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第４卷第１期 邵阳学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｏｙａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ＶｏＩ．４ Ｎ０．１ Ｍａｒ．，２００７ ２００７年３月 文章编号：１６７２—７０１０（２００７）０１—０００１－０３ １∑ ∑ Ｉ一ｌ 全对称２ｎ一１次系统的中心焦点与极限环分支 ＝ 刘灿辉 （邵阳学院理学系，湖南邵阳４２２０００） 摘 要：本文研究了全对称２ｎ－１次系统，求出了原点的前ｎ－Ｉ阶焦点量，得出了该系统的中心条件及它在 ／ 整个相平面上最多可扰动出ｎ一１个小振幅极限环． 关键词：全对称；焦点量；极限环；奇异闭轨 中图分类号：Ｏ１７５．１２ 文献标识码：Ａ Ｃｅｎｔｅｒ ｏｒ ｆｏｃｕｓ ａｎｄ ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅｓ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｏｎ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ２ｎ－１ ｄｅｇｒｅｅｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｐｌａｎｅ ＬＩＵ Ｃａｎ—ｈｕｉ （Ｄｅｐｔ ｏｆ Ｓｃｉ．ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍ．Ｓｃｉ，Ｓｈａｎｙａｎｇ Ｕｎｉｖ，Ｓｈｏｏｙａｎｇ，Ｈｕｎａａ ４２２０００） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ２ｎ－１ ｄｅｇｒｅｅｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｐｌａｎｅ ｉｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆｆｏ— ．ｃａｌ ｖａｌｕｅ，ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｈａｓ ｎ－１ ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｐｌａｎｅ ａｔ ｍｏｓｔ．Ａｔ ｔｈｅ ｓｓｌｎｅ ｔｉｍｅ，ｔｈｅ ｃｅｎｔｒａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎ ｉｊ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｎ ｈｅ ｗｈｏｌｅ ｐｌｔｎｅ；ｆａｕｃａｌ ｖａｌｕｅ；ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅｓ；ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔ １ ｎ一对称系统的定义 考虑如下复自治系统 ＝ ‰ ［（ｑ０ ＋ ＋ ）】＋ ３） ）】＋ ； 其中＾．