高中数学 含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法导学案 新人教A版必修5

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx恒成立，只须求出fxmax，则afx转化为函数求最值。

例1、已知函数fxlgx取值范围。

解：根据题意得：x2max；若afx恒成立，只须求出fxmin，则afxmin，

a2，若对任意x2,恒有fx0，试确定a的xa21在x2,上恒成立， x即：ax3x在x2,上恒成立，

392设fxx3x，则fxx

24当x2时，fxmax2 所以a2

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若fagx恒成立，只须求出gxmax，则fagxmax，然后解不等式求出参数a的取值范围；若fagx恒成立，只须求出gxmin，则

2fagxmin，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

x2x例2、已知x,1时，不等式12aa40恒成立，求a的取值范围。

解：令2t，

xx,1 t0,2 所以原不等式可化为：a2at1， t2要使上式在t0,2上恒成立，只须求出ft22t1在t0,2上的最小值即可。 2t11t111111, ft2

t2tttt24ftminf2二、分类讨论

33132 aa a 4422在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。

例3、若x2,2时，不等式xax3a恒成立，求a的取值范围。

2解：设fxx2ax3a，则问题转化为当x2,2时，fx的最小值非负。 （1） 当a72即：a4时，fxminf273a0 a又a4所以a23不存在；

a（2） 当22即：4a4时，fxminf26a2 又4a4 4a2

a（3） 当2 即：a4时，fxmin2a47a4 综上所得：7a2

2a2a3a0

42f2 a7又7a0变式：若对于xR，不等式mx2mx30恒成立，求实数m的取值范围。 三、确定主元

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

2例4、若不等式2x1mx1对满足m2的所有m都成立，求x的取值范围。 2解：设fmmx12x1，对满足m2的m，fm0恒成立，

2x212x10f201713 解得： x222f202x12x10变式：已知不等式a2x2a2x40对于xR恒成立，求参数a的取值范围。

2

四、利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,nfa,ga，则fam且gan，不等式的解即为实数

a的取值范围。

例5、当x,3时，logax1恒成立，求实数a的取值范围。 解：

131logax1

a3111（1） 当a1时，xa，则问题转化为,3,a 11 a3

a3aa31a111130a （2） 当0a1时，ax，则问题转化为,3a,a33a13a综上所得：0a1或a3 3五、数形结合

数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。 例6、若不等式3x2logax0在x0,内恒成立，求实数a的取值范围。

13解：由题意知：3x2logax在x0,内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数

13y3x2和ylogax

观察两函数图象，当x0,时，若

13a1函数ylogax的图象显然在函

数y3x图象的下方，所以不成立；

当0a1时，由图可知，ylogax的图象必须过点,或在这个点的上方，则，

211331111 a 1a 3327271综上得：1a

27loga上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。