2021年山东省济宁市中考数学试卷和答案

2021年山东省济宁市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。

1．（3分）若盈余2万元记作+2万元，则﹣2万元表示（ ） A．盈余2万元 C．亏损﹣2万元

B．亏损2万元 D．不盈余也不亏损

2．（3分）一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（ ）

A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 C．是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．是中心对称图形，但不是轴对称图形 3．（3分）下列各式中，正确的是（ ） A．x+2x＝3x2 C．（x2）3＝x5

B．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣y D．x5÷x3＝x2

4．（3分）如图，AB∥CD，BC∥DE，那么∠D的度数是（ ）

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A．72°28′ B．101°28′ 5．（3分）计算A．C．

÷（a+1﹣

C．107°32′ D．127°32′ ）的结果是（ ） B．D．

6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A．B．C．D．

7．（3分）如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（ ）

A．72°

B．45°

C．36°

D．35°

8．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，

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则代数式m2+2m+n的值等于（ ） A．2019

B．2020

C．2021

D．2022

9．（3分）如图，已知△ABC．

（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M （2）分别以M，N为圆心，以大于，两弧在∠BAC的内部相交于点P．

（3）作射线AP交BC于点D．

（4）分别以A，D为圆心，以大于，两弧相交于G，H两点． （5）作直线GH，交AC，AB分别于点E

依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，则CD的长是（ ）

A．

B．1

C．

D．4 ，

，

，…，

10．（3分）按规律排列的一组数据：，，□，其中□内应填的数是（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）数字6100000用科学记数法表示是 ． 12．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC ，使△ABC≌△ADC．

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13．（3分）已知一组数据0，1，x，3，6的平均数是y，则y关于x的函数解析式是 ．

14．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，点O为BC的中点，以

OB

为半径作半圆，交

AC

于点

D ．

15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③3a+c＞0；

④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0． 其中正确的是 ．（只填序号）

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三、解答题：本大题共7小题，共55分。 16．（5分）计算：|

﹣1|+cos45°﹣（

）﹣3+

．

17．（7分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图

（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ；

（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方

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法

18．（7分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点C（2，0），点B（0，4）（x＞0）的图象经过点A． （1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝（x＞0）图象上的点（1，n），求m

19．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P． （1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

20．（8分）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．

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（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，该商场利润最大？最大利润是多少？

21．（9分）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． （1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．

例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角． 解决问题

如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的

两

直

线

BA

′

与

AC

所

成

角

的

大

小．

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（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；

②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点

22．（11分）如图，直线y＝﹣x+，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E （1）求抛物线的解析式； （2）求证：OE⊥AB；

（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标，请说明理由．

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答案与卡片

一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1．参：﹣2万元表示亏损2万元， 故选：B．

2．参：圆柱体的左视图是长方形，而长方形既是轴对称图形， 故选：A．

3．参：A、应为x+2x＝3x； B、应为﹣（x﹣y）＝﹣x+y；

C、（x6）3＝x2×2＝x6，，故本选项错误； D、x5÷x6＝x5﹣3＝x5，故本选项正确． 故选：D．

4．参：∵AB∥CD，∠B＝72°28′， ∴∠C＝∠B＝72°28′， ∵BC∥DE， ∴∠D+∠C＝180°，

∴∠D＝180°﹣∠C＝107°32′， 故选：C． 5．参：原式＝＝＝

÷[

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]

÷

＝，

故选：A． 6．参：

，

解不等式①，得x≥﹣8， 解不等式②，得x＜3，

所以不等式组的解集是﹣1≤x＜7， 在数轴上表示出来为：

，

故选：B．

7．参：根据正多边形内角和公式可得，

正五边形ABCDE的内角和＝180°×（5﹣2）＝540°， 则∠BAE＝∠B＝∠E＝

＝108°，

根据正五边形的性质，△ABC≌△AED， ∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°， ∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°， 故选：C．

8．参：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根， ∴m2+m﹣2021＝0， ∴m2+m＝2021，

∴m6+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，

∵m，n是一元二次方程x5+x﹣2021＝0的两个实数根，

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∴m+n＝﹣1，

∴m6+2m+n＝2021﹣1＝2020． 故选：B．

9．参：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD， ∴∠EAD＝∠FAD，EA＝ED， ∵EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴∠FAD＝∠EDA， ∴DE∥AF， 同理可得AE∥DF，

