河南省新乡市高一数学下学期期末试卷理讲解

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是（ ） A．至多有一次击中目标 B．三次都不击中目标 C．三次都击中目标 D．只有一次击中目标

2．设向量=（1，2），=（m+1，﹣m），⊥，则实数m的值为（ ） A．﹣1 B．1

C．﹣ D．

3．若角θ满足sinθ＜0，tanθ＜0，则角θ是（ ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

4．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为7万元，则10时到11时的销售额为（ ）

A．1万元 B．2万元 C．3万元 D．4万元

5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现按型号用分层抽样的方法随机抽出容量为n的样本，若抽到24件乙型产品，则n等于（ ） A．80 B．70 C．60 D．50 6．已知A．﹣ B．

C．

，sinα+cosα=，则 D．

（ ）

7．从某工厂生产的P，Q两种型号的玻璃种分别随机抽取8个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则P组数据的众数和Q组数据的中位数分别为（ ）

1

A．22和22.5 B．21.5和23 C．22和22 D．21.5和22.5

8．非零向量，满足||=A．

B．

C．

||，且（﹣）⊥（﹣3），则与夹角的大小为（ ）

D．

9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=

（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公

，

式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（

）（ ）

A．16平方米 B．18平方米 C．20平方米 D．25平方米 10．若将函数y=cos（2x﹣再向右平移A．x=

）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（ ） C．x=

D．x=

B．x=

11．若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数有“穿越点”x0，在区间（0，5]上任取一个数a，则函数f（x）=lg的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”

12．（理）如图，直线l1：y=m（0＜m≤A）与函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于B、C两点，直线l2：y=﹣m与函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于D、E两点，设B（xB，yB），D（x，yD），记S（m）=|xB﹣xD|，则S（m）的图象大致是（ ）

2

A． B． C． D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知α的终边过点（a，﹣2），若

，则a= ．

14．如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可以用随机模拟方法近似计算M的面积，在正方向ABCD中随机投掷3600个点，若恰好有1200个点落入M中，则M的面积的近似值为 ．

15．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量影为 ．

在方向上的投

16．已知样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s=（a1+a2+a3+a4+a5﹣80），则样本数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为 ．

三、解答题（共6小题，满分70分）

222222

17．（1）化简：；

（2）已知，求的值． ，设

，

，试用a，b表示

，

18．如图，F为线段BC的中点，CE=2EF，，

．

3

19．一个生物研究性学习小组，为了研究平均气温与一天内某豆类胚芽生长之间的关系，他们分别记录了4月6日至4月11日的平均气温x（℃）与该豆类胚芽一天生长的长度y（mm），得到如下数据：

日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 平均气温x（℃） 一天生长的长度y（mm） 10 22 11 25 13 29 12 26 8 16 6 12 该小组的研究方案是：先从这六组数据中选取6日和11日的两组数据作为检验数据，用剩下的4组数据即：7日至10日的四组数据求出线性回归方程． （1）请按研究方案求出y关于x的线性回归方程=x+；

（2）用6日和11日的两组数据作为检验数据，并判断该小组所得线性回归方程是否理想．（若由线性回归方程得到的估计数据与所选的检验数据的误差不超过1mm，则认为该方程是理想的）

参考公式：．

20．已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，满足=（7，4），且

⊥

，其中O为坐标原点．

=（﹣3，m+1），=（n，3），

（1）求实数m、n的值；

（2）若点A的纵坐标小于3，求cos∠AOC的值．

21．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6≤x≤8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7≤y≤9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M． （1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件M的概率；

（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，

4

求事件M的概率．

22．（理） 如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA=α，

，

（1）若

． ，求x1的值；

（2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．

5

2016-2017学年河南省新乡市高一（下）期末数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是（ ） A．至多有一次击中目标 B．三次都不击中目标 C．三次都击中目标 D．只有一次击中目标 【考点】C4：互斥事件与对立事件． 【分析】利用对立事件的定义直接求解． 【解答】解：一个人连续射击三次，

事件“至少有一次击中目标”的对立事件是“三次都不击中目标”． 故选：B．

2．设向量=（1，2），=（m+1，﹣m），⊥，则实数m的值为（ ） A．﹣1 B．1

C．﹣ D．

【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】由⊥，可得•=0． 【解答】解：∵⊥， ∴•=m+1+2（﹣m）=0， 解得m=1． 故选：B．

