机械简谐运动的两种典型模型

专题二 简谐运动的两种典型模型

● 基础知识落实 ●

1、弹簧振子： 2.单摆

（1）.在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想化物理模型. （2）.单摆做简谐运动的回复力

单摆做简谐运动的回复力是由重力mg沿圆弧切线的分力 F＝mgsin θ 提供(不是摆球所受的合外力)，θ为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当θ很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F＝－

（3）.单摆的周期公式

mgx＝－kx.可见θ很小时，单摆的振动是 简谐运动 . t①单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的 振幅 无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是 伽利略 首先发现的.

②单摆的周期公式 T2π（4）.单摆的应用

①计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢.

②测定重力加速度：由T出当地的重力加速度.

③秒摆的周期 秒 摆长大约 米 （5）.单摆的能量

摆长为l，摆球质量为m，最大偏角为θ，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为:

l1 ，由此式可知T∝，T与 振幅 及 摆球质量 无关. gg2πl变形得g＝4πl，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求

T2g2E＝ mgl(1－cosθ) ，在最低点的速度为v＝ 2gl(1cos ) .

知识点一、弹簧振子：

1、定义：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小球就构成一弹簧振子。

2、回复力：水平方向振动的弹簧振子，其回复力由弹簧弹力提供；竖直方向振动的弹簧振子，其回复力由重力和弹簧弹力的合力提供。 3、弹簧振子的周期：T2m k① 除受迫振动外，振动周期由振动系统本身的性质决定。

② 弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和放置的方式无任何关系。如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放置、倾斜放置还是竖直放置；振幅是大还是小，只要还是该振子，那它的周期就还是T。

【释例1】 【解析】 【变式】

题型 1 关于弹簧振子模型： ⊙ 方法指导 ⊙

一、水平方向弹簧振子的几种模型：

1、单弹簧模型：

弹簧振子

弹簧振子的振动是简谐运动的最典型实例。它由连在一起的弹簧和小球穿在光滑水平杆上并将弹簧另一端连在支架上构成。通过对它的运动的观察，可以总结出下面四个特点：

① 在水平方向振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力，其表达式： F=-k·x或a=kx/m。

② 若弹簧的劲度系数越大，回复力越大，振子产生的加速度越大，振子来回振动得越快，因而周期越短。其次，振子质量越大，产生的加速度越小，振子来回振动得越慢，因而周期越长。计算表明，弹簧振子的周期公式为：T2m（此式不要求掌握） k③ 可见，弹簧振子的周期由弹簧的劲度系数和振子质量共同决定，跟振幅无关。如何从运动和力的关系来理解弹簧振子的周期与振幅无关呢？如图所示。

将弹簧振子从平衡位置拉到B（振幅为A）。振幅越大，振子在B处的弹力越大，加速度也越大，但振子离开平衡位置的位移也大了，因

C O A B 此，振子从B回到O的时间并不因振幅的大小而改变（为T/4），但振子回到平衡位置时的速度与振幅有关，振幅越大速度越大。振子从O到C的过程中，若振幅超大，振子离开O时的速度也大，但位移也大了，因此，振子从O到C的时间也不会因振幅的改变而改变（也为T/4），所以，弹簧振子自由振动的周期与振幅大小无关． ④ 频率：f11T2πk。 m⑤ 振动过程中位移、速度、加速度、动能、势能、回复力等的关系。

【例题1】如图所示，为一弹簧振子，O为振动的平衡位置，将振子拉到位置C从静止释放，振子在BC间往复运动．已知BC间的距离为20cm，振子在4秒钟内振动了10次． （1）求振幅、周期和频率。

（2）若规定从O到C的方向为正方向，试分析振子在从C→O→B过程中所受回复力F，加速度a和速度υ的变化情况．

选题目的：考察弹簧振子振动中各物理量的掌握情况． 【解析】（1）BC2A,A10cm,Tt0.4s,f12.5Hz

nT（2）按题设从O→C为正方向，则当振子在平衡位置右侧时位移为正，在平衡位置左侧时位移为负．所以当振子从C→O运动时，位移方向为正，大小在减少，回复力方向为负，加速度方向为负，回复力和加速度的大小都在减小．振子的速度方向为负，加速度与速度方向一致，速度在增大；振子到达O位置时位移X=0，F、a均为零，υ最大．当振子从O→B运动时，位移方向为负，位移x在增大，回复力F、加速度a方向为正，大小在增大，此过程速度方向为负，a与υ反向，振子从O→B做减速运动，υ在减小，到达B位置时F、a为正向最大，υ=0． 【点评】

【例题2】如图所示弹簧振子，振子质量为2.0×10g，作简谐运动，当它到达平衡位置左侧2.0cm时受

2

到的回复力是0.40N，当它运动到平衡位置右侧4.0cm处时，加速度为〖 D 〗

A、 2 m/s向右 B、 2 m/s向左 C、 4 m/s向右 D、 4 m/s向左

【解析】F=-k·x，所以力F1的大小F1=k·x1，由此可解得k =200N/m则：F2= k·x 2=200×4×10-2=8N，由于位移向右，回复力F2方向向左．根据牛顿第二定律： a2=F2/m=8/2=4m/s2，方向向左． 【点评】

【例题3】上题中，若弹簧振子的振幅为8cm，此弹簧振子振动的周期为〖 A 〗

A、 0.63s B 、2s C 、8s D、 条件不足，无法判断 【解析】因为是简谐运动，所以：

2

2

2

2

【点评】

【例题4】弹簧振子在BC间作简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10cm，由B→C运动时间为1s，则〖 B 〗

A、 从B开始经过0.25s，振子通过的路程是2.5cm B、 经过两次全振动，振子通过的路程为40cm C、 振动周期为1s，振幅为10cm D、 从B→O→C振子做了一次全振动 【解析】