∴四边形AEDF为平行四边形， 而EA＝ED，

∴四边形AEDF为菱形， ∴AE＝AF＝2， ∵DE∥AB， ∴

＝

，即

＝，

∴CD＝． 故选：C．

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10．参：观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1， ∴第n个数据为：

．

当n＝8时，□的分子为52+7＝10， ∴这个数为故选：D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．参：用科学记数法表示6100000，应记作6.1×106， 故答案是：6.1×108．

12．参：添加的条件是AD＝AB， 理由是：在△ABC和△ADC中

，

∴△ABC≌△ADC（SAS）， 故答案为：AD＝AB（答案不唯一）． 13．参：根据题意得： y＝（0+1+x+7+6）÷5 ＝+2．

故答案为：y＝+4． 14．参，连接OD，

在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4， ∴sinC＝

＝＝，BC＝

＝

，

＝，

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∴∠C＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵OD＝BC＝∴DE＝，

∴阴影部分的面积是：， 故答案为：

﹣

．

2×7

﹣

﹣

＝

﹣

，

15．参：由图象可得， a＜0，b＞0，

则abc＜7，故①正确； ∵﹣

＝1，

∴b＝﹣3a，

∴2a+b＝0，故②正确；

∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（3，0）和（3，对称轴是直线x＝3，

∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（﹣7，故④正确；

∴当x﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴y＝a+5a+c＜0，

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∴3a+c＜7，故③错误； 故答案为：①②④．

三、解答题：本大题共7小题，共55分。 16．参：原式＝＝

﹣1+

﹣．

﹣1+

﹣

＝﹣1+

17．参：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：360°×30%＝108°， 故答案为：108°；

（2）这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），

则及格的人数为：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），补全条形统计图如下：

（3）估计该校“良好”的人数为：1200×故答案为：510人； （4）画树状图如图：

＝510（人），

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共有3种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种， ∴抽到两名男生的概率为＝．

18．参：（1）过A作AD⊥x轴于D，如图：

∵∠ACB＝90°，

∴∠OBC＝90°﹣∠BCO＝∠ACD， 在△BOC和△CDA中，

，

∴△BOC≌△CDA（AAS）， ∴OB＝CD，OC＝AD， ∵C（2，0），3）， ∴AD＝2，CD＝4， ∴A（5，2），

∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，

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∴4＝，解得k＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝（2）由（1）得A（6，4）， 设直线OA解析式为y＝tx， 则2＝6t，解得t＝， ∴直线OA解析式为y＝x，

将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y＝x+m， ∵点（2，n）在反比例函数y＝∴n＝

＝12，

， ；

∴直线OA向上平移m个单位后经过的点是（1，12）， ∴12＝+m， ∴m＝

．

19．参：（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，

又D为BC中点，O为AB中点， 故OD＝

，OD∥AC，

∴∠ODB＝∠ACB＝90°． ∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠OBE，

又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC， ∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC， 又∠EBP＝∠EBC，

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∴∠P＝∠OBD．

∵∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠BOD+∠P＝90°， ∴∠OBP＝90°． 又OB为半径， 故PB是⊙O的切线． （2）∵AC＝7， 由（1）得OD＝又PD＝6，

∴PO＝PD+OD＝6+2＝7．

∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°， ∴△BDP～△OBP． ∴∴BP＝∴OB＝故⊙O的半径为

，即BP2＝OP•DP＝4×6＝42， ．

＝．

＝

．

＝8，

20．参：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x﹣5）元，

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根据题意得：+＝100，

整理得：x5﹣18x+45＝0， 解得：x＝15或x＝3（舍去）， 经检验，x＝15是原分式方程的解， ∴x﹣5＝15﹣5＝10（元），

答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元； （2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，

由题意得：w＝（15﹣a）（100+20a）＝﹣20a2+200a+1500＝﹣20（a﹣7）2+2000， ∵a＝﹣20，

当a＝5时，函数有最大值，

答：当降价8元时，该商场利润最大． 21．参：（1）如图1中，连接BC′．

∵A′B＝BC′＝A′C′， ∴△A′BC′是等边三角形， ∴∠BA′C′＝60°， ∵AC∥A′C′，

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∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角， ∴两直线BA′与AC所成角为60°．

（2）①观察图形可知，图形丙是图2的展开图， 故答案为：丙．

②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接PN，最小值为线段MK的值．

由题意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，JK＝8﹣（4﹣2）＝5， ∴MK＝

＝

＝10，

∴PM+PN的最小值为10．

22．参：（1）∵直线y＝﹣x+、y轴于点A，B， ∴A（3，6），），

∵抛物线y＝﹣x6+bx+c经过A（3，0），7）， ∴解得：

， ，

∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x+3； （2）∵y＝﹣x2+7x+3＝﹣（x﹣1）3+4，

