巧用三角函数图像解决问题

河北省遵化市东旧寨中学 王广平 邮编0203 三角函数图像是三角函数概念和性质的直观反映，是我们解决许多问题的工具，因此一直是高考的重点热点内容。本文结合实例，将三角函数图

像在解决三角函数问题的妙处做一总结，以供参考。

一、解决三角函数的最值值域。

1例1、已知函数ysinx的定义域为a,b，值域为1,，则ba的最

2大值和最小值之和。

解析：欲求ba的最大值和最小值，即求使得函数ysinx的值域为

11,的相应自变量取值区间的最大长度和最小长度。画出函数在20,3范围内图像。观察图像可直观求解。

易得(ba)max1358354，(ba)min 666266(ba)max(ba)min2

y 1 20 3 25 63 x 13 6例2．已知数y|sinx||cosx|,x[0,]，求出函数的值域。 解：原函数关系式可化为：

2sin(x)x[0,]24y 图象如下图。

2sin(x)x(,]24时ymin1 23当x=,时ymax2

44当x=0，

∴所求函数值域为[1，2]

二、解决三角函数的单调区间 例3、求函数y=－｜sin（x+

π4π）｜的单调区间 4分析： 可画出y=－|sin（x+）|的图象 解：函数图像如下图所示

5 - 4  3 - 4 y  - 4  4 3 4 5 4 7 4 x 易知y=－|sin（x+为［kπ－

ππ3π）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间444ππ，kπ+］（kZ）。 44三、解决三角函数的周期 例4．求函数f(x)2tgx的最小正周期。 21tgx分析：本题极易由万能公式将函数y周期为

2tanx转化为ytan2x作出21tanx的结论。事实上，转化前后函数已不是同一函数，ytan2x需加22tanx注xk(kZ)才与y为同一函数。因此，要求最小正周期

21tan2x应结合图形考虑，由下图可知周期为。

四、解决三角图形面积。

例5．已知函数y2cosx，x∈[0, 2]和y=2和图象围成一个封闭的平面图形，求该图形的面积。

分析：直接求面积对于高中生来说是无从下手的，所以应充分利用余弦函数的对称性方可解决。

易知封闭图形的面积是矩形ABCD面积的一半，而|AD|=4，|AB|=2，

11所以此封闭图形的面积为|AD|×|AB|424。

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五、解决变量范围

例6．若方程3sinxcosxa 在[0, 2]上有两个不同的实数解，求a的取值范围。

解：原方程可化为a2sin(x6)，(nis由y2x6)的图象(0x2)

可知，a∈（－2，1）∪（1，2）时，方程3sinxcosxa在[0, 2]上有两个不同实根。