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D A点 1 、 已 知 四 边 形 ABCD 是 空 间 四 边 形 ， E, F ,G, H 分 别 是 边 A B, B C, C ,D 的中
（1） 求证： EFGH是平行四边形
（2） 若 BD=2 3 ， AC=2， EG=2。求异面直线 AC、BD所成的角和 EG、BD所成的
A
角。
E
H
B
D
F
G
C
2、如图，已知空间四边形 ABCD
BC AC , AD
BD ，
E 是 AB 的中点。 中， 求证：（ 1） AB 平面 CDE;
（ 2）平面 CDE
平面 ABC 。
A
E
B
C
D
3、如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中， E 是 AA1 的中点，
求证： A。
A
D1
1C // 平面 BDE B1
C
E
A
D
B
C
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4、已知 ABC 中 ACB 90 , SA 面 ABC , AD SC ,求证： AD 面 SBC．
5、已知正方体 ABCD A1B1C1 D1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点求证： (１) C1O∥面 AB1 D1 ；(2) A1C
面 AB1D1 ．
欢迎下载 S
D
A
B
C
D 1 C1
AB1
1
D
C
O
A
B 第 2 页，共页
. 11 精品学习资料 精品学习资料
6、正方体 ABCD A' B ' C ' D ' 中， 求证：（ 1） AC
平面 B ' D ' DB ；
BD ' 平面 ACB ' . （ 2）
7、正方体 ABCD —A1B1C1D 1 中． (1)求证：平面 A 1BD ∥平面 B1D 1C； (2)若 E、F 分别是 AA 1， CC1 的中点，求证：平面 EB1D 1∥平面 FBD．
D 1
A1
B1
F
E
D
A
欢迎下载
G
C C1
B
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8、四面体 ABCD 中， AC BD , E, F 分别为 AD , BC 的中点，且 EF
2 AC ，
BDC
90 ，求证： BD 平面 ACD
9、如图 P 是 ABC 所在平面外一点， PA PB,CB 平面 PAB，AN 3NB
（1）求证： MN AB；
（2）当 APB 90 ，
AB 2BC 4 时，求 MN 的长。 欢迎下载 2
是 PC 的中点， N 是 AB 上的点，P
M
C
A
B
N
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M
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10、如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1D1 的中点 . 求证：平面 D1EF ∥平面 BDG .
11、如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，（1）求证： A1C // 平面 BDE ； （2）求证：平面 A1 AC
平面 BDE .
是 AA1 的中点 .
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E 精品学习资料 精品学习资料
12、已知 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ， AB 2 ， PA AD 4 ， E 为 BC 的中点．
（1）求证： DE 平面 PAE ；
（2）求直线 DP 与平面 PAE 所成的角．
13 、 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是 DAB 60 且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 是等 边三角形，且平面 PAD 垂直于底面 ABCD． （1）若 G 为 AD 的中点，求证： BG 平面 PAD ； （2）求证： AD
PB ；
0
（3）求二面角 A BC P 的大小．
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BC＝AC，AD＝ 14、如图２，在三棱锥 Ａ－BCD中，
BD， 作 BE⊥CD，Ｅ为垂足，作 AH⊥ BE于Ｈ．求证： AH⊥平
． BCD面
1. 证明：在 ABD 中，∵ E, H 分别是 AB, AD 的中点∴ EH // BD , EH 1 2
BD 同理， FG // BD , FG 1
BD ∴ EH // FG , EH FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。
2
(2) 90 ° 30 °
考点：证平行（利用三角形中位线） ，异面直线所成的角
2. 证明：（
1） BC AC AE BE
CE AB
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同理，
AD BD AE BE
DE AB
又∵ CE DE E
∴ AB 平面
CDE （2）由（ 1）有 AB 平面 CDE 又∵ AB 平面 ABC ，
∴平面 CDE 平面 ABC
考点：线面垂直，面面垂直的判定
3. 证明：连接 AC 交
BD 于 O，连接 EO ， ∵ E 为 AA1 的中点， O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A1 AC 的中位线 ∴ EO // A1C 又 EO 在平面 BDE 内， A1C 在平面 BDE 外 ∴ A1C // 平面 BDE 。 考点：线面平行的判定
4. 证明：
∵ ACB 90 ° B C A C
又 SA 面 ABC SA BC
BC 面 SAC BC AD
又
SC AD , SC BC C
AD
面 SBC
考点：线面垂直的判定
5. 证明：（1）连结 A1
B1D1
O1 1C1 ，设 A1C，连结
AO1
∵ ABCD A1B1C1D1 是正方体
A1ACC1 是平行四边形
∴A 1C1∥AC 且 A1C1 AC 又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点，∴ O1C1∥AO 且 O1C1 AO
AOC1O1 是平行四边形 C1O∥ AO1 , AO1 面
AB1D1 ， C1O
面 AB1D1
∴C1O ∥面 AB1D1（2） CC1 面 A1 B1C1D1 C C1 B1 D!
