(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(答案解析)(1)

一、选择题

1．对于c0，当非零实数a、b满足4a22ab4b2c0，且使2ab最大时，

345的最小值为（ ） abc11A． B．

22A．nN*

B．nN*，n2

C．2 D．2

2．用数学归纳法证明n33n23n1这一不等式时，应注意n必须为（ ）

C．nN*，n3

D．nN*，n4

3．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即

ab）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有cdx4的最大值及取得最大值时

广泛的应用．根据柯西不等式可知函数f(x)25xx的值分别为（ ） A．5,21 5B．3,21 5C．13,61 13D．29,61 134．函数y＝4x337x的最大值为（ ） A．5

B．8

C．10

D．12

5．已知x,y,zR,且xyz1，则x2y2z2的最小值是（ ） A．1

B．

1 3C．

1 2D．3

6．设m,n为正整数,m>1,n>1,且log3m·log3n≥4,则m+n的最小值为( ) A．15 C．17

7．下列不等式成立的有

①abab，②abc33abc，③(a2b2)(c2d2)(acbd)2 A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

B．16 D．18

8．已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则 A．1

B．3

222 的最小值为( ) abbcacC．6 D．9

9．若实数a ，b ，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则 a2b2c2 的最小值为( ) A．3

B．1

C．

3 3D．3 10．设a ， b ， c＞0，且a＋b＋c＝1，则abc 的最大值是( ) A．1 11．函数A．12．设

B．B．3

C．3

D．9

的最大值是( )

C．，

，D．

，则

是正数，且

A． C．

B． D．

二、填空题

13．已知x，yR，且xy3，则x212y24的最小值是______. 14．函数y22x2x3的最大值为_______.

15．设a,b,c为正数，ab4c21，则ab2c的最大值是___________ 16．已知Mx1y2y1x2，则M的最大值为___． 17．已知x,y,u,vR，且x3y20，u3v80，

Tx2y2u2v22ux2vy，则T的最小值为______.

18．已知实数x,y满足(x1)2y2(x1)2y24，则x___________.

19．已知2x3yz8，则x2y2z2取得最小值时，x，y，z形成的点

2y2的取值范围为

(x,y,z)________.

20．已知a,b,cR且a22b23c24，则a2b3c的最大值为________．

三、解答题

21．若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2. （1）求abc的最大值； （2）证明：

1119. abc222．设a,b,cR*，且abc3. （1）证明：a2b2c23；

111m恒成立，求m的最大值. abc23．若实数a，b，c满足abc7，求证：a24b29c236

（2）若

24．已知f(x)|2x4||x1|的最小值为m. （1）求m的值；

m16222. 时，证明：(a1)(b1)(c1)3325．已知函数f(x)|x1||2x4|，记f(x)的最小值为m. （1）求m的值；

（2）当abc（2）若a、b、cR，且abcm，N26．已知函数fx2x1x2． （1）解不等式fx4；

（2）记函数fx的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且a2b3c2m，求

149.求N的最小值. a1b2c3a2b2c2的最小值．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

2cb15首先将等式4a2ab4bc0变形为ab2，再由柯西不等式得到

441622345122ab，分别用b表示a、c，再代入到得到关于的二次函数，求得其最小

babc值即可. 【详解】

cabb154a22ab4b2c0，a2b2ab2，

42416由柯西不等式可得

22b15226b1562ab22ab， 2ab414151522a故当2ab最大时，有

b15b344，则ab，c10b2，

622152345345121122， abc3bb10b22b2b2b2所以，当b故选：C. 【点睛】

3451时，取得最小值2. 2abc本题考查代数式最值的求解，考查了柯西不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.

