第３２卷第３期 武汉理工大学学报・信息与管理工程版 Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．３ ２０１０年６月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＷＵＴ（ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ＆ＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ） Ｊｕｎ．２０１０ ● 文章编号：１００７—１４４Ｘ（２０１０）０３－０３９６一ｏ３ 文献标志码：Ａ 一类非线性微分方程极限环的不存在性 吕宝红，龙品红 （装甲兵工程学院基础部，北京１０００７２） 摘要：利用Ｃａｕｃｈｙ问题解的唯一性研究了一类非线性微分方程 ＝ｙ， ＝一，（ ，Ｙ）Ｙ—ｇ（ ）ｈ（ｘ，Ｙ）极限环的 不存在性，得到了在奇点唯一的情况下不存在极限环的充分条件，所得结果可用于方程 ＋，（ ， ）ｘ＋ｇ（ｘ）・ ｈ（ｘ， ）＝０不存在非零周期解的判别条件。 关键词：非线性微分方程；极限环；不存在 中图分类号：Ｏ１７５ ＤＯＩ：１０．３９６３／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—１４４Ｘ．２０１０．０３．０１４ １极限环不存在的条件 为了叙述方便，记 Ｇ（ ）＝ ｇ（ｓ） （ｓ，Ｏ）ｄｓ 在常微分方程定性理论的研究中，极限环的 存在性和个数问题一直是大家关注的课题，近年 ２主要结果和证明 来关于极限环不存在的条件的讨论，引起了大家 的注意，最基本的方法是找到合适的Ｄｕｌａｃ函 给出式（１）不存在极限环的两个充分条件， 数＿１］。但在应用中，Ｄｕｌａｃ函数的选取十分困难， 假设式（１）满足下列条件： 因此人们开始寻找一些特殊类型的方程，如 （１）存在ａ＜０＜ｂ， （ ），ｑＪ（ｙ）∈Ｃ（Ｒ）［ （ｙ） ＞０（ ≠０）］使得在［ａ，ｂ］×Ｒ上满足 ，Ｙ）≤ Ｌｉ６ｎａｒｄ方程 ＋Ｉ厂（ ， ） ＋ｇ（ ）＝０不存在极限 西（ ） （Ｙ）。 环的方法，并取得了较多的研究成果。其基本方 （２）存在Ｗ＞０，满足０＜ｈ（ ，Ｙ）≤Ｗ对（ ， 法有３种，第一种是找到方程的一条积分曲线，使 Ｙ）∈Ｒ。成立，并且当 ∈［ａ，ｂ］时 （ ）＜０。 得这条曲线的一端趋向无穷远，而另一端趋向原 记Ｋ ＝ｍｉｎ｛２，／Ｔ￣０）， ２Ｇ（ｂ）｝， ＝ ｉ ， 点，然后由解的唯一性得出方程没有极限环 Ｉ９ ； 第二种是利用Ｆｉｌｉｐｐｏｖ变换，使得该方程组的轨 ｛一 （ ）｝， ＝ｍａｘ｝ｊｇ（ｘ）Ｉ｝， ＜０＜ ，并且 ．线没有对称性，从而没有极限环＿】 ；第三种是 Ｇ（ ）＝Ｇ（Ｋ５）＝ｍｉｎ｛Ｇ（０），Ｇ（６）｝。 借助于Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统，利用Ｍｅｌ ｎｉｋｏｖ函数的零点 定理１如果式（１）除满足条件式（２）和上 与闭轨的关系构建方程闭轨不存在的条件 。 述条件（１），（２）外，还满足： 笔者利用第二种方法研究一类非线性微分方程： （３） （Ｙ）是局部Ｌｉｐｓｃｈｅｔｚ的，并且当Ｙ≥Ｋ， ＋厂（ ， ）ｘ＋ｇ（ ） （ ， ）＝０ 时，砂（），）＞ Ｗ ； ．或其等价系统： Ｊ ≠。 