又∵ A1C1 B1 D1 ，
B1 D1 面 A1 C1 C 即 A1 C B1 D1
同理可证 A1C AD1， 又
D1 B1 AD1 D1 A1C
面 AB1D1
考点：线面平行的判定（利用平行四边形） ，线面垂直的判定
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考点：线面垂直的判定
7. 证明： (1)由 B1B∥DD 1，得四边形 BB1D 1D 是平行四边形，∴ B1D 1∥BD，
又 BD 平面 B1D 1C， B1D 1 平面 B1D 1C， ∴BD∥平面 B1D 1C． 同理 A 1D∥平面 B1D 1C．
而 A 1D∩BD＝D，∴平面 A1BD∥平面 B1CD．
(2)由 BD∥B1D 1，得 BD∥平面 EB1D1．取 BB1 中点 G，∴ AE∥ B1G．
从而得 B1E∥AG ，同理 GF∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B1E∥ DF．∴ DF∥平面 EB 1D 1．∴平面 EB1D 1 ∥平面 FBD．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
1 // AC8. 证明：取 CD 的中点 G ，连结 EG, FG ，∵ E, F 分别为 AD, BC 的中点，∴ EG 1 // FG BD ，又
2
AC BD, ∴ FG
1 2
2
AC ，∴在 EFG 中， EG
90 ，即 BD
2
FG
2
1 2
AC
2
EF
2
∴ EG FG ，∴ BD ∴ BD 平面 ACD
AC ，又 BDC
AC CD C CD ，
考点：线面垂直的判定 , 三角形中位线，构造直角三角形
PB 的中点， 9. 证明：（1）取 PA 的中点 Q ，连结 MQ , NQ ，∵ M 是
∴ MQ // BC ，∵ CB 平面 PAB ，∴ MQ 平面 PAB ∴ PD QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 ，取 AB 的中点 D ，连结 PD ，∵ PA PB, ∴
BN ND [来源 :学§科§网 ] AN 3NB ，∴
∴ QN // PD ，∴ QN AB ，由三垂线定理得 MN AB
PD PA PB, ∴ （2）∵ APB 90 ，
1 2
AB 2 ，∴ QN 1 ，∵ MQ
AB ，又
平面 PAB .∴ MQ NQ ，且
1 MQ BC 1，∴ MN
2 考点：三垂线定理
2
10. 证明：∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点， EF ∥ BD
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又 EF 平面 BDG ， BD 平面 BDG EF ∥平面 BDG
∵ D1G
EB 四边形 D1GBE 为平行四边形， D1E ∥
GB 又 D1 E 平面 BDG ， GB 平面 BDG
D1E ∥平面 BDG
EF
D1 E E
，
平面 D EF 1
∥平面 BDG 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） 证明：（ 1）设 AC BD O ，
∵ E 、 O分别是 AA1 、 AC 的中A1C ∥ EO 点，
又 A1C 平面 BDE ， EO 平面 BDE ， A1C ∥平面 BDE （2）∵ AA1 平面 ABCD ， BD
平面 ABCD ， AA1
BD
又 BD
AC ，
AC
AA1
A ， BD 平面 A AC 1
， BD 平面 BDE ，考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） ，面面垂直的判定
12. 证明：在 ADE 中， AD 2
AE
2
DE 2
， AE DE
∵ PA 平面 ABCD ， DE
平面 ABCD ， PA DE
又 PA AE A， DE 平面 PAE （2） DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角
在 Rt PAD， PD 4 2 ，在 Rt DCE 中， DE 2 2
在 Rt DEP中， 2DE ，
DPE 300
PD
考点：线面垂直的判定 , 构造直角三角形
13. 证明：（1） ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点， BG AD
又平面 PAD
平面 ABCD ， BG 平面 PAD
（2） PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点， AD PG
且 AD
BG ，
PG BG G ， AD 平面 PBG ，
PB 平面 PBG ， AD PB
（3）由 AD
PB ， AD ∥ BC ， BC
PB
又 BG AD ， AD ∥ BC ， BG BC
PBG 为二面角 A BC P 的平面角 在 Rt PBG中， BG ，
PBG 45
0
PG
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考点：线面垂直的判定 , 构造直角三角形 , 面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
Ｆ，连14. 证明：取 AB的中点
CF，DF．
考点：线面垂直的判定结
∵ AC BC ，∴ CF AB ．
∵ AD BD ，∴ DF AB ．
又 CF DF F ，∴ AB 平面 CDF．
∵ CD
平面 CDF，∴ CD
AB ．
又 CD BE ， BE AB B， ∴ CD 平面 ABE， CD AH ．
∵ AH CD ， AH
BE ，
CD BE E ，
∴ AH
平面 BCD．
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