2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．．1．(2013江苏，1)函数y3sin2x2

π的最小正周期为__________． 42．(2013江苏，2)设z＝(2－i)(i为虚数单位)，则复数z的模为__________．

x2y2=1的两条渐近线的方程为__________． 3．(2013江苏，3)双曲线

1694．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．

5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是__________．

6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 93 乙 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________． 7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为__________．

8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝__________.

9．(2013江苏，9)抛物线y＝x在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是__________．

2

10．(2013江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=12AB，BE=BC.若232

DE1AB2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．

11．(2013江苏，11)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x－4x，则不等式f(x)＞

x的解集用区间表示为__________．

x2y212．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为22=1(a＞0，b＞0)，右

ab焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d26d1，

则椭圆C的离心率为__________．

13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y1(x＞0)图象上一动x点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为__________．

14．(2013江苏，14)在正项等比数列{an}中，a5最大正整数n的值为__________．

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1，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．过程或演算步骤．

15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.

(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．

16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点． 求证：(1)平面EFG∥平面ABC；

(2)BC⊥SA.

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17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)

如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝

123，cos C＝. 135(1)求索道AB的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

2013 江苏数学（文理合卷） 第3页

19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记

bnnSn*

，n∈N，其中c为实数． 2nc2

*

(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝nSk(k，n∈N)； (2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.

x20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e－ax，其中a为实数． (1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围； (2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

2013 江苏数学（文理合卷） 第4页

数学Ⅱ(附加题)

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.

1 01 2－1

B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵AB. 0 20 6

C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x2tan2xt1,(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，y2ty2tan并求出它们的公共点的坐标．

3322

D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a≥b＞0，求证：2a－b≥2ab－ab.

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【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．

22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．

23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，

k个(1)k1k,*

…，即当,(1)k1k，

*

k1kkk1*

(k∈N)时，an＝(－1)k－1k.记Sn＝a1＋a2＋…＋an(nn22*

∈N)．对于l∈N，定义集合Pl＝{n|Sn是an的整数倍，n∈N，且1≤n≤l}．

(1)求集合P11中元素的个数； (2)求集合P2 000中元素的个数．

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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．．1．答案：π

解析：函数y3sin2x2．答案：5

解析：|z|＝|(2－i)|＝|4－4i＋i|＝|3－4i|＝32425＝5.

2

2

π2π的最小正周期Tπ. 423．答案：y3x 43x. 4解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y4．答案：8

3

解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为2＝8. 5．答案：3

解析：第一次循环后：a←8，n←2； 第二次循环后：a←26，n←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n＝3. 6．答案：2

解析：由题中数据可得x甲=90，x乙=90. 于是s甲＝

2

2112222222

[(87－90)＋(91－90)＋(90－90)＋(－90)＋(93－90)]＝4，s乙＝[(－90)＋(90552

2

2

－90)＋(91－90)＋(88－90)＋(92－90)]＝2，

22由s甲>s乙，可知乙运动员成绩稳定．故应填2.

7．答案：

20 63解析：由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m，n：若m＝1时，n可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有7×9＝63种．若m，n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7，n的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为

20. 638．答案：1∶24

解析：由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.

1AFSAED因此V1∶V2＝3＝1∶24.

2AFSABC9．答案：2,

21解析：由题意可知抛物线y＝x在x＝1处的切线方程为y＝2x－1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：

2

2013 江苏数学（文理合卷） 第7页

当直线x＋2y＝0平移到过点A11,0时，x＋2y取得最大值.

221当直线x＋2y＝0平移到过点B(0，－1)时，x＋2y取得最小值－2. 因此所求的x＋2y的取值范围为2,.

210．答案：

1 2解析：由题意作图如图．

1212ABBCAB(ACAB) 23231212ABAC1AB2AC，∴λ1＝，λ2＝.

63631故λ1＋λ2＝.

2∵在△ABC中，DEDBBE

11．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)

x24x,x0,2

解析：∵函数f(x)为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x－4x，则f(x)＝0,x0,∴原不等式等价于

x24x,x0,x0,x0,或 22x4xx,x4xx,由此可解得x＞5或－5＜x＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)． 12．答案：

3 3解析：设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为

xy=1，即bx＋cy－bc＝0.于是可知cbbca2a2c2b2d1c，d2.

22acccbcb26bc2∵d26d1，∴，即ab6c. ca12224422

∴a(a－c)＝6c.∴6e＋e－1＝0.∴e＝.