ｔｒ＝一 Ｙ ｒ １） （４）（ ≤６，并且当，Ｙ）Ｙ—ｇ（ ）ｈ（ ，Ｙ） 时，ｘｙ［ｈ（ｘ，０）一ｈ（ｘ，Ｙ）］＞０。 在奇点唯一的情况下不存在极限环的充分条 则式（１）不存在极限环。 件，运用和发展了文献［１３］中的结果。全文均假 证明：考虑下述初值问题 设各函数都连续，满足初值解的存在唯一性，并且 满足下面条件： Ｙ）一 （３） ｘｇ（ｘ）＞０（ｘ≠０） （２） 【ｒ（ｏ）＝ 牧稿日期：２００９—１ｌ一２８． 作者简介：吕宝红（１９７８一），男，山东德州人，装甲兵工程学院基础部讲师 第３２卷第３期 吕宝红，等：一类非线性微分方程极限环的不存在性 一３９７ 由条件（３）司知初值问题式（３）存在唯一解 －厂（ ，ｙ）ｙ ＋Ｙｇ（ ）［ｈ（ｘ，０）一ｈ（ ，Ｙ）］ ≥ 一 Ｙ＝Ｙ（ ）。下面证明，当 ＞０时，Ｙ（ ）＞Ｋ ，且曲 （ ） （ｙ）ｙ ＋Ｙｇ（ ）［ｈ（ ，０）一ｈ（ ，Ｙ）］＞０。 注意到Ｐ＝（０，Ｋ。）∈Ｂ。，从而式（１）过点Ｐ （０，Ｋ ）的负半轨 一（Ｐ） Ｂ。，又因为Ｂ＝ 线Ｙ＝Ｙ（ ）的最大存在区间为（０， ），其中 ≤ ｂ＜＋∞。 ＝易见当 充分小时，不等式ｙ ）＞Ｋ 成立，若 当 ＞０时，ｙ（ｘ）＞Ｋ 不成立，记 ＝ｒａｉｎ｛ ｛ ＞０， 且Ｙ（ ）＝Ｋ ｝，因此，当 ∈（０， ）时，Ｙ（ ）＞Ｋ ， 由条件（３）可知 ｄｙ（），）一 Ｋ３ｗ： ＞０， ∈（０， ） 从而Ｙ＝Ｙ（ ）在［０， ］上严格递增，即 ｙ（ ）＞ｙ（ｏ）＝Ｋ。，与假设矛盾。因此，当 ＞０ 时，Ｙ（ ）＞Ｋ１。 在式（３）中，由耋：ｏ （ ）一ＫＡ３ ｗ，可得： ‘ —Ｋ —Ｋ ２ Ｙ （）一 Ｋ３＝ ， ∈（。， ） ｔ 因此，Ｙ＝Ｙ（ ）的反函数 ＝ （Ｙ）定义于［Ｋ ， ＋ｏ。），值域为［。， ），由条件 （４）可知 ＜６ｃ 综合上述证明可知，当 ＞０时，Ｙ（ ）＞Ｋ ， 且曲线Ｙ＝Ｙ（ ）的最大存在区间为（０， ），其中 ≤ｂ＜＋。。。 以下再证明式（１）过点Ｐ＝（０，Ｋ ）的正半轨 （Ｐ）趋向无穷远。由条件（１）和条件（２）知，在 曲线Ｙ＝），（ ）（ｏ≤ ＜卢）上， ｊｕ Ｉ ＝一 （ ，ｙ）一 式（１） ≥一 （ ） （ｙ）一 ＞ （ｙ）一Ｋ百３ｗ： １式㈩。又由于当 ∈（。， ）时 ｙ（ｘ）＞Ｋ。，因此，由条件（３）可知，当 ∈（０，卢） 时，有： ｄｘ ＞凯。 由第一比较定理可知，式（１）过点Ｐ＝（０， Ｋ ）的正半轨 （Ｐ）位于初值问题式（３）的积分 曲线Ｙ＝Ｙ（ ）的上方，又当 — 一时ｙ（ｘ）一＋∞， 因此式（１）过点Ｐ＝（０，Ｋ ）的正半轨 （Ｐ）趋向 无穷远。 令Ａ（ ，Ｙ）＝ｙ２／２＋Ｇ（ ），Ｂ。＝｛（ ，Ｙ）ｆ Ａ （ ，Ｙ）≤砰／２｝，由式（２）和条件（１）～条件（４）可 知，当（ ， ）∈ 且），≠０时， ｄＡ ｆ式（ ）＝ ｛（ ，ｙ）ｆ ｄＡ Ｉ ＝０）不包含式（１）的整条非零 轨线，原点是式（１）唯一的奇点，由Ｐｏｉｎｃａｒｅ切性 曲线法则可知， 一（Ｐ）趋向原点，又由于 （Ｐ） 趋向无穷远，因此，式（１）不存在极限环。证毕。 与定理１相似，可得到定理２。 定理２如果式（１）除满足条件式（２）、条件 （１）和条件（２）外，还满足条件： （５） （Ｙ）是局部Ｌｉｐｓｃｈｅｔｚ的，并且当Ｙ≤Ｋ ）＞ ； （６） 并且 ≠。 时，ｘｙ［ｈ（ ，０）一ｈ（ ，Ｙ）］＞０。 则式（１）不存在极限环。 证明过程和定理１类似，略。 