可定向闭曲面I-丛一类自平环和中的本质曲面

2018年1月Journal of Qufu Normal UniversitJan.2018y :/DOI10.3969i.ssn.1001-5337.2018.1.017j

可定向闭曲面I-丛一类自平环和中的本质曲面*

王树新, 孙平爽, 卢 硕

(辽宁师范大学数学学院,辽宁省大连市)116029,

/}设M=S×I其中S是可定向闭曲面,上,且A0, 摘要:A0~A1,A0,A1落在S×{0A1在S×I上}上都是非分离的平环,均不可压缩.若A0与A1在S×{则M中不存在任何本质闭曲面.0

关键词:自平环和;本质闭曲面;neser-Haken数I-丛;K

()中图分类号:O1.3 文献标识码:A 文章编号:1001-5337201801-0017-03

1 引 言

]献[中,邱瑞锋,王诗宬利用三维流形组合拓扑的研究技巧和方法构造并证明了一类三维流形中不存在任1]何本质闭曲面;在文献[中,王树新证明了可定向闭曲面I在2-丛非分离带边曲面和中不存在本质闭曲面;]文献[中,王树新给出了可定向闭曲面I近年来三维流形自带边曲3-丛三穿孔球面和中本质闭曲面的分类.

三维流形中不可压缩曲面的性质和分类问题一直以来都是三维流形理论研究的核心和热点问题.在文

面和是否具有亏格次可加性,三维流形自带边曲面和中本质闭曲面的性质和分类引起了三维流形研究者的广泛关注,并得到了一系列令人满意的结果.本文从上述视角出发,利用三维流形组合拓扑的技巧和方法证明了可定向闭曲面I-丛一类自平环和中不存在本质闭曲面.

2 预备知识

个不可约三维流形;否则,称M是一个可约三维流形.

定义2.若M中任意二维球面都界定一个三维实心球体,则称M是一1 设M是一个可定向三维流形,定义2.或者F是三维流形M一个边界分支上的子曲面.若2 设F是三维流形M中一个真嵌入的曲面,

F符合下列情形之一:心球的圆盘;

()1F为􀆟M上的一个圆盘或F为M中的一个真嵌入的且与􀆟M上的一个圆盘界定M中的一个三维实()2F为M中的一个界定三维实心球的二维球面;

是M中的一个可压缩曲面;否则,称F是M中的一个不可压缩曲面.

()使得c在M中界定一个二维圆盘D,并且满足(则称F3F上存在一条本质闭曲线c,intD)∩F=Ø,定义2.若F是M中的一个不可压缩且非边界平行的闭曲面,则称3 设M是一个紧致可定向三维流形,定义2.若M=则称M是曲面S上的一个I4 设S是一个紧致可定向闭曲面,I是单位区间,S×I,-丛.

F是M中的一个本质闭曲面.

*收稿日期:2017-11-23

)国家自然科学基金( 基金项目:11471151.

,:_w王树新,男,男,博士,副教授;研究方向:低维拓扑. 作者简介:1980-E-mailshuxinan@163.com.g

曲阜师范大学学报(自然科学版)18 2018年若M=S×I,且c是S上的一条闭曲线,则称c×I是M中 定义2.5 设S是一个紧致可定向闭曲面,的一个垂直平环.

定义2.称M*6 设M是一个紧致可定向带边三维流形,F0和F1是含在􀆟M上的两个带边同胚曲面,定义2.称M中闭的、分离的、两两互不相交、互不平行的、不可压缩曲7 设M是一个紧致的三维流形,

[]

(引理2.是不可压缩曲面.如果􀆟则Q是14 设H是一个压缩体,Q,􀆟H)H,∂H)Q∩􀆟+H=Ø,⊂([]

)上的不可压缩、引理2.边界含在Bi=􀆟边界不可压缩曲面,25 设SMi(i=1,2i是Mi中非圆盘的、

F0~F1是M沿着F0和F1相粘所得的自曲面和.=M/

面的极大个数为三维流形M的Kneser-Haken数.非本质的,即Q的每一个分支都是边界平行的.