2．D

解析：D 【分析】

根据题意验证n1，n2，n3时，不等式不成立，当n4时，不等式成立，即可得出答案. 【详解】

解：当n1，n2，n3时，显然不等式不成立， 当n4时，61不等式成立，

故用数学归纳法证明n33n23n1这一不等式时，应注意n必须为n4，nN* 故选：D. 【点睛】

本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．

3．A

解析：A 【分析】 将25x【详解】

由柯西不等式可知：(25x所以25xx4代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案。

x4)222225 12(5x)(x4)x45，当且仅当2x45x即x＝

21时取等号， 521， 5故函数f(x)25x故选：A． 【点睛】

x4的最大值及取得最大值时x的值分别为5,本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。

4．C

解析：C 【分析】

利用向量的关系abab，可设向量a4,3，b解即可 【详解】

由已知得，函数的定义域为3x7，设向量a4,3，bx3,7x，然后进行求

x3,7x，

则a5，b2，abab10，当且仅当ab时， 即47x3x30时，等号成立，解得x所以，该函数y可以取得最大值为10 答案选C 【点睛】

本题考查向量中的最值问题，属于中档题

139，属于定义域范围， 255．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用柯西不等式得出111的最小值。 【详解】

222x2y2z2xyz，于此可得出x2y2z2212y2z2xyz121，则x2y2z2，

311222当且仅当xyz时，等号成立，因此，xyz的最小值为，故选：B.

33【点睛】

由柯西不等式得111222x2本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，属于中等题。

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

由题意结合均值不等式的结论可得mn≥34，据此可得m+n的最小值为18. 【详解】

∵4≤log3m·log3n

log3mlog3n(log3mn)2≤, 24∴(log3mn)2≥16,∴mn≥34.

∴m+n≥2mn≥2×32=18,

当且仅当m=n时等号成立. 则m+n的最小值为18. 本题选择D选项. 【点睛】

本题主要考查对数的运算法则，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能

2力和计算求解能力.

7．B

解析：B 【分析】

对不等式逐一分析即可. 【详解】

对①，两边同时平方可得a2abba2abb，化简可得abab，显然成立，所以①正确；

对②，三个正数的算术-几何平均不等式：如果a,b,cR，那么abc33abc，当且仅当abc时，等号成立，前提必须是三个正数，故②错误； 对③，由柯西不等式的最简形式可知：ab故选：B. 【点睛】

本题考查不等式的相关知识，考查了绝对值三角不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式，属于基础题.

222222c2d2acbd，故③错误.

28．D

解析：D 【解析】

1122212a+b+cabbccaabbcca1121abbcca1119，当且仅当abbccaabc1,1abc时等号成立，故选D.

3【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

9．D

解析：D 【解析】

a2b2c2111a1b1c19,a2b2c23，

2a2b2c23，当且仅当abc1时等号成立，故选D. 10．B

解析：B

【解析】

由柯西不等式得

a2b22c121212abc，

2abc21313，当且仅当abc时等号成立，abc的

3最大值为3，故选B.

11．D

解析：D 【解析】 由柯西不等式可得

故选D.

12．C

解析：C 【解析】

本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 由于

等号成立当且仅当

则a=\"t\" x b=\"t\" y c=\"t\" z ，

，答案选C。

所以由题知又

二、填空题

13．【分析】凑配进而根据柯西不等式结合已知求解即可【详解】解：根据柯西不等式得：当且仅当时上述两不等式取等号所以因为所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值问题解题的关键在于 解析：35

【分析】 凑配

x212y24【详解】

5x2125y2452212x212242y2225，进而根据柯西不等式结合已知求解即可.

解：根据柯西不等式得：2122x212x1，y22222422y8，

22当且仅当x2,y1时，上述两不等式取等号， 所以22122222x212x1，24y22y8

因为xy3， 所以x12y4225x2125y245

2212x212242y22252x12y82xy935 55当且仅当x2,y1时，等号成立. 故答案为：35. 【点睛】

本题考查利用柯西不等式求最值问题，解题的关键在于根据已知条件凑配使得

x12y4222212x212242y2225，再根据柯西不等式求解，考查运算求解能力，是中档题.

