(z)1+L(z) 4.45

灵敏度函数S可以看成是图4.6中从e到y的传递函数； 互补灵敏度函数T可以看成是图4.6中从d到uc的传递函数。 4.7.2 鲁棒性

在图4.6中，设Hp(z)为标称被控对象模型，Hpo(z)为（包含了摄动的）实际被控对象模型。

鲁棒性研究的问题是：为了保证闭环系统的稳定性，Hpo(z)必须在多大程度上接近Hp(z)。 仍然考虑标量系统：

由实际的Hpo(z)代替标称的Hp(z)，uc到y的闭环传递函数由Grc(z)成为

Grc0(z)Hff(z)Hc(z)Hp0(z)1+L0(z) 4.46

此闭环系统的极点由其特征方程决定

f(z)1+L0(z)1Hff(z)Hc(z)Hp0(z)1Hff(z)Hc(z)Hp(z)Hff(z)Hc(z)Hp0(z)Hff(z)Hc(z)Hp0(z)1Hff(z)Hc(z)Hp(z)Hff(z)Hc(z)Hp0(z)Hp(z)1L(z)L0(z)L(z)1L(z)L(z) 4.47

数学上有如下结论： 如果不等式

L(z)L0(z)L(z)Hff(z)Hc(z)Hp0(z)Hp(z)1L(z)

4.48

在单位园上成立，那么根据复数幅角变化的原理可知，函数“1+L0(z)”和“1+L(z)”在单位圆之外的另极点数目之差保持相等。

用L(z)除上式可得鲁棒性所需的相对精度为

L0(z)L(z)L(z)Hp0(z)Hp(z)Hp(z)1L(z)L(z)1T(z) 4.49

鲁棒性定理1：如图4.5所示典型系统，被控对象的标称模型是Hp(z)，闭环传递函数是Grc(z)；摄动后的实际模型成为Hpo(z)，其闭环传递函数是Grc0(z)。如果下列条件成立（充分但不必要的条件），则Grc0(z)就是稳定的

① Grc(z)是稳定的；

② Hp(z)和Hpo(z)在单位圆外具有同样数目的极点； ③ 不等式4.48在单位园上成立，4.50重写如下。

L0(z)L(z)1L(z)

上述鲁棒性定理还有另外一种表述形式。

鲁棒性定理2：如图4.5所示典型系统，被控对象的标称模型是Hp(z)，闭环传递函数是Grc(z)；摄动后的实际模型成为Hpo(z)，其闭环传递函数是Grc0(z)。如果下列条件成立（充分但不必要的条件），则Grc0(z)就是稳定的

① Grc(z)是稳定的；

② Hp(z)和Hpo(z)在单位圆外具有同样数目的零点； ③ 如下不等式4.50在单位园上成立。

1L0(z)1L(z)11L(z) 4.50

据如上定理，我们得到了当模型包含不确定性时，保证闭环系统稳定的原则是： ① 知道被控对象Hp(z)和Hpo(z)不稳定的零点和极点数很重要； ② 在环路增益取得很大值的频点上，不必精确地知道模型；

③ 在相对误差△Hp(z)/ Hp(z)较大的频点上，应该尽量使环路增益取得较小的值； ④ 在Hpo(z)=-1的频点附近，应该尽量获得系统的精确模型。