定理３如果式（１）除满足式（２）、条件（１） 和条件（２）外，还满足条件： （７）当＞Ｙ当＞。时，ＪＹ Ｙ Ｊ广 Ｙ Ｏ 、ｙＬｌ， ≤ｆ≤ ｘ０ ｏ） ，ｄｘ，其 中，Ｋ４≤ ｏ＜０，Ｙｏ＝，／２ Ｅ Ｇ（Ｋ４）一Ｇ（ 。）］。 则式（１）不存在极限环。 证明：令Ａ（ ，Ｙ）＝ｙ２／２＋Ｇ（ ），Ｂ ＝｛（ ，Ｙ） ＩＡ（ ，Ｙ）≤Ｇ（ ）｝，则当（ ，Ｙ）∈Ｂ 且Ｙ≠０时， 一 ，ｙ）ｙ２＋ｙｇ（ ）［ （ ，０）一 （ ）］≥ ） 一 （ ） （ｙ）ｙ ＋ｙｇ（ｘ）［ｈ（ｘ，０）一ｈ（ｘ，Ｙ）］＞０。 由于（ ，Ｙ。）∈Ｂ ，从而式（１）过点Ｐ（ 。，Ｙ。） 的负半轨 一（Ｐ） Ｂ。。又因为 ＝｛（ ，Ｙ） Ｉ ｌ式㈩ ０）不包含式（１）的整条非零轨线，原 点是式（１）唯一的奇点，由Ｐｏｉｎｃａｒｅ切性曲线法 则可知， 一（Ｐ）趋向原点。 以下证明式（１）过点Ｐ＝（ 。，Ｙ。）的正半轨 （Ｐ）不与正半Ｙ轴相交。假设 （Ｐ）与正半Ｙ 轴相交于一点Ｐ ＝（０，Ｙ。），由于［０， Ｇ（ ）］ ∈Ｂｌ，并且当（ ，ｙ）∈Ｂｌ且ｙ＃０时，ｄｉＡ ｌ ＞０， 因此，Ｙ ＞、／／２Ｇ（ ）≥Ｙ０。 设［ （ｔ），Ｙ（ｔ）］为式（１）的解，且［ （０）， ｙ（Ｏ）］＝（ 。，Ｙ。），则解［ （ｔ），Ｙ（ｔ）］定义了函数 ３９８ 武汉理工大学学报・信息与管理工程版 ２０１０年６月 Ｙ＝ｙ（ｘ），由条件（１）和条件（２）可知，当 。≤ ≤ 徐州师范大学学报：自然科学版，２００８，２６（２）：９７— ０，Ｙ＞ｏＮ，有： １１０． ｄｘ ｌ式 。 ：一，（ ，ｙ）一ｇ ≥ ［２］ ＺＨＥＮＧ Ｚ Ｈ．Ｏｎ ｔｈｅ ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｌｉ６ｎａｒｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅｅａｒ Ａｎａｌ，１９９１，１６ （６）：１０１—１１０． 一 （ ） （），）一 ＞一咖（ ） （Ｙ）＞０ ［３］ ＳＵＧＩＥ Ｊ．Ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｌｉ６ｎａｒｄ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌ， 由于在上半平面Ｙ＞０内竿＞０，Ｏｔ 因此 １９９１，１５９（１）：２２４—２３６． ｆ＝ ＞…ｙｌ ｄ、ｙ ≥ ［４］刘斌，冯滨鲁，俞元洪．广义Ｌｉ６ｎａｒｄ系统周期解的 不存在性［Ｊ］．应用数学学报，１９９８，２１（２）：２３３— ２３９． 这与条件（７）矛盾，因此７ （Ｐ）不与正半Ｙ ［５］周进．Ｌｉ６ｎａｒｄ方程周期解不存在的充分条件［Ｊ］． 轴相交，并且趋向无穷远。又因为 一（Ｐ）趋向原 应用数学，１９９８，１１（１）：４１—４３． 点，所以式（１）不存在极限环。证毕。 ［６］胡雪明．广义Ｌｉ６ｎａｒｄ方程周期解的不存在性［Ｊ］． 类似定理３，还可得到下面的定理４。 应用数学，１９９６，９（１）：２３—２５． 定理４如果式（１）除满足式（２）、条件（１） ［７］ 刘斌．一类广义Ｌｉ６ｎａｒｄ方程无环性的条件［Ｊ］．数 和条件（２）外，还满足条件（７），当Ｙ＜Ｙ０时， 学年刊，１９９８，１９Ａ（２）：１７７—１８０． ［８］ 严平，蒋继发．