14．【分析】拆解函数利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值【详解】∵当且仅当即时等号成立∴函数的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用属于基础题 解析：3

【分析】

拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值． 【详解】

∵y22x2x3 2x2x2x3 111(2x)(2x)(2x3) =3 当且仅当2x2x3，即x∴函数y的最大值为3 故答案为：3． 【点睛】

本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题．

5时等号成立， 315．【分析】根据柯西不等式直接求最值【详解】当且仅当时取等号即的最大值是故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值考查基本分析求解能力属基础题 解析：【分析】

10 2根据柯西不等式直接求最值. 【详解】

(ab2c)2(1212(当且仅当ab225))[(a)2(b)2(2c)2] 2225时取等号 ,c510ab2c故答案为：【点睛】

1010，即ab2c的最大值是 2210 2本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．【分析】利用柯西不等式求解【详解】由柯西不等式得：当且仅当即取等号故M的最大值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题

解析：【分析】 利用柯西不等式求解. 【详解】

由柯西不等式得：x1yy1x222x21x221y2y1，

221y2y22当且仅当，即xy1取等号. x1x2故M的最大值为1 故答案为：1 【点睛】

本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

17．10【分析】先由相减整理为再令则有而再由柯西不等式求解【详解】相减整理可得设∴∵∴∴的最小值为10故答案为:10【点睛】本题主要考查了柯西不等式还考查了转化化归的思想及换元方法属于中档题

解析：10 【分析】

先由x3y20，u3v80，相减，整理为(xu)3(yv)10，再令

xum，yvn则有m3n10，而

Tx2y2u2v22ux2vy(xu)2(yv)2m2n2，再由柯西不等式求解.

【详解】

x3y20，u3v80，相减，

整理可得(xu)3(yv)10. 设xum，yvn， ∴m3n10.

Tx2y2u2v22ux2vy(xu)2(yv)2m2n2，

∵(m2n2)(19)(m3n)2， ∴m2n210， ∴T的最小值为10. 故答案为:10. 【点睛】

本题主要考查了柯西不等式，还考查了转化化归的思想及换元方法，属于中档题.

18．【分析】直接利用柯西不等式化简即可【详解】由柯西不等式可得所以即所以故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键属于基础题 解析：[3,5]

【分析】

直接利用柯西不等式，化简即可. 【详解】

由柯西不等式可得，

(x1)2y2(x1)2y2， x1y(x1)y(x1)y42222222(x1)2y2(x1)2y2所以4x2y21，即3x2y25

2所以xy[3,5]. 故答案为：3,5 【点睛】

本题考查了柯西不等式，将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键，属于基础题.

2219．【分析】利用柯西不等式求得的最小值并求得此时的值【详解】由于故当且仅当时等号成立故故答案为【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最值并求等号成立的条件属于基础题

8124解析：,,

777【分析】

利用柯西不等式求得xyz的最小值，并求得此时x,y,z的值.

222【详解】

由于231仅当x222x2y2z22x3yz，故x2y2z2232.当且14781248124,y,z时等号成立，故(x,y,z),,. 7777778124,, 777故答案为【点睛】

本小题主要考查利用柯西不等式求最值，并求等号成立的条件，属于基础题.

20．【解析】分析：利用柯西不等式即可求解详解：由题意又由柯西不等式可得所以即的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键着重考查了分析问题和解答问 解析：26 【解析】

分析：利用柯西不等式即可求解． 详解：由题意a22b23c24， 又由柯西不等式可得

(a2b3c)2(1a12b13c)2(12(2)2(3)2)(a22b23c2)24，

所以a2b3c26，即a2b3c的最大值为26．

点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．

三、解答题

21．（1）【分析】

（1）直接利用三个数的基本不等式求最值即可； （2）将a＋b＋c＝2代入，利用柯西不等式证明即可. 【详解】

(1)因为a，b，c∈R＋，

所以2＝a＋b＋c≥33abc，两边同时取三次幂得827abc，故abc当且仅当a＝b＝c＝

8；（2）证明见解析. 278. 2728时等号成立，所以abc的最大值为； 327(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，