０．ｔ表示高次项，称系统（１）与系统（３）互为 ｚ＝ｐｅ 三， Ｗ＝ｐｅ一 １ （４） 其中（１）的右端函数是光滑的 Ｗ，Ｔ均为复 变量， ，ｂ ∈ Ｐ是由（１）的全部右端系数构成的 复参数空间，Ｏｔ≥０，卢≥０， ＋卢≥１，ａ￣ｚ＝ｂ 口． 系统（１）经复线性变换 ｚ＝ ＋ ， Ｗ＝ 一纱，Ｔ＝ｉｔ， ｉ：√一１（２） 其中三，ｗ是新的变量 和０为参数，Ｐ≠０． 若记 ＝ ＋沙，Ｗ＝Ｘ一／ｙ，；＝ ＋ 歹， ＝ 一 ，则（４）式化为 ＩＹ＝ｐ（￣ｓｉｎＯ＋ｙｃｏｓ０） 系统（１）经变换（４）化为 （５） 化为下述形式的实系统 ｊ等＝ 弘 ｌ等一 差 收稿日期：２００６一ｌ１—３０ 作者简介： 刘灿辉（１９７２一），女，湖南浏阳人，邵阳学院理学系教师，主要从事微分动力系统的研究． ㈣ 维普资讯 http://www.cqvip.com
２ 邵阳学院学报（自然科学版） 第４卷 相应地，系统（２）经变换（５）化为（６）的伴随系统． 样的奇点必有无穷多个，任意一个这样的奇点不 可能为中心，也不可能扰动出极限环，并且所有这 些奇点构成一个关于原点对称的奇异闭轨，． 南相似旋转变换可得，（６）式中 ，％满足： ｛１ ＝ 叶 卜ｅ ｕ 定义１如果系统（１）中，每一个Ｏｔ，卢均满足 如下条件： 证明：由性质２与定义２易知，过奇点 。，ｙｏ） 有一条轨线即奇异闭轨，假设经过它还有一条闭 轨线，那么与必然相交；又驻定方程组的轨线不能 相交，矛盾．从而，实奇点 。，ｙｏ）不可能是中心，也不 （ａ）（Ｏｔ－１３一Ｊ）Ｏ＝２ＫＴｒ，，ｃ是正整数， （ｂ） ，ｎ为正整数． 那么我们称系统（１）或其伴随系统（２）是ｎ一对 称的． 『｛１定义１知道，只要Ｏｔ－１３一Ｊ＝ｋｎ，ｒｔ为正整数， 则系统（１）或其伴随系统（２）是ｎ一对称的． 定义２当系统（１）中Ｏｔ－１３一Ｊ＝０时，称系统（１） 为全对称的或任意对称的． ２ ｎ一对称系统的性质 接下来研究一下ｎ一对称系统轨线的性态． 性质１如果（１）或（２）为ｎ一对称系统，任意一 点Ａ ，ｙ）￣ｋＪ系统（２）轨线上一点Ｂ（ｘｃｏｓ 一ｙｓｉｎ ——。，￣ｃｏｓ ——十船ｍ—— ｐ，＋船 Ｊ那么点也／厶恳也 一ｄ＝其轨线１Ｌ －２，－， 且两点附近轨线有相同的拓扑结构． 证明：点ａ（ｘ，），Ｊ在系统（２）上，其对应于复系统 （１）中ｚ，Ｗ分别为：Ｚ＝Ｘ＇ｌ＇ｉｙ， ＝ 一 ，，设ｚ ，ｗ＝ｐｅ ， 其中ｐ＝Ｖ ＋）， ，ｔａｎＯ＝｝．而点Ｂ显然是由点 ａ（ｘ，），Ｊ逆时钟方向旋转丛 而得到的，所以 对 应于 ：ｐ Ｐ一， ＝ｐＰ一 Ｐ 了， ＝口 ｐａ＋￣－ｉ，屯： ｐ州一’ 代入（６）化简得： ｆ ｄ２ａ：ｚ（： ， ） ｌ一 ＝Ｗ（ｚ ） 显然ｚ口， 口满足系统（１），从而点 ｏｓ 一ｙｓｉｎ 盟， ｏｓ ＋ ｓｉ Ｊ在系统（２）的轨线上．由 上述过程及旋转相似变换的拓扑不变性知，其附 近轨线的拓扑结构也是相同的． 由性质１容易得到： 性质２如果系统（２）为实ｎ一对称系统，且其 相轨线上存在一个非原点的实奇点，则这样的奇 点必有ｎ个，它们关于原点成ｎ一对称． 性质３ 如果系统（２）为实全对称系统，且其 相轨线上存在一个非原点的实奇点 。， ，则这 可能扰动出极限环． ３全对称２ｎ一１次系统的焦点量与极限环分支 由定义２知，如下复系统： Ｊ【 害ｄ ｗ：ｚ＋ 一ｎ ｔｚ ｗ ～：： ｌ＋ 一ｔｃ 一＝一ｗ一 一 ：一川ｌ＋耋 （ 广ｌ】 （８） 与其伴随实系统： 』｝ ｄ．