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∴抛物线的对称轴为直线x＝1，

设直线AD的解析式为y＝kx+a，将A（2，D（0， 得：解得：

， ，

∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3， ∴E（1，7）， ∵G（1，0）， ∴tan∠OEG＝

＝，

∵OA＝3，OB＝， ∴tan∠OAB＝

＝＝，

∴tan∠OAB＝tan∠OEG， ∴∠OAB＝∠OEG， ∵∠OEG+∠EOG＝90°， ∴∠OAB+∠EOG＝90°， ∴∠AFO＝90°， ∴OE⊥AB； （3）存在． ∵A（3，0）， ∴C（﹣6，0）， ∴AC＝3﹣（﹣3）＝4， ∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，

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∴AD＝OA＝3，

设直线CD解析式为y＝mx+n， ∵C（﹣2，0），3）， ∴解得：

， ，

∴直线CD解析式为y＝3x+3，

①当△AOM∽△ACD时，∠AOM＝∠ACD， ∴OM∥CD，

∴直线OM的解析式为y＝5x，

结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+4，得：3x＝﹣x2+3x+3， 解得：x1＝

，x2＝

，

②当△AMO∽△ACD时，如图3， ∴

＝

，

＝

＝2

，

∴AM＝

过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM＝90°， ∵∠OAD＝45°，

∴AG＝MG＝AM•sin45°＝6∴OG＝OA﹣AG＝3﹣4＝1， ∴M（1，4），

设直线OM解析式为y＝m1x，将M（1， 得：m2＝2，

∴直线OM解析式为y＝2x，

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×＝2，

结合抛物线的解析式为y＝﹣x4+2x+3，得：5x＝﹣x2+2x+3， 解得：x＝±

，

或

．

综上所述，点P的横坐标为±

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考点卡片

1．正数和负数

1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．

2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．

3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．

2．科学记数法—表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 3．实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可

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以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．

4．规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单

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运算，从而得出通项公式．

（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 5．整式的加减

（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用：

①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式；

③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题

1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．

2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．

6．幂的乘方与积的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指

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数相加”的区别．

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 7．同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 8．分式的混合运算

（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题

1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

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2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．

3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 9．负整数指数幂

负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 10．二元一次方程组的应用

（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解．

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元．

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．

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11．根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 12．根与系数的关系

（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．

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，x1x2＝，反过来也成

13．在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 14．解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

15．函数关系式

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用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意：

①函数解析式是等式．

②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．

③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 16．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝中的交点个数可总结为：

①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝直角坐标系中有2个交点；

②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝直角坐标系中有0个交点． 17．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可

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在同一直角坐标系

在同一

在同一

以决定开口大小，|a|越大开口就越小．

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）

③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数．

△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

18．抛物线与x轴的交点

求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 19．二次函数的应用

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（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

20．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的

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一些隐含条件．

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

21．几何体的展开图

（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图：

①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．

从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 22．度分秒的换算

（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．

（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、

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分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 23．平行线

在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b；

读作：直线a平行于直线b．

（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内；

②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 24．平行线的性质 1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等． 25．全等三角形的判定

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（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．

（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

26．角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

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27．线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 28．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝c＝

．

，b＝

及

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 29．多边形内角与外角

（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）

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此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°．

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．

②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 30．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三

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角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

31．切线的判定与性质 （1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 32．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．

（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则

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S扇形＝

πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）

（4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．

（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

33．作图—复杂作图

复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．

解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 34．轴对称图形

（1）轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

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35．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题

在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 36．平移的性质 （1）平移的条件

平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 37．中心对称图形 （1）定义

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把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形

平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 38．特殊角的三角函数值

（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝sin45°＝sin60°＝

；cos45°＝

；tan30°＝

；

；tan45°＝1；

；

；cos60°＝； tan60°＝

（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．

（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 39．简单几何体的三视图

（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．

（2）常见的几何体的三视图：

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圆柱的三视图：40．用样本估计总体

用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布：

从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．

一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 41．扇形统计图

（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各

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部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．

（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （3）制作扇形图的步骤

①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；

④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来． 42．条形统计图

（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来． （2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较． （3）制作条形图的一般步骤：

①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．

②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔． ③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．

④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．

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43．算术平均数

（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．

（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．

（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 44．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

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