3．若角θ满足sinθ＜0，tanθ＜0，则角θ是（ ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【考点】GC：三角函数值的符号．

【分析】分别由sinθ＜0，tanθ＜0得到θ所在象限，取交集得答案．

【解答】解：∵sinθ＜0，∴θ为第三或第四象限角或终边落在y轴的非正半轴上， 6

又tanθ＜0，∴θ为第二或第四象限角， 取交集得：θ为第四象限角． 故选：D．

4．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为7万元，则10时到11时的销售额为（ ）

A．1万元 B．2万元 C．3万元 D．4万元

【考点】B8：频率分布直方图．

【分析】由频率分布直方图求出12时到14时的销售额所占频率和10时到11时的销售额所占频率，由此利用12时到14时的销售额为7万元，能求出10时到11时的销售额． 【解答】解：由频率分布直方图得：

12时到14时的销售额所占频率为0.25+0.1=0.35，

10时到11时的销售额所占频率为：1﹣0.1﹣0.4﹣0.25﹣0.1=0.15， ∵12时到14时的销售额为7万元， ∴10时到11时的销售额为：故选：C．

5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现按型号用分层抽样的方法随机抽出容量为n的样本，若抽到24件乙型产品，则n等于（ ） A．80 B．70 C．60 D．50 【考点】B3：分层抽样方法．

【分析】求出抽样比，然后求解n的值即可． 【解答】解：因为故选A．

，所以n=80．

=3（万元）．

7

6．已知A．﹣ B．

C．

，sinα+cosα=，则 D．

（ ）

【考点】GI：三角函数的化简求值．

【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sinα和cosα的值，可得要求式子的值． 【解答】解：已知∴1+2sinα•cosα=

，sinα+cosα=，

，∴sinαcosα=﹣

，

∴sinα＞0，cosα＜0．

再根据sinα+cosα=1，可得sinα=，cosα=﹣，

2

2

∴故选：D．

==﹣，

7．从某工厂生产的P，Q两种型号的玻璃种分别随机抽取8个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则P组数据的众数和Q组数据的中位数分别为（ ）

A．22和22.5 B．21.5和23 C．22和22 D．21.5和22.5

【考点】BA：茎叶图．

【分析】利用茎叶图的性质、众数、中位数的定义求解． 【解答】解：由茎叶图知： P组数据的众数为22， Q组数据的中位数为：故选：A．

8．非零向量，满足||=

=22.5．

||，且（﹣）⊥（﹣3），则与夹角的大小为（ ）

8

A． B． C． D．

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．

【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得与夹角的余弦值，可得与夹角．

【解答】解：设与夹角的大小为θ，则θ∈[0，π]，∵||=（﹣3）， ∴（﹣）•（﹣3）=∴θ=

，

﹣4•+3

=3

﹣4

•cosθ+3

=0，cosθ=

，

||，且（﹣）⊥

故选：C．

9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=

（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公

，

式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（

）（ ）

A．16平方米 B．18平方米 C．20平方米 D．25平方米 【考点】G7：弧长公式．

【分析】在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解． 【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=在Rt△AOD中，可得：∠AOD=可得：矢=6﹣3=3， 由AD=AO•sin

=6×

=3=6

， ，

，∠DAO=

，OA=6，

，OD=AO=×6=3，

，即可求得OD，AD的值，根据题意可求

可得：弦=2AD=2×3

9

所以：弧田面积=（弦×矢+矢）=（6故选：C．

2

×3+3）=9

2

+4.5≈20平方米．

10．若将函数y=cos（2x﹣再向右平移A．x=

）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（ ） C．x=

D．x=

B．x=

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求出所得函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴． 【解答】解：将函数y=cos（2x﹣标不变），可得y=cos（x﹣再向右平移令x﹣

）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐

）的图象；

﹣

）=cos（x﹣

）的图象，

个单位，可得y=cos（x﹣

=kπ，求得x=kπ+，k∈Z．

，

令k=0，可得所得函数图象的一条对称轴为得x=故选：D．

11．若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数有“穿越点”x0，在区间（0，5]上任取一个数a，则函数f（x）=lg的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”