【点评】

【例题5】如图所示，在光滑水平面上有一弹簧振子，已知轻弹簧的劲度系数为k。开始时振子被拉到平衡位置O点的右侧某处，此时拉力大小为F，振子静止，撤去拉力后，振子经过时间t，刚好通过平衡位置O点，此时振子的瞬时速度为υ，则在此过程中，振子运动的平均速度为多少？ 【解析】 【点评】

【例题6】一个弹簧振子，在光滑水平面上做简谐运动，如图所示，当它从左向右恰好经过平衡位置时，与一个向左运动的钢球发生正碰，已知碰后钢球沿原路返回，并且振子和钢球不再发生第二次碰撞。则下面的情况中可能出现的是( ACD )

A.振子继续作简谐振动，振幅和周期都不改变 B.振子继续作简谐振动，振幅不变而周期改变 C.振子继续作简谐振动，振幅改变而周期不变 D.振子停止运动 【解析】 【点评】

【例题7】如图所示，一个弹簧振子在光滑的水平面上A、B之间做简谐振动，当振子经过最大位移处（B点）时，有块胶泥落在它的顶部，并随其一起振动，那么后来的振动与原来相比较( ACD )

A、振幅的大小不变 B、加速度的最大值不变

F C、速度的最大值变小 D、势能的最大值不变 【解析】 【点评】

2、摩擦力模型：

【例题1】如图所示，质量为m的物体A放在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧劲度系数为k，但物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于（ ）

A、kx B、

mmkx C、kx D、0 MmMA B 【解析】对A、B系统用牛顿第二定律：

F=（M+m）a

F=kx

kx

Mmm对A用牛顿第二定律：f=ma=kx

mMa=

【点评】A、B无相对运动，故可以综合运用整体法、隔离法分析整个系统和A或B物体的运动和力的关系。

【例题2】（2008四川理综·14）光滑的水平面上盛放有质量分别为m 和

m的两木块，下方木块与一劲2度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。己知两木块之间的最大静摩擦力为f ，为使这两个木块组成的系统象一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（ ）

k m/2 m A．

2f3f4ff B． C． D．

kkkk【解析】本题不是非常简单，考查的知识点很多，稍有不足，就会选错。

物体做简谐运动，取整体为研究对象，是由弹簧的弹力充当回复力。取上面的小物块为研究对象，则是由静摩擦力充当向心力。当两物体间的摩擦力达到最大静摩力时，两物体达到了简谐运动的最大振幅。又因为两个物体具有共同的加速度，根据牛顿第二定律对小物体有f两式联立可得x11取整体有kx(mm)a，ma，223f，答案为C。 k【高考考点】最大静静力、简谐运动、牛顿第二定律、临界问题

【易错提醒】受力分析的整体法与隔离法，对解决物理问题是很重要的一个因素。合理的方法，会使你利用很短的时间解决问题，而不合理的方法，无论用多少时间都不会得出所要的答案。

【点评】综合问题在物理中体现是最充分的。所以在高考前的专题复习时一定要对各知识点间的综合进行充分的复习。

【例题3】（2006江苏物理·9）如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连。在弹性限度范围内，A和B一起在光滑水平面上作往复运动(不计空气阻力)，并保持相对静止。则下列说法正确的是( AB ) ．．

A．A和B均作简谐运动

B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比

C．B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功

D．B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力始终对B做负功 【解析】 【点评】

【例题4】如图所示，一个质量为m的木块放在质量为M的平板小车上，他们之间的最大静摩擦力为f，在劲度系数为k的轻弹簧的作用下，沿光滑水平面做简谐运动。为使小车能跟木块一起运动，不发生相对滑动，机械运动的振幅不能大于（ A ）

A B

(mM)fmf B、

kMkM(mM)ffC、 D、

kmkA、【解析】 【点评】

【例题5】在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k。振子质量为M，振动的最大速度为v0，如图所示。当振子在最大位移为A的时刻，把质量为m的物体轻放其上，则： （1）要保持物体和振子一起振动，二者间摩擦因数至少为多少？ （2）一起振动时，二者过平衡位置的速度多大？振幅又是多大？ 【解析】（1）

kA(Mm)akA，

mgma(Mm)g1122Mv(Mm)v（2）机械能守恒： 022vMv0

Mm振幅仍为A 【点评】

【例题6】如图所示，把一个有槽的物体B与弹簧相连，使B在光滑水平面上做简谐运动，振幅为A1．当

B恰好经过平衡位置，把另一个物体C轻轻的放在（C速度可以认为是零）B的槽内，BC共同作简谐振动的振幅为A2．比较A1和A2的大小〖 B 〗

A、A1=A2 B、 A1>A2

C、 A1【解析】当C轻放在B槽内时，BC间发生一次完全非弹性碰撞，两者速度由不同达到相同，此时有一部分机械能转化为内能．由于机械能损失，所以振幅减小，A2显然，

【点评】若在极端位置时把C轻放在B槽内结果又如何？

【例题6】如图所示，一个三角形物块固定在水平桌面上，其光滑斜面的倾角为θ＝30°。物体A的质量为mA＝0.5kg，物体B的质量为mB＝1.0 kg（A、B均可视为质点），物体A、B并列在斜面上且压着一劲度系数为k＝125N/m的轻弹簧，弹簧的下端固定，上端拴在A物体上，物体A、B处于静止状态。（g取10m/s）

（1）求此时弹簧的压缩量是多大？

（2）将物体B迅速移开，试证明物体A在斜面上作简谐运动。

（3）将物体B迅速移开，物体A将作周期为0.4s的简谐振动，若以沿斜面向上的方向为正方向，请你在所给的坐标系中作出物体A相对平衡位置的位移随时间的变化曲线图，并在图中标明振幅的大小。