ｘ 一 一 ｎ（ ，ａ ＋ ）（ ２＋ ）广’ ～ （一 ９） ＋薹（ 卜‰ （其中Ｚ＝ｘ＋ｉｙ，Ｗ＝Ｘ一 ，Ｔ＝ｉｔ， ，＝＝。７＿，当Ｏｔ≥Ｄ，卢≥ ０，ａ＋卢≥２时ａ ＝Ａ ＋ ６ ＝Ａ 一 ．Ｊ １为全对称的． 设ｚ＝ｒｅ ，ｗ＝ｒｅ埘可得 １ｆｆ 三：ｇｗ＝，ｗ 从而有１． ｆｆ ｒ ：２ ｌ＝ｚｗ ２ｉ ｎ三 ， 进一步可得 去＝丢薹（ 警 两式相比得 嘉：抛ｌ莲等＋ （ ＋６…一 ） 一２ 对于充分小的常数ｈ，系统（８）适合初值条件 ｒｌ￣＿ｏ＝ｈ的解与Ｐｏｉｎｃａｒｅ后继函数分别记为： ，：ｒ（Ｏ，ｈ）： Ｖ （ ＾。，ｄ（＾）：，（２ ，ｈ）一ｈ 易知 ｒ２仃）＝Ｊ，将上式代入（１０）比较ｈ两边同次 幂的系数易得： 当 ｊ＝ ４＝…Ｖ２ｋ＿２￣－Ｏ，２≤ｋ≤ｒｔ时， 一 一２￣ｒＢ￣ Ｊ， 当ｋ＞ｎ， ｊ＝ ４…＝ 一Ｊ＝Ｄ时，即Ｂ ＝ 兹＝… ． 一Ｊ＝Ｄ 时，显然有 ｄｒ＝０，从而ｒ＝ｃ，ｃ为任意常数，此时原 点为中心．根据以上推导过程知道： 维普资讯 http://www.cqvip.com
第ｌ期 刘灿辉：全对称２ｎ一１次系统的中心焦点与极限环分支 ３ 定理１系统（２．２．１）或（２．２．２）原点的前ｎ一１阶 焦点量分别为： 当Ｄ３＝Ｄ４＝ ５＝・・・ 款一２ Ｄ，２≤ｋ≤ｎ时， 越一Ｊ＝一２￣ｒＢｋ．ｔ一』 ．定理２当Ｄ３＝ ＝ ＝…Ｄ２ｎ－Ｉ＝Ｄ时，即Ｂ２，＝ 露＝ … 一．『：Ｄ时，系统（８）或（９）的原点为中心，且为等 时中心． 证明：当Ｄ３＝ ＝ ５＝…＇／）２ｎ－Ｉ＝Ｄ既显然由（１０）知： ｄ ｒ＝０，从而ｒ＝ｃ，ｃ为任意常数，此时原点为中心． 口 同时在上述条件下，其所有Ｌ／ｅ不变量全部为０， 故该中心为等时中心． 系统（８）或（９）显然为全平面对称系统。对于 非原点的奇点而言，由性质３知，它不可能扰动出 极限环．那么该系统只能由原点扰动出极限环．下 面来考察一下原点的极限环分支情况． 引理１［４１系统（３）在坐标Ｘ＝ｒｃｏｓＯ，ｙ＝ｒｓｉｎＯ下适 合初值条件的解与后继函数分别记为： ｒ＝ｒ（ ＝∑ｖ卅（ ， △（ ＝ｒ（２ 一忍 对充分小的＾，占，如果Ａｈ＝ｈ（６）是的一个零 点，则＾＝一和，＾ Ｊ，占Ｊ也是△（＾，占）的一个零点，从 而在实域内Ａ（ｈ，占）的正负零点成对出现． 基本条件１存在自然数Ｎ，ｍ和一串与占无 关的 Ｄ， ，…， …使 （２ｚ，ｓ）一１＝ ｓ¨ ＋０（６ ）； 【 ２ （２ｚ，ｓ）： ｓ¨ ＋０（６¨ ）；ｋ＝ｌ，２，其中ｆ。，ｆＪ…ｆ 是正整数，ｆ ＝Ｄ，Ａ ≠０． 定义３称 ，占）为系统（３）的弱分支函数，其 中Ｌ（ｈ，占）＝∑ ｈ ． 定理３ （ａ）如果基本条件１成立，则系统（３） 当０＜ｌ ｓ Ｉ《１时在原点充分小的邻域内至多可 由焦点或中心点扰动出ｍ个极限环． （ｂ）如果基本条件１成立且基本条件１中 ，｛ 一，＜Ｄ， ＝ｌ，２，…ｍ 。以及 一厂ｈ＞ｈ一 ＋，， ＝ｌ，２， …ｍ—ｌ Ｊ，当０＜ ｌ时在其弱分支函数Ｌ（ｈ，￡）恰 ｒ—＿：－＿—— ————一 ‘．．一“ 有ｍ个正零点，即： ） √（一 ｋ ＋。 Ｔ）・ 相应地，系统（３）的原点可分支出个极限环，其位 置分别在圆 ＋ ＝（一 ） －ｒ 的附近． 