3bc2013 江苏数学（文理合卷） 第8页

∴e3. 3

1

，则 x

13．答案：－1，10 解析：设P点的坐标为x,

11112222

|PA|＝(xa)2a=x222ax=2a2.令tx2，则|PA|＝t－2at＋2a－2

xxxx＝(t－a)＋a－2(t≥2)．

结合题意可知

222

(1)当a≤2，t＝2时，|PA|取得最小值．此时(2－a)＋a－2＝8，解得a＝－1，a＝3(舍去)． (2)当a＞2，t＝a时，|PA|取得最小值．此时a－2＝8，解得a＝10，a＝10(舍去)．故满足条件

2

2

2

2

2的实数a的所有值为10，－1. 14．答案：12

2n－6

解析：设正项等比数列{an}的公比为q，则由，a6＋a7＝a5(q＋q)＝3可得q＝2，于是an＝2，

1(12n)1则a1＋a2＋…＋an＝322n5.

12321∵a5，q＝2，

22∴a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝a6＝1.

∴a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝2－＋…＋a13＝2－

8

7

16

＞a1a2…a11a12＝a12＝2成立；当n取13时，a1＋a23216713

＜a1a2…a11a12a13＝a12a13＝2·2＝2.当n＞13时，随着n增大a1＋a2＋…＋an将恒小于32a1a2…an.因此所求n的最大值为12.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．过程或演算步骤．

2222

15． (1)证明：由题意得|a－b|＝2，即(a－b)＝a－2a·b＋b＝2.

2222

又因为a＝b＝|a|＝|b|＝1， 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0. 故a⊥b.

coscos0,(2)解：因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以

sinsin1,由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin

α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝

15ππ，而α＞β，所以，. 26616．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥

AB.

因为EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC.

(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.

又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.

2013 江苏数学（文理合卷） 第9页

17．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3， 由题意，|3k1|k21＝1，解得k＝0或3， 4故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

22

(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)＋[y－2(a－2)]＝1. 设点M(x，y)，因为MA＝2MO，

所以x2y32=2x2y2，化简得x＋y＋2y－3＝0，即x＋(y＋1)＝4，所以点M在以D(0，－1)

2

2

2

2

为圆心，2为半径的圆上．

由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1， 即122

a22a323.

12. 5由5a－12a＋8≥0，得a∈R； 由5a－12a≤0，得0≤a≤

12. 51235418．解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝.

1351355312463从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝.

13513565ABACAC12604由正弦定理，得ABsinC＝1 040(m)．

635sinCsinBsinB65所以点C的横坐标a的取值范围为0,所以索道AB的长为1 040 m.

(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m， 所以由余弦定理得d＝(100＋50t)＋(130t)－2×130t×(100＋50t)×因0≤t≤

2

2

2

122

＝200(37t－70t＋50)， 13351040，即0≤t≤8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短．

37130BCACAC12605(3)由正弦定理，得BC＝sin A＝500(m)．

63sinAsinBsinB1365乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.

5007101250625，所以为使两位游客在3，解得vv5043141250625,C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内． 4314n(n1)19．证明：由题设，Snnad.

2Sn1d.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4， (1)由c＝0，得bnnan2设乙步行的速度为v m/min，由题意得3d32

即a=aad，化简得d－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.

22因此，对于所有的m∈N，有Sm＝ma.

*2222

从而对于所有的k，n∈N，有Snk＝(nk)a＝nka＝nSk.

*

2

22013 江苏数学（文理合卷） 第10页

nSn*

＝b1＋(n－1)d1，n∈N，代入Sn的表达式，整2nc1312*

理得，对于所有的n∈N，有d1dnb1d1adncd1n＝c(d1－b1)．

2211*32

令A＝d1d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N，有An＋Bn＋cd1n＝D.(*)

22(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即

在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝A＋16B＋4cd1，

7A3Bcd10,①从而有19A5Bcd10,②

21A5Bcd0,③1由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.

11d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0.

221若d1＝0，则由d1d＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.

2即d1又因为cd1＝0，所以c＝0. 20．解：(1)令f′(x)＝

－1

－1

11ax＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a＞0，进而解得x＞aaxx－1

，即f(x)在(a，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)

－1－1x上是单调减函数，故(1，＋∞)(a，＋∞)，从而a≤1，即a≥1.令g′(x)＝e－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.