2

【解析】（1）对A、B受力分析： (mAmB)gsin30kxABxAB0.024m

0（2）移去B后A在平衡位置： mAgsin30kx0

0当A有沿斜面向下位移x时： F回k(xx0)mAgsin30kx

0且方向沿斜面向上，与位移方向相反——简谐运动 【点评】

【例题7】(2008保定调研)如图所示，物体A放在物体B上，B与弹簧相连，它们在光滑水平面上一起做简谐运动。当弹簧伸长到最长时开始记时(t = 0)，取向右为正方向，A所受静摩擦力f随时间t变化的图象正确的是( D ) ．．

【解析】 【点评】

3、双弹簧模型：

【例题1】如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1、k2的轻质弹簧系住一个质量为m的小X O X 球。开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球将在水平面上做往复振动。试问小球是否做简谐运动？

【解析】以小球为研究对象，竖直方向受力平衡，水平方向受到两根弹簧的弹力作用.设小球位于平衡位置O左方某处时，偏离平衡位置的位移为x，则左方弹簧受压，对小球的弹力方向向右，大小为F1＝k1x

右方弹簧被拉伸，小球所受的弹力方向向右，大小为F2＝kx

小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其方向向右，大小为F＝F1＋F2＝(k1＋k2)x 令k＝k1＋k2，上式可写成F＝kx

由于小球所受的回复力方向与物体位移x的方向相反，故考虑方向后上式可表示为F＝－kx.所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平方向做简谐运动. 【点评】

【例题2】如图所示，将两根轻质弹簧连接起来系在一质量为m的物体上组成弹簧振子，已知两弹簧的倔强系数分别为k1和k2，不计一切阻力，则这一弹簧振子振动的周期为： 。 【解析】2m(k1k2)/k1k2 【点评】

【例题3】某同学设计了一个测物体质量的装置，如图所示，其中P是光滑水平面，k是轻质弹簧的劲度系数，A是质量为M的带夹子的标准质量金属块，Q是待测物体的质量。已知该装置的弹簧振子做简谐运动的周期为T2k1 k2 m m，其中，m是振子的质量，k是与弹簧的劲度系数有关的常数。当只有A物体振动k时，测得其振动周期为T1，将待测物体Q固定在A上后振动周期为T2，则待测物体的质量为多少?这种装置比天平优越之处是什么?

T22T12MMm【解析】由题意:T12,T22mM

kkT12这种装置可以在完全失重或太空中用来测物体的质量.

【例题4】某同学设计了一个测量物体质量的装置，如图所示，其中P是光滑水平面，A是质量为M的带夹子的已知质量金属块，Q是待测质量的物体。已知该装置的弹簧振子做简谐振动的周期为T2m，其k中m是振子的质量，k是与弹簧的劲度系数有关的常数，当只有A物体振动时，测得其振动周期为T1，将待

测物体Q固定在A上后，测得振动周期为T2，则待测物体的质量为 ，如果这种装置与天平都在太空站中使用，则（ ）

A、天平仍可以用来测质量，这种装置不能用来测质量 B、这种装置仍可以用来测质量, 天平不能用来测质量 C、这种装置和天平都可以用来测质量 D、这种装置和天平都不能用来测质量

Q A P

【解析】 【点评】

【变式】某同学设计了一个测量物体质量的装置，如图所示，其中P是光滑水平面，A是质量为M的带夹子的已知质量金属块，Q是待测质量的物体（可以被A上的夹子固定）．已知该装置的弹簧振子做简谐运动的周期为T2m（数量级为100s）,其中m是振子的质量，K是与kQ A P 弹簧的劲度系数有关的常数．

（1） 为了达到实验目的还需要提供的实验器材是：____________； （2） 写出所需测量的物理量（用字母表示），并简要地写出测量方法

①__________________________________________________________； ② ； 用所测物理量和已知物理量求解待测物体质量的计算式为m= 【解析】 【点评】

【例题5】（2007江苏物理·16）如图所示，带电量分别为4q和－q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。 （１）求小环C的平衡位置。

（２）若小环C带电量为q，将小环拉离平衡位置一小位移x(∣x∣<回到平衡位置。（回答“能”或“不能”即可）

（３）若小环C带电量为－q，将小环拉离平衡位置一小位移x(∣x∣<4q A d -q B 11n） （提示：当<<1时，则

(1)n【解析】(1)C只能在AB延长线上，设C在AB的延长线上距离B为l处达到平衡，带电量为Q，由库仑定律F＝kqQr2得平衡条件：FC＝k4qQ(dl)2k-qQl2＝0

1所以l1＝－d(不符题意，舍去)，l2＝d

3所以平衡位置l2＝d(与带电量大小无关)S (2)不能.

(3)C环带电－q，在平衡位置被拉开x后，C的受力为

FC＝k

＝4qQ(2dx)2kqQ(dx)2k-4qQ(2d)2(1x/2d)2k4qQd2(1x/d)2x kqQkqQkqQxx(12)(12)x=－k′x(其中k′＝为一定值) 2332ddddd1(1a)n第三个等号利用了近似关系所以C环将做简谐运动. 【点评】

≈1－na

二、竖直方向弹簧振子的几种模型：

1、单弹簧模型：

① 在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。 ② 平衡位置是重力与弹力相等的位置。

③可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是T2m。这个结论可以直接

k使用。

【例题1】如图a所示，将弹簧振子沿竖直方向悬挂起来，弹簧的劲度系数为k，重物的质量为m．小球在平衡位置时，原先静止。在竖直方向将小球拉离平衡位置，松开后，小球就以平衡位置为中心上下振动．证明：小球做简谐运动。

选题目的：考查简谐运动公式的运用．

【证明】设小球静止时，弹簧伸长为X0，根据平衡条件：

k·x0 = mg ①

设向下为正方向，小球平衡位置为原点，小球振动过程中任一时刻，偏离平衡位置的位移为x（图b），则在此时刻弹簧的伸长量为x 0+ x；小球受弹力f= k（x 0+ x），方向向上．小球所受回复力为F： Fmgk(xx0) ②