如果S1∩A1和S2∩A2等价,并且将M1和M2沿A1A1⊂B1和A2⊂B2是两个同胚的不可压缩曲面.

和A2粘起来得到的三维流形记为M,则S=S1∪S2在M中一定是不可压缩的.

]本文中未定义的术语和概念都是标准的,参见文献[6,7.

3 主要结果

}上都是非分离的平环,若A0与A1在S×{则M中不存在任何本质闭曲面.I上均不可压缩.0

/}上,定理3.其中S是可定向闭曲面,且A0,1 设M=S×IA0~A1,A0,A1落在S×{0A1在S×/},},证明 显然M=其中A0=A×{S×IA0~A1可视为M=(S×I)0A1=A×{1∪A0∪A1A×I,

由代数的结果可知A0,实心环体)中是不可压缩的.又由已知A0,A1在A×I(A1在S×I中是不可压缩的,可得A0,A1在M中是不可压缩的.是极小的,则有如下事实:

,设F是M中的一个本质闭曲面,考虑F∩(并且在合痕的意义下要求|F∩(A0∪A1)A0∪A1)|事实1 F∩(A0∪A1)=Ø.

F是M中的本质闭曲面矛盾.

},故F必落在S×I之中,而S×I是平凡的压缩体,其中任何不可压缩闭曲面一定边界平行于S×{这与1

事实2 F∩A0≠Ø,F∩A1≠Ø.

若不然,由A×I是一个实心环体,可知其中不存在不可压缩闭曲面,F必落在A×I或者S×I之中,

},从而F可边界合痕到S×{这与F是M中本质闭曲面矛盾.S×I中闭的不可压缩曲面,1

若不然,不失一般性,不妨设F∩A1=Ø,此时M\\即若F是M中的本质闭曲面,则F必是A1≅S×I,由事实1、事实2及|F∩(可知F∩A0,A0∪A1)F∩A1的每一个分支在A0,A1及F|是极小的,进一步的,由A×I是实心环体可知,的每一个分支在A×I中都是垂直的平环,由S×IF∩(A×I)

上都是本质的,且F∩(A×I)及F∩(S×I)的每一个分支在A×I及S×I都是不可压缩曲面.

是平凡压缩体、A0∪A1)1可知,F∩(S×I)的每一个分支在S×I中都边|F∩(|是极小的及引理2.}(界平行到S×{0\\A0∪A1).

选取F∩(不妨设其为F*,由F*的最外性可知必存在A×I中的两S×I)在S×I中的最外分支,容易观察到此时的F是边界平行的,这也与F是M中的本质闭曲面矛盾.综上,M中不存在任何本质闭曲面.

个垂直的平环A*及A**,使得F=F*∪A*∪A**.

}上都是非分离的平环,若A0与A1在S×{则M的KI上均不可压缩.0neser-Haken数为2.

/}上,推论3.其中S是可定向闭曲面,且A0,1 设M=S×IA0~A1,A0,A1落在S×{0A1在S×

第1期 王树新,等:可定向闭曲面I19-丛一类自平环和中的本质曲面 数为2.

证明 由定理3.故M的K1及引理2.2可知,M中存在两个互不平行的不可压缩闭曲面,neser-Haken

参考文献:

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(,,,,SchoolofMathematicsLiaoninormalUniversit116029,DalianLiaoninPRC)gNyg

},incomressiblesurfacesinS×I.IfA0andA1arenon-searatinnnularinS×{0thenthereisnoessen-ppgatialclosedsurfaceinM.

:;;KeordsSelf-annularsum;essentialclosedsurfaceI-bundleKneser-Hakennumberyw

:/,}AbstractLetM=S×IA0~A1,whereSisanorientableclosedsurfaceA0,A1lieinS×{0andare