广义Ｌｉ６ｎａｒｄ方程周期解的存在性和 ≥ 圳 ，其中，０＜ ≤ ， ＝ 不存在性［Ｊ］．系统科学与数学，２０００，２０（２）：２１０— ２１６ 一 ［Ｇ（Ｋ５）一Ｇ（ｘ。）］。 ［９］ 赵丽琴，吕宝红．几类非线性非分方程闭轨线的不 则式（１）不存在极限环。 存在性［Ｊ］．数学进展，２００７，３６（４）：４７６—４８４． 证明过程和定理２类似，略。 ［１０］ 吕宝红．一类非线性非分方程极限环的不存在性 ［Ｊ］．装甲兵工程学院学报，２００７，２１（６）：８１—８４． ３ 结论 ［１１］胡军胜．研究Ｌｉ６ｎａｒｄ方程闭轨线的一种方法［Ｊ］． 综上所述，当ｈ（ｘ，Ｙ）；ｉ时，定理ｉ和定理３ 湛江海洋大学学报，２０００，２０（２）：５６—５７． 就是文献［８］中定理３．１和定理３．２的结果，因 ［１２］ 胡军胜．关于Ｆｉｌｉｐｐｏｖ变换的一个注记［Ｊ］．工科数 学，２０００，１６（３）：６４—６６． 此笔者应用和发展了文献［８］中的相关结果。 ［１３］ 程舰．Ｌｉ６ｎａｒｄ方程Ｐｏｉｎｅａｒ６分岔极限环的不存在 性［Ｊ］．湖北师范学院学报：自然科学版，２００３（１）： 参考文献： ２５—２８． ［１４］欧阳资考．一类Ｌｉ６ｎａｒｄ方程闭轨的不存在性［Ｊ］． ［１］石茂忠．一类平面二次系统极限环的若干问题［Ｊ］． 内江师范学院学报：自然科学版，２００７（４）：２５—２７． Ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｌｉｍｉｔ Ｃｙｃｌｅｓ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＬＶ Ｂａｏｈｏｎｇ，ＬＯＮＧ Ｐｉｎｈｏｎｇ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅｓ ｏｆｒ ｔｈｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｘ ｙ， ＝一，（ ，Ｙ）Ｙ—ｇ（ｘ）ｈ（ｘ， Ｙ）ｗｅｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｈｔｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｃａｕｃｈｙ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｉｆｅｒ— ｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ茧＋＿， ， ） 十ｇ（ｘ）・ｈ（ｘ， ）＝０． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ；ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ＬＶ Ｂａｏｈｏｎｇ：Ｌｅｅｔ．；Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｃｏｕｒｓｅｓ，Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ａｒｍｏｒｅｄ Ｆｏｒｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００７２，Ｃｈｉｎａ． ［编辑：周延美］