将①代入②得：F = -k×x。

若x>0，则F>0，表示小球在平衡位置下方而合力方向向上；

若x<0，则F>0，表示小球在平衡位置上方而合力方向向下．回复力满足F = -k×x的条件，所以小球做简谐运动． 【点评】

【例题2】如图所示，一个竖直弹簧连着一个质量M的薄板，板上放着一个木块，木块质量为m。现使整个装置在竖直方向做简谐运动，振幅为A。若要求在整个过程中小木块m都不脱离木板，则弹簧劲度系数k应为多大？

【解析】木板运动到最高点又不脱离，弹簧可能处于两种状态：无形变状态和压缩状态。 若恰好脱离，则弹簧此时无形变，m、M的加速度均为g，此时，系统回复力为：F=（M+m）g

所以弹簧在平衡位置时的弹力为：K×A=（M+m）g，kMmg A若弹簧处于压缩状态，则系统在最高点的回复力为：Fˊ<(M+m)g 则弹簧在平衡位置时的弹力为：Fˊ = (M+m)g>kA

Mmg AMm所以k≤g

A则k<

【点评】关键是判断清楚木块与板脱离的临界条件：相互之间无弹力，且加速度都等于g.还要注意最高点与平衡位置间的距离就是振幅。

【例题3】如图所示，在质量为M的无底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m(M>>m)的A、B两物体，箱子放在水平面上，平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐振动，当A运动到最高点时，木箱对地面的压力为（ A ）

A A、Mg B、(Mm)g C、(Mm)g D、(M2m)g

B m m 【解析】剪断A、B间细绳后，A与弹簧可看成一个竖直方向的弹簧振子模型，因此，在剪断瞬间A具有向上的大小为g的加速度，当A运动到最高点时具有向下的大小为g的加速度（简谐运动对称性），此时对A来说完全失重，从整体法考虑，箱对地面的作用力为Mg，选A。

【点评】注意应用弹簧振子模型中运动的对称性，及超重、失重知识，注重物理过程的分析，利用理想化模型使复杂的物理过程更加简单。

【例题4】如图所示，质量为m的木块放在弹簧上，弹簧在竖直方向做简谐运动。当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是弹簧的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是多少？欲使物体在振动中不离开弹簧，其最大振幅是多少？

【解析】0.5mg；2A

【点评】

【例题5】如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧竖直立在桌面上，下端固定在桌面上，上端与质量为M的金属盘固定连接，金属盘内放一个质量为m的砝码。先让砝码随金属盘一起在竖直方向做简谐运动。 （1）为使砝码不脱离金属盘，振幅最大不能超过多少？ （2）振动过程中砝码对金属盘的最大压力是多少？

【解析】

(Mm）g 2mg

k【点评】

【例题6】如图所示，质量为M的橡皮泥从一定高度自由下落，落到正下方被轻弹簧支起的木板上，并粘在木板上和木板一起做简谐振动木板质量为m，轻弹簧劲度系数为k，相碰前后弹簧压缩量变化为a，则( BD )

A.系统的振幅为

a 2a 2m km kB.系统的振幅大于等

C.木板下压a距离的时间为D.木板下压a距离的时间大于【解析】 【点评】

【例题7】如图所示，一轻质弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在AB两点间做简谐振动，O点为平衡位置。已知OC=h，振子的振动周期为T，某时刻物体正经过C点向上运动，则从此时刻开始的半个周期内( ABC )

A.重力做功为2mgh B.重力的冲量为mgT 2C.回复力做功为零 D.回复力的冲量为零 【解析】

【点评】

【例题8】如图所示，轻质弹簧下端挂重为30N的物体A，弹簧伸长了3cm，再挂重为20N的物体B时又伸长了2cm，若将连接A和B的连线剪断，使A在竖直平面内振动时，下面结论正确的是（ A ） ．． A、振幅是2cm B、振幅是3cm C、最大回复力是30N D、最大回复力是50N 【解析】 【点评】

【例题8】如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木板B相连，木板A放在木板B上，两木板质量均为m，现加竖直向下的力F作用于A，A与B均静止.问：

(1)将力F瞬间撤除后，两木板共同运动到最高点时，B对A的弹力多大？ (2)要使两板不会分开，F应该满足什么条件？

【解析】(1)把没有外力F作用时物体所处的位置为平衡位置，则物体被外力压下去后，根据对称性，当两木板到达最高点时，其回复力和最低点的回复力大小相等，也为F.此时共同的加速度由牛顿第二定律求得a＝F/2m

A物体受到重力与支持力N，再应用牛顿第二定律有：mg－N＝ma 所以N＝mg－ma＝mg－F/2

(2)要使两板不分离，则N≥0，由上式得F≤2mg

【点评】此题利用了简谐运动的对称性来解题，关于平衡位置对称的两点，回复力大小和加速度大小相等.