【考点】CF：几何概型．

【分析】若函数在（0，+∞）上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决

10

【解答】解：函数f（x）=lg在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”，

所以lg=lg成立，即，

整理得，由＞0，得到＜0，解得，所以函数f（x）=lg

在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”a的范围是（，3）， 所以在区间（0，5]上任取一个数a，则函数f（x）=lg

在（﹣∞，+∞）上有“穿越

点”的概率为：故选C．

；

12．（理）如图，直线l1：y=m（0＜m≤A）与函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于B、C两点，直线l2：y=﹣m与函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于D、E两点，设B（xB，yB），D（x，yD），记S（m）=|xB﹣xD|，则S（m）的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【考点】3O：函数的图象．

【分析】根据三角函数既是轴对称图形，又是中心对称图形的特点分析四点的对称关系，得出结论．

【解答】解：设B，C两点关于直线x=a对称，D，E两点关于直线x=b对称，f（x）的最小正周期为T， 则b﹣a=T，

∵f（x）图象是中心对称图形，设f（x）的对称中心为（c，0），

11

则xE=2c﹣xB，xD=2c﹣xC， ∴xE﹣xD=xC﹣xB， ∵f（x）是轴对称图形， ∴a﹣xB=b﹣xD， ∴|xB﹣xD|=b﹣a=T， 故S（m）是常数函数， 故选B．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知α的终边过点（a，﹣2），若【考点】G9：任意角的三角函数的定义． 【分析】根据定义和诱导公式即可求出． 【解答】解：∵α的终边过点（a，﹣2）， ∴tanα=﹣， ∵

∴tanα=， ∴﹣=， 解得a=﹣6， 故答案为：﹣6

14．如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可以用随机模拟方法近似计算M的面积，在正方向ABCD中随机投掷3600个点，若恰好有1200个点落入M中，则M的面积的近似值为

． ，

，则a= ﹣6 ．

12

【考点】CE：模拟方法估计概率．

【分析】根据几何概型的概率公式即可得出M的面积． 【解答】解：由题意可知∴SM=． 故答案为：．

15．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量影为 ﹣

．

在

方向上的投

=

=，

【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】利用平面向量的坐标运算可求得在

方向上的投影为：

=（﹣1，﹣2），

=（2，2），继而可得向量

，计算可得．

【解答】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4）， ∴

=（﹣1，﹣2），

在

=（2，2），

=

=﹣

．

∴向量方向上的投影为：

故答案为：

．

16．已知样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s2=（a12+a22+a32+a42+a52﹣80），则样本数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为 9或﹣7 ． 【考点】BB：众数、中位数、平均数．

【分析】设样本数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为a，推导出5a2=80，解得a=4，由此能求出2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数．

【解答】解：设样本数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为a，

13

∵样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s=（a1+a2+a3+a4+a5﹣80）， ∴S= [（a1﹣a）+（a2﹣a）+（a3﹣a）+（a4﹣a）+（a5﹣a）] = [a12+a22+a32+a42+a52﹣2（a1+a2+a3+a4+a5）a+5a2] =（a12+a22+a32+a42+a52﹣5a2） =（a12+a22+a32+a42+a52﹣80）， ∴5a=80，解得a=±4，

∴2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为2a+1， 当a=4时，2a+1=9 当a=﹣4时，2a+1=﹣7． 故答案为：9或﹣7．

三、解答题（共6小题，满分70分）

22

2

2

2

2

2

222222

17．（1）化简：；

（2）已知，求的值．

【考点】GI：三角函数的化简求值． 【分析】（1）利用诱导公式化简求解即可．

（2）通过“1”的代换，利用同角三角函数基本关系式转化求解即可． 【解答】解：（1）原式=

．

（2）因为

所以．

18．如图，F为线段BC的中点，CE=2EF，，

，设，，试用a，b表示，

．

14

【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．

【分析】根据向量的平行四边形法则和三角形法则以及向量的数乘运算即可求出 【解答】解：因为所以因为所以

19．一个生物研究性学习小组，为了研究平均气温与一天内某豆类胚芽生长之间的关系，他们分别记录了4月6日至4月11日的平均气温x（℃）与该豆类胚芽一天生长的长度y（mm），得到如下数据：