根据定理３容易得到： 定理４如果系统（８）或（９）右端系数满足如下 条件： ｖ，（２ｎ，占）一ｌ＝ｃ：２ 一。＋Ｄ（占２ｎ－２）； ｖ３（２ｚ， ）＝一２ｚＢ２ｌ＝Ｃｉ 一 ＋ｏ（６２ｎ－４）； Ｖ２ ３（２ｚ，ｇ）＝一２７『 一ｌｎ一２＝Ｃｎ一一。２ｇ ＋０（ｇ ）； Ｖ２ （２ｚ，ｇ）＝一２ｚ ｌ＝Ｃ ＋０（１） 且０＜ｌ Ｉ＜＜１时，系统（８）可由原点分支出ｎ一１ 个极限环，且在整个相平面上最多只有ｎ一１个小 振幅极限环． 证阴：当ｖｌ—ｌ＝ＣｏＥ ＋ｏ（６２ｎ－２）； ｖ３ －２ｘＢ２ｌ＝ｃｌ 一 ＋０（６ 一 ）；…… Ｖ２月３＝一２ｚＢ ｌ， ．２：Ｃｎ一一－２ ＋Ｄ（ 。）；１ —ｌ＝－－２ｘＢ．￣，＝ｃ ＋Ｄ（１） 时，这里让ｃ０，ｃＩ，ｃ２…Ｃｎ－２＇ｃ 满足方程： ｇ（ ）＝ｃｏ＋ｑｈ２＋ｃ２ｈ４＋…＋ ＾ ＝ 一ＩＸｈ 一２Ｘｈ 一３ ）… 一 一１） ） 在此条件下，其弱分支函数为 Ｌ（ｈ， ）＝ｃ０ 一 ＋Ｃｉ８ ５．－４ｈ ＋…＋Ｃｎ２￣ ｈ 一 ＋ｃ．１ｈ 一 由上可以知道，系统（８）在原点附近有ｎ一１个 小振幅极限环，其位置在Ｘ２＋，，２＝ ，ｋ＝Ｊ，２，３…ｎ— Ｊ附近．由性质３知：它如果存在非原点的实奇点， 那么必然有无数个这种关于原点对称的实奇点， 它们位于闭曲线ｘ２＋ｙ２＝ｃ上．因此系统（８）在整个 相平面上最多只有ｎ—１个小振幅极限环． 参考文献： 【１】Ｐ．Ｙｕ．Ｍ．Ｈａｎ．Ｔｗｅｌｖｅ ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅｓ ｉｎ ｃｕｂｉｃ ｅａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ １６ｔｈ Ｈｉｌｂｅｒｔ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］，Ｉｎｖｅｎｔｉｏｎ，ｉｎ ｐｒｅｓｓ． 【２】 黄文韬．微分自治系统的极限环与等时中心【Ｄ】， 长沙，中南大学，２００４． 【３】 刘一戎．李继彬，论复自治系统的奇点量【Ｊ】，中国 科学（Ａ辑），１９８９，３：２４５－２５５． 【４】 刘一戎．一类高次奇点与无穷远点的中心焦点理 论［Ｊ】，中国科学（Ａ），２００１，Ｉ：３７－４８． 【５】 张芷芬．微分方程定性理论【Ｍ】，北京：科学出版 社。１９９７：１１０－１２０． 【６】 Ｆ．Ｇｏｂｂｅｒ，Ｋ．Ｗｉｌｌａｍｏｗｓｋｉ．Ｌｉａｐｕｎｏｖ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｈｏｐｆ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．Ａｐｐ１．１９７９，７１：３３０—３５０． 【７】 Ｍ．Ｓａｂａｔｉｎｉ．Ｎｏｎ－ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｌｓｅｈｍｎｏｕｓ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｐｌａｎｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｎｎａｌｉ ｄｉ Ｍａｔｅｍａｔｉｃａ，２００３， 】８２：４８７－５０１．