【例题9】一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k=400N/m，在弹簧的上端与空心物体A连接，物体B置于A内，B的上下表面恰好与A接触，如图所示。A和B质量均为1kg，先将A向上抬高使弹簧伸长5cm后静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变量大小(g取10m/s,阻力不计)求：

2

A B (1)物体A的振幅； (2)物体B的最大速率；

(3)在最高点和最低点A和B的作用力

【解析】(1)振子在平衡位置时,所受合力为零,设此时弹簧被压缩△x. (mA+mB)g=k△x,x(mAmB)g5cm

k开始释放时振子处在最大位移处,故振幅A为:A=5cm+5cm=10cm

(2)由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量,故弹性势能相等,设振子的最大速率

mv2为v,从开始到平衡位置,根据机械能守恒定律:mgA v2gA1.4m/s

2(3)在最高点,振子受到的重力和弹力方向相同,根据牛顿第二定律:

akx(mAmB)g20m/s2

mAmBA对B的作用力方向向下,其大小N1为:N1=mBa-mBg=10N 在最低点,振子受到的重力和弹力方向相反,根据牛顿第二定律:

ak(xA)-(mAmB)g20m/s2

mAmBA对B作用力方向向上,其大小N2为:N2=mBa+mBg=30N 【点评】

2、双弹簧模型：

【例题1】如图所示，三角架质量为M，沿其中轴线用两根轻弹簧栓一质量为m的小球，原来三角架静止在水平面上，现使小球做上、下振动，当三角架对水平面的压力最小为零时，求： （1）此时小球的瞬时加速度？

（2）若上下两弹簧的劲度系数均为k，则小球做简谐运动的振幅为多少？ 【解析】 【点评】

【例题2】（2001上海物理·8）如图所示，一升降机在箱底有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中( CD )

A.升降机的速度不断减小 B.升降机的加速度不断变大

C.先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功 D.到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值

【解析】本题实质上是一个竖直弹簧振子的物理模型问题.当升降机吊索断裂后升降机先

做自由落体运动.当底部弹簧刚触地后，由于重力mg大于弹力FN，所以升降机仍向下做加速运动，随着弹簧压缩形变越大，向上的弹力也随之增大，所以向下的合力及加速度不断变小，直至mg＝FN时，a＝0，速度达到最大值vm，这段运动是速度增大、加速度变小的运动.根据动能定理W＝ΔEk，即WG－WFN＝ΔEk＞0，所以WG＞WFN，重力做的正功大于弹力做的负功，当升降机从a＝0的平衡位置继续向下运动时，由于弹力大于重力，所以加速度方向向上，且不断变大，而速度v不断变小直至为0，这段过程中，WG－WFN＝ΔEk＜0，所以WG＜WFN，重力做的正功小于弹力做的负功.由此可知，选项A、B错，而C正确.

把升降机视为一个竖直弹簧振子，如图所示.

弹簧刚触地时升降机的位置在A点，升降机向下运动到的最低点位置为B点，速度最大的平衡位置为O点.在A点时有向下的速度，A点为最大位移处到平衡位置中的一点，即A点并非最大位移点.而B点速度为零，就是振子平衡位置下

方的最大位移点，故BO＞AO.既然A点的加速度aA＝g方向向下，根据弹簧振子的对称性，那么最大位移B点的最大加速度aB＝am＞aA＝g，方向向上，选项D正确. 【点评】

⊙ 解题示范 ⊙

【例题1】弹簧振子从距平衡位置5cm处由静止释放，全振动10次所用的时间为8s，那么振子的振幅是 m，周期是 s，频率是 Hz，8s内的位移大小是 m，8s内的路程是 m。 【解析】

【点评】

【例题2】弹簧振子的振幅取决于________，振幅的大小标志着_______。 【解析】 【点评】

【例题3】弹簧振子正在振动，振幅为A，周期为T，t1时刻运动到a点，t2时刻运动到b点，如果t2－t1＝T/4，则ab两点间的距离可能是〖 ACD 〗

A.0 B.大于A C.等于A D.小于A 【解析】 【点评】

【例题4】有一弹簧振子做简谐运动，则〖 〗

A．加速度最大时，速度最大 B．速度最大时，位移最大 C．位移最大时，回复力最大 D．回复力最大时，加速度最大

【解析】振子加速度最大时，处在最大位移处，此时振子的速度为零，由F= - kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对．振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错．故正确选项为C、D

【点评】分析振动过程中各物理量如何变化时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系：位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；位移减小时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大．各矢量均在其值为零时改变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位

移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向．

【例题5】如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。（1）最大振幅A是多大？

（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？

【解析】该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。 （1）最大振幅应满足：kA=mg， A=

mg k（2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：Fm-mg=mg，Fm=2mg。 【点评】

【例题6】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm．某时刻振子处于B点．经过0.5 s，振子首次到达C点．求： （1）振动的周期和频率；

（2）振子在5 s内通过的路程及位移大小；

（3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值．

【解析】（1）设振幅为A，由题意BC＝2A＝10 cm，所以A＝10 cm．振子从B到C所用时间t＝0．5s．为周期T的一半，所以T＝1．0s；f＝1/T＝1．0Hz．

（2）振子在1个周期内通过的路程为4A。故在t＝5s＝5T内通过的路程s＝t/T×4A＝200cm．5 s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10cm． （3）振子加速度a【点评】

【例题7】一个弹簧振子的振动频率为f=5Hz，如图，振子在BC间往复运动，BC间距为20cm。从振子经过平衡位置向右运动开始计时，到t=3.25s时，振子的位移是多大？（规定向右为正方向）振子通过的路

kx．a∝x，所以aB：aP＝xB：xp＝10：4＝5：2． m程是多少？

【解析】由f=5HZ，可求出T=0.2s，由BC20cm，可知A=10cm。由t=3.25s，可知在这段时间内振子完成全振动的次数为n=t/T=16.25，即振子从0开始振动了16个周期另加T/4，所以t=3.25s时振子的位移X=10cm，即振子在C位置。振子通过的路程：S=16.25×4A=650cm=6.5m。 【点评】