1111111可得＝ (a＋b＋c)  abc2abc1＝

2ab22121212 cabc2211119abc，当且仅当时等号成立. abc232abc1119. abc2【点睛】

所以

21111111 (abc) 本题的解题关键是利用已知条件拼凑＝＋＋，观察使用柯abc2abc西不等式求最值，突破难点即可. 22．（1）证明见解析；（2）3 【分析】

（1）用柯西不等式，直接证明不等式成立． （2）用柯西不等式，求出【详解】

*解：（1）因为a,b,cR，且abc3.

111的最小值，即可求出参数m的取值范围． abc所以(a2b2c2)(121212)(a1b1c1)29， 所以a2b2c23，当且仅当abc1时，等号成立． 111（2）abcabc111abca9， bc2所以

1113， abc当且仅当abc1时，等号成立． 所以m3 故m的最大值为3 【点睛】

利用柯西不等式求最值

①先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；

②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；

③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 23．证明见解析 【分析】

121222222运用柯西不等式可得[1()()](a4b9c)(abc)，结合条件即可得证．

23【详解】

121221122222由柯西不等式可得[1()()](a4b9c)(a2b3c)(abc)，

2323所以

a4b9c222(abc)211， 14936时，取得等号）． 7由abc7，可得a24b29c236（当且仅当a4b9c【点睛】

本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

24．（1）3（2）证明见解析； 【分析】

（1）由绝对值定义分类去绝对值符号得分段函数，根据函数的性质求得最小值； （2）利用柯西不等式证明． 【详解】

解：（1）因为f(x)|2x4||x1|，

3x3,x2所以f(x)x5,1x2，

3x3,x1所以mf(x)minf(2)3. （2）证明：由柯西不等式有

(a1)(b1)(c1)111(a1b1c1) 所以3(a1)(b1)(c1)16，

2222222222故(a1)(b1)(c1)【点睛】

222. 163本题考查用分类讨论法求含绝对值函数的最值，考查柯西不等式，解题时注意柯西不等式的形式，一般要凑配出平方和的乘积，然后得出结论． 25．（1）1（2）【分析】

（1）将fx写为分段函数的形式,进而根据函数的单调性求解； （2）由（1）abc1,利用柯西不等式可得

36. 71222322a1b2c312336,则a1b2c314936,再由取等条件求解即可. a1b2c37【详解】

3x5,x1解:（1）fxx12x4x3,1x2,

3x5,x2x1时,fx单调递减；1x2时,fx单调递减；x2时,fx单调递增；

mfxminf21.

（2）由（1）知abc1,

1222322a1b2c312336, 又a1b2c314936, a1b2c371a62311当且仅当a1b2c3,即b时等号成立,

3abc11c2即N的最小值为【点睛】

本题考查分类讨论法求最值,考查柯西不等式的应用,考查运算能力. 26．（1）x|x【分析】

（1）对fx2x1x2分三种情况讨论去绝对值号，然后解不等式.（2）根据（1）先求出的m值，用柯西不等式即可. 【详解】 解：（1）

36. 7179或x； （2）

331413x3,x21fx2x1x2=x1,x2

23x3,x2当x2时，3x34，解得x当

7． 31x2时，x14，解得x． 211当x时，3x34，解得x．

23综上，原不等式的解集为x|x（2）由（1）知，fxminf由柯西不等式，有abc∴abc当且仅当a2221或x37． 3313m∴，．∴a2b3c3． 222222221232a2b3c，

29． 14339bc，即a，b，c时，等号成立．

14142379． 14∴a2b2c2的最小值为【点睛】

考查有两个绝对值号的不等式的解法以及用柯西不等式证明不等式，中档题.