综上，有a∈(e，＋∞)．

xx(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令g′(x)＝e－a＞0，解得a＜e，即x＞ln a.

－1

因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e.

－1

结合上述两种情况，有a≤e. ①当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝

aa1＞0，得f(x)存在唯一的零点； xaa,②当a＜0时，由于f(e)＝a－ae＝a(1－e)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[e1]上的图象不间断，

a,所以f(x)在(e1)上存在零点．

1－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点． x1－1－1－1－1

③当0＜a≤e时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝a.当0＜x＜a时，f′(x)＞0，当x＞a时，f′(x)

x另外，当x＞0时，f′(x)＝

＜0，所以，x＝a是f(x)的最大值点，且最大值为f(a)＝－ln a－1.

－1

当－ln a－1＝0，即a＝e时，f(x)有一个零点x＝e.

－1

当－ln a－1＞0，即0＜a＜e时，f(x)有两个零点．

－1－1－1－1－1－1

实际上，对于0＜a＜e，由于f(e)＝－1－ae＜0，f(a)＞0，且函数f(x)在[e，a]上的图象不

－1－1

间断，所以f(x)在(e，a)上存在零点． 另外，当x∈(0，a)时，f′(x)＝

－1－1

－1

1－1－1

－a＞0，故f(x)在(0，a)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a)x上只有一个零点．

－1a－1－2a－1

下面考虑f(x)在(a，＋∞)上的情况．先证f(e)＝a(a－e)＜0.

x2x2xx为此，我们要证明：当x＞e时，e＞x.设h(x)＝e－x，则h′(x)＝e－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e－2x，

x则l′(x)＝e－2. 当x＞1时，l′(x)＝ex－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x＞2时，h′(x)

x2

＝e－2x＞h′(2)＝e－4＞0，

从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，

2013 江苏数学（文理合卷） 第11页

h(x)＝ex－x2＞h(e)＝ee－e2＞0.即当x＞e时，ex＞x2.

－1－1a－1－1a－1－2a－1－1－1

当0＜a＜e，即a＞e时，f(e)＝a－ae＝a(a－e)＜0，又f(a)＞0，且函数f(x)在[a，

e

a－1

]上的图象不间断，所以f(x)在(a，e

－1

－1a－1

)上存在零点．又当x＞a时，f′(x)＝

－1

－1

1－a＜0，故f(x)x在(a，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a，＋∞)上只有一个零点．

－1

综合①，②，③，当a≤0或a＝e时，f(x)的零点个数为1，

－1

当 0＜a＜e时，f(x)的零点个数为2.

数学Ⅱ(附加题)

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，

所以∠ADO＝∠ACB＝90°.

又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以

BCAC. ODAD又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.

B．[选修4－2：矩阵与变换]解：设矩阵A的逆矩阵为＝a b1 0，则0 2c da b1 0a b＝，即c d0 12c 2d1 0， 0 11 01－1， 故a＝－1，b＝0，c＝0，d，从而A的逆矩阵为A＝10 221 01 21 2－1所以AB＝＝. 0 10 60 32x＝t＋1，

C．解：因为直线l的参数方程为

y＝2t

(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直

线l的普通方程为2x－y－2＝0. 2

同理得到曲线C的普通方程为y＝2x. 联立方程组y2x1,1,1解得公共点的坐标为(2,2)，. 22y2x,3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

D．证明：2a－b－(2ab－ab)＝2a(a－b)＋b(a－b)＝(a－b)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，

3322

从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a－b≥2ab－ab.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．说明、证明过程或演算步骤． 22．

解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

2013 江苏数学（文理合卷） 第12页

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)， 所以A1B＝(2,0，－4)，C1D＝(1，－1，－4)． 因为cos〈A1B，C1D〉＝

A1BC1DA1BC1D

＝18310， 102018310. 10(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD＝(1,1,0)，所以n1·AD＝0，n1·AC1AC1＝(0,2,4)，

所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为

＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝

5n1n222. ，得sin θ＝3|n1||n2|3915. 3因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为

23．解：(1)由数列{an}的定义得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5.

*

(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N)．

事实上，①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；

22

②假设i＝m时成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)－(2m＋2)＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．

22

综合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)＝(2i＋1)(i＋1)．

由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍数，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…

22

＋(2i－1)＝i，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为i＋j.

2

又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的个数为31＋47＝1 008.

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