【例题8】如图所示，一个光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，滑块A的质量为M、弹簧的劲度系数为k。现在振子上面放另一个质量为m的小物体B，它与振子一起做简谐运动，则小物体B受到的恢复力f跟位移x的关系式是〖 〗

mkx

MmMmC、fkx D、fkx

MmMA、f= - kx B、f选题目的：考查简谐运动关系式的理解和推导． 【解析】由于A、B一起做简谐运动，恢复力F= - kx，

根据牛顿第二定律，F=(M+m)a，

对于物体B来说，它做简谐运动的恢复力f= - k′x=ma， 两式相比较，得k′ =所以正确选项是B． 【点评】

【例题9】如图所示，质量为m的木块放在竖直的弹簧上，m在竖直方向做简谐振动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最小值为物体自重的0.5倍，则物体对弹簧压力的最大值为 ，欲使物体在振动中不离开弹簧，其振幅不能超过 ．

mmk，因此f= -kx．

MmMm

选题目的：考察回复力与振幅的理解

【解析】物体m放在弹簧上让其缓慢下落，当重力mg与弹簧力kx相等时，物体处于平衡．在此位置对物体施加向下的压力，使物体下移位移A时，撤去外力F，物体m将在竖直方向做简谐振动．在振动过程中物体受重力和弹力作用，当压缩最小时，物体和弹簧的相互作用最小，应在平衡位置上方；当压缩量最大时，物体和弹簧的相互作用力最大，此位置应在平衡位置下方，且最小作用力和最大作用力的位置关于O点对称，离开平衡位置的距离均为A．

如图所示，物体m在最高点时弹力为，最低点时弹力为，则：

K·A=mg-N1 ① K·A=N2-mg ② 由①、②式联立解得：N2= 2mg-N1= 1.5mg 由牛顿第三定律知：N2′=N2=1.5mg 即物体对弹簧的最大压力为1.5 mg．

若要m在振动过程中不脱离弹簧，则物体m与弹簧的相互作用力达最小，即N=0，所以最大振幅即为物体m平衡时的压缩量．

设m能达到的最大振幅为Aˊ，则 KAˊ=mg ③ 由①、③式联立得： Aˊ=2A

【点评】

【例题10】在水平方向做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，最大速率为v，则下列说法正确的是（ AD ）

A、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力做功一定为零 B、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力做的功可能是0～C、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力的冲量一定为零

D、从某时刻起，在半个周期时间内，弹力的冲量可能是0～2mv之间的某一个值

【解析】做简谐运动的物体，半个周期后的速率一定与半个周期前相等，动能变化量为零，故弹力做功为零，所以A选项正确，B选项错误；

从端点到端点，速度由零到零，冲量为0，从平衡位置到平衡位置，速度由v变到-v，冲量为2mv，起点为其他位置时，冲量介于两者之间，所以C选项错误，D选项正确。所以选AD. 【点评】要注意动能和功是标量，而速度、动量和冲量是矢量。

12

mv之间的某一个值 2知识点二、单摆：

1、引入：

（1）讲述故事：

1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。

2、什么是单摆：

（1）如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多（质点），这样的装置叫单摆。 （2）理解： ① 悬点：固定;

② 摆球：体积小、质量大——线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，只有质量无大小，悬线的长度就是摆长.

③细线：不可伸缩、质量不计、较长——线的伸缩和质量可以忽略——使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上.

④空气等产生的阻力可以忽略不计； （3）单摆是一种理想化模型。

【释例1】以下各装置中，哪个作为单摆更合适〖 D 〗

A．1m长的橡皮绳上挂一个铁球 B．1m长的铁丝上挂一个乒乓球 C．0.3m长的细线下挂一个大钢球 D．1m长的细线下挂一个小钢球 【解析】 【点评】

3、单摆的摆动：

（1）当摆球静止于O点时，摆球受到的重力G和悬线的拉力F′彼此平衡，O点就是单摆的平衡位置. （2）单摆的摆动：

（3）以悬挂点为圆心在竖直平面内做圆弧运动（摆球以平衡位置O为中心振动）。（4）摆球沿着以平衡位置O为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动.

【释例1】 【解析】 【点评】

ABA

4、关于单摆的回复力：

（1）如图所示，摆球受重力mg和绳子拉力F′两个力的作用，将重力按切线方向和径向方向正交分解，则绳子的拉力T与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F′提供了摆球振动所需的回复力F＝mgsin θ

（2）设单摆的摆长为l，在最大偏角θ很小的条件下，摆球对O点的位移x的大小与θ角所对应的弧长、

θ角所对应的弦长都近似相等，即x＝=OP

OPx ll若偏角θ用弧度表示，则由数学关系知sin θ＝所以重力沿切向的分力F＝mgsin θ≈mg令k＝

x lmg，则F＝kx l因为F的方向可认为与x方向相反，则F回＝－kx 由此可见单摆的偏角很小条件下的振动为简谐运动.

(3)单摆振动的回复力是重力沿切线方向的分力，不能说成是重力和拉力的合力。 (4)在左右两边最高点，速度为零，向心力为零，回复力最大；

v2（5）在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零，F向=m。

r【释例1】关于单摆做简谐运动的回复力正确的说法是〖 BCD 〗 ．．

A．就是振子所受的合外力

B．振子所受合外力在振子运动方向的分力 C．振子的重力在运动方向的分力 D．振子经过平衡位置时回复力为零 【解析】 【点评】

【释例2】一只单摆正在平衡位置O点附近摆动（最大摆角为θ） ，如图所示，则： ① 摆球此时所受的回复力是________； ② 摆球经过平衡位置时的速率是__________； ③ 摆球经过平衡位置时细线的拉力是 __________. 【解析】（1）mg sinθ （2）2gl1cos （3）3mg - 2mg cosθ 【点评】

LMo5、单摆振动的周期：

（1）伽利略发现了单摆运动的等时性，荷兰物理学家惠更斯（1629～1695）研究了单摆的摆动，定量得到：

单摆的周期T2l，即单摆振动时具有如下规律： g① 单摆的振动周期与振幅的大小无关——单摆的等时性。 ② 单摆的振动周期与摆球的质量无关。

③ 单摆的振动周期与摆长的平方根成正比。其中L为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。

④ 单摆的振动周期与重力加速度的平方根成反比。单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度． ⑤ 单摆的周期T21l为单摆的固有周期，相应地f2gg为单摆的固有频率． l⑥ 单摆的周期公式可以由简谐运动的周期公式T2mmg，以k代入而得到． kl⑦ 单摆的周期公式在最大偏角＜5°时成立（达5°时，与实际测量值的相对误差为0.01％）．