日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 平均气温x（℃） 一天生长的长度y（mm） 10 22 11 25 13 29 12 26 8 16 6 12 ，所以

．

，．

，

，

该小组的研究方案是：先从这六组数据中选取6日和11日的两组数据作为检验数据，用剩下的4组数据即：7日至10日的四组数据求出线性回归方程． （1）请按研究方案求出y关于x的线性回归方程=x+；

（2）用6日和11日的两组数据作为检验数据，并判断该小组所得线性回归方程是否理想．（若由线性回归方程得到的估计数据与所选的检验数据的误差不超过1mm，则认为该方程是理想的）

参考公式：．

【考点】BK：线性回归方程．

15

【分析】（1）求出，，由公式，得的值，从而求出的值，从而得到y关于x的线性回归方程，

（2）由（1）能求出该小组所得线性回归方程是理想的． 【解答】解：（1）∵=11， =24， ∴=

，

=﹣

，

x﹣

；

故=﹣

故y关于x的方程是： =（2）∵x=10时， =误差是|x=6时， =

，

﹣22|=＜1， ，误差是|

﹣12|=＜1，

故该小组所得线性回归方程是理想的．

20．已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，满足=（7，4），且

⊥

，其中O为坐标原点．

=（﹣3，m+1），

=（n，3），

（1）求实数m、n的值；

（2）若点A的纵坐标小于3，求cos∠AOC的值． 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】（1）依题意，由直线上，

=k

•

=﹣3n+3m+3=0，可得n﹣m=1①，再由三点A、B、C在一条

=

②，

，即（n+3，3﹣（m+1））=k（10，3﹣m），整理可得：

联立①②可求实数m、n的值；

（2）利用点A的纵坐标小于3，结合（1）的结果，可得m=1，n=2，于是又

=（7，4），利用平面向量的数量积可求cos∠AOC的值．

=（﹣3，m+1），

=（n，3），且

⊥

，

=（﹣3，2），

【解答】解：（1）∵∴又

•

=﹣3n+3m+3=0，即n﹣m=1①，

=（7﹣（﹣3），4﹣（m+1））=（10，3﹣m），

=（7，4），∴

∵三点A、B、C在一条直线上， ∴

=k，即（n+3，3﹣（m+1））=k（10，3﹣m），整理得： =②，

16

联立①②，解得：或．

（2）∵点A的纵坐标小于3， ∴m+1＜3，即m＜2，∴m=1，n=2， ∴

=（﹣3，2），又

=（7，4）， =

=

=﹣

．

∴cos∠AOC=

21．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6≤x≤8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7≤y≤9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M． （1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件M的概率；

（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件M的概率． 【考点】CF：几何概型．

【分析】（1）设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；则（X，Y）可以看成平面中的整点，试验的全部结果整点共有3×3=9个，事件M所构成的整点有3个，根据古典概型的计算公式，计算可得答案．

（2）根据题意，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y；则（X，Y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件M所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．

【解答】解：（1）设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；

则（X，Y）可以看成平面中的整点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}，

整点共有3×3=9个，事件M所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X≥Y}整点有3个．

是一个古典几何概型，所以P（M）=

（2）如图，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；

17

则（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}一个正方形区域，面积为SΩ=4，

事件M所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X≥Y}即图中的阴影部分，面积为SA=0.5．

这是一个几何概型，所以P（M）=

=

．

22．（理） 如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA=α，

，

（1）若

． ，求x1的值；

（2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．

【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．

【分析】（1）由三角函数的定义有，x1=cosα，利用同角三角函数基本关系式可求

18

，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

（2）由图可知S1=cosαsinα，换的应用化简可求f（α）=

sin（2α﹣θ），其中

，

，利用三角函数恒等变

，

，利用正弦函数的图象和性质即可求得最大值．

【解答】（理）解：（1）由三角函数的定义有，x1=cosα， 因为所以所以即

（2）由图可知S1=cosαsinα，所以化=其中因为由上可知所以，当

时，，，所以

，

．

简

得

，

，，从而

，

．

，

，

=

， ，

，

．

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