【释例1】甲、乙两个单摆放在同一个地方，若其摆长之比为 l1：l2= 4：9，则它们的周期之比T1：T2为___ ，如果在一分钟内甲摆动30次，则乙摆动_______次。 【解析】2：3;20

【点评】

【释例2】（2000春季高考·8）已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6m.则两单摆摆长la与lb分别为( B ）

A、la =2.5m， lb =0.9m

B、la =0.9m， lb =2.5m C、la =2.4m， lb =4.0m D、 la =4.0m， lb =2.4m 【解析】

【点评】

【释例3】（2009上海物理·4）做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（ C ）

A．频率、振幅都不变

B．频率、振幅都改变

C．频率不变、振幅改变 D．频率改变、振幅不变 【解析】由单摆的周期公式T2l，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变； g12mv可知，摆球经过平衡位置时的动2振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由EK能不变，因此振幅改变，所以C正确。 【点评】

6、单摆的应用：

（1）利用单摆可测定当地的重力加速度g：

42ll① 原理：由单摆周期公式T2得：g． 2Tg② 测量：用米尺（最小分度为lmm）测出摆长L（悬点到摆球中心的距离）；

用秒表测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t得到T，摆长一般为1m左右，测周期的

计时以摆球经过平衡位置时开始．

【释例1】（2006成都零诊·）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用毫米刻度尺测得悬线长为98.00cm，用10分度的游标卡尺测摆球的直径时示数如右图所示，则该单摆的摆长为___________cm。

【解析】 【点评】

【释例2】一学生用单摆测当地的重力加速度时，在挂好单摆后，在摆角小于5°的条件下，测得单摆的振动周期为T1；再使摆长增加△l ，仍在摆角小于5°的条件下，测得单摆的振动周期为T2，由此，可计算出当地的重力加速度值 g = 。

42l【解析】2 2T2T1 【点评】

（2）摆钟问题：

① 单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。

② 在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：

nf12g1ll

③ 摆钟是靠调整摆长而改变周期, 使摆钟的走时与标准时间同步 ④ 周期为2s的单摆叫做秒摆．

【释例1】有一摆钟，平时走时准确，搬家后发现它变慢了，为重新使其走时准确，下面办法中正确的是．．（ A ）

A．稍微调整摆长，使其变短

B．稍微调整摆长，使其变长 C．适当增加摆锤质量 D．将指针适当往前拨动 【解析】

【点评】

【例题2】一只计时准确的摆钟从甲地拿到了乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述正确的是( C ) ．．

A.g甲＞g乙，将摆长适当增长 C.g甲＜g乙，将摆长适当增长

B.g甲＞g乙，将摆长适当缩短 D.g甲＜g乙，将摆长适当缩短

l可知l一定时，g增大，则T变小，所以g甲＜g乙，g【解析】钟摆摆动加快，周期变小，由于T＝2π要使T不变，应适当增长摆长l. 【点评】

【例题3】某摆钟，当其摆长为l1时，在一段时间内快了Δt；当其摆长为l2时，在同样一段时间内慢了Δt，试求走时准确时摆钟的摆长。

【错解】设准确的摆钟摆长为l0，周期为T0，设这段时间为t，则快了的摆钟周期为T1，慢了的摆钟周期为T2，周期长了就是时间显示快了，周期慢了就是时间显示短了.根据题意，可得T1/T0＝(t＋Δt)/t，T2/T0＝(t－Δt)/t

而我们可以根据周期公式写出下面的关系式

T1＝2π

所以有

ll1l，T2＝2π2，T0＝2π0 gggl1l2＝(t＋Δt)/t，

l2l0＝(t－Δt)/t

上面两式消除t可得l0＝

l1l22l1l2

4【错因】上述解法没有考虑到钟的快慢决定于频率的快慢.时间显示快了正是因为摆钟的频率大了或周期小了，恰好与上述解法相反.

【正解】摆钟走慢是因为频率小，走快是因为频率大，因此有频率之比等于显示的时间之比，即：

llf1ttf2tt 0,0f0tftl1l20两式消除t得l0＝

4l1l2 2(l1l2)【点评】由摆钟的机械构造决定钟摆每完成一次全振动摆钟所显示的时间为一定值，若周期变长则实际用时大于钟面显示的时间，计时变慢，反之，则计时变快.

【释例4】秒摆的周期是______(g＝9.8 m/s)时，秒摆的摆长大约是_______米。（取两位有效数字） 【解析】2秒，0.99 【点评】

【释例5】对于秒摆，下列说法正确的是〖 ACD 〗 ．．

A.摆长缩短为原来的1/4时，频率是1Hz B.摆球质量减小到原来的1/4时，周期是4秒 C.振幅减为原来的1/4时，周期是2秒

D.如果重力加速度减为原来的1/4时，频率为0.25Hz 【解析】 【点评】

2

一、关于单摆的基本认识：

【例题1】单摆由________和成______组成，保证单摆做简谐运动的关键控制因素是_____。 【解析】摆线；摆球；摆角不超过10°

【点评】

【例题2】一个做简谐运动的单摆，如果将它的摆角变小，下列说法正确的是〖 C 〗 ．．

A．振动时的总能量不变 B．振幅不变

C．振动周期不变

D．振子到达平衡位置时的速率不变 【解析】 【点评】

【例题3】关于单摆的说法，正确的是〖 〗 ．．

A．单摆摆球从平衡位置运动到正的最大位移处时的位移为A（A为振幅），从正的最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A．

B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力

C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿运动轨迹切线方向的分力 D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零

【解析】简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力（等于重力沿圆弧切线方向的分力）提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点（振动的平衡位置）时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，（摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零）．

正确选项为C． 【点评】

【例题4】单摆做简谐运动时，下列说法正确的是（ ） ．．

A、摆球质量越大、振幅越大，则单摆振动的能量越大 B、单摆振动能量与摆球质量无关，与振幅有关 C、摆球到达最高点时势能最大，摆线弹力最大 D、摆球通过平衡位置时动能最大，摆线弹力最大

【解析】对于无阻尼单摆系统，机械能守恒，其数值等于最大位移处摆球的重力势能或平衡位置处摆球的动能。

摆球质量越大、振幅越大，则最大位移处摆球的重力势能越大，所以A选项正确，而B选项错误；在最高点时速度为零，所需向心力为零，故摆线弹力最小，所以C选项错误；同理，D选项正确。选AD. 【点评】有同学认为振幅越大系统能量越大，其实这是在摆球质量一定的前提下才适用的结论。应该从系

统具体的能量形式来分析。

【例题5】一单摆做简谐振动，对摆球所经过的任何一点来说，相继两次通过该点时，摆球的〖 BD 〗

A、速度必相同 B、加速度必相同 C、动量必相同 D、动能必相同

【解析】两次通过同一点，x相同，∵F = -kx，∴F相同，a小而不考虑方向，故能动相同。

【点评】明确振动质点在振动过程中关键位置各物理量的大小和方向，再结合动量、动能的公式并兼顾方向，问题就一目了然。

【例题6】两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长的细绳上，两绳互相平行，两球重心在同一水平线上且互相接触，第一球摆长为L1，第二球摆长为 4L1。现将第一球拉到一个很小的角度后释放。在第一球摆动周期的两倍时间内，两球碰撞次数为（ B ）

A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【解析】两质量相等的小球在作弹性正碰时交换速度。 【点评】

【例题7】（2005上海物理·9）如图所示，A、B分别为单摆做简谐振动时摆球的不同位置．其中，位置A为摆球摆动的最高位置，虚线为过悬点的竖直线．以摆球最低位置为重力势能零点，则摆球在摆动过程中（ BC ）

A、位于B处时动能最大 B、位于A处时势能最大

C、在位置A的势能大于在位置B的动能 D、在位置B的机械能大于在位置A的机械能

【解析】单摆在摆动过程中机械能守恒，在最低位置处速度（动能）最大，在最高位置势能最大，从图来

A F，∴a相同，动能是标量，只考虑速度大m1 2

B 看，B点不是最低位置，A错。B对。D错。C对。 【点评】

【例题8】如图所示，一向右运动的车厢顶上悬挂着两个单摆M、N，它们只能在图示平面内摆动。某一时刻出现图示情景。由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢的运动情况是（ ABD ）

A、车厢做匀速直线运动，M在摆动，N静止 B、车厢做匀速直线运动，M在摆动，N也在摆动 C、车厢做匀速直线运动，M静止，N也静止 D、车厢做匀加速直线运动，M在摆动，N也在摆动

【解析】车厢做匀速直线运动时，单摆的平衡位置在最低点，故M一定在摆动，而N可能在摆动，也可能静止，所以A、B选项均正确；

而C选项错误；

若车厢向右做匀加速直线运动，则单摆的平衡位置在最低点的左侧，N不在平衡位置上，故M可能在摆动也可能静止，而N一定在摆动，所以D选项正确。

所以选ABD.

【点评】振动系统在惯性系（静止或匀速直线运动的环境）中的规律完全相同，而在非惯性系（做变速运动的环境）中的规律则要做一定调整。如平衡位置、等效重力加速度等。

M N υ

二、等效单摆：

1、等效摆长问题：

（1）等效摆长l：摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不是一定为摆线的长，

（2）如下图中，摆球可视为质点，各段绳长均为l，

等效摆长l′＝lsin α，T甲＝2π

等效摆长l′＝lsin α＋l，T乙＝2π

l(sin 1) glsin  g

l摆线摆到竖直位置时，圆心就由O变为O′，摆球振动时，半个周期摆长为l，另半个周期摆长为(l－)，

3即为

（1）等效单线摆：

【例题1】如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有〖 A 〗

l2l2l，则单摆丙的周期为T丙＝π＋π

g3g3

A．A球先到达C点 B．B球先到达C点 C．两球同时到达C点

D．无法确定哪一个球先到达C点 【解析】做自由落体运动，到C所需时间tA2R，R为圆弧轨道的半径． g因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧作简谐运动（等同于摆长为R的单摆），则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的1/4，即

tBT42RtA，所以A球先到达C点． g【点评】在满足B球离C很近的条件下，它与C的实际距离的大小是否影响本例的结论？

【例题2】如下图所示，为了测量一个凹透镜一侧镜面的半径R，让一个半径为r的钢球在凹面内做振幅很小的往复振动，要求振动总在同一个竖直面中进行，若测出它完成n次全振动的时间为t，则此凹透镜的这一镜面原半径值R＝_______ ．

t2gr 【解析】

42n2 【点评】

【例题3】下图是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自A点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为υ1，此时为t1；第二次自B点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为υ2，此时为t2，下列关系正确的是〖 A 〗

A．t1t2 v1v2 B．t1t2 v1v2 C．t1t2 v1v2 D．t1t2 v1v2 【解析】 【点评】

【例题5】如图所示是一个半径很大的光滑圆弧形凹槽，凹槽的弧长远小于半径，一小球由静止开始从B点释放，小球在槽内来回运动，若要增大小球的运动周期，可采用的办法是〖 C 〗

A．使小球开始释放的位置靠近最低点O一些 B．换一个密度大一些的小球 C．换一个半径更大的凹槽 D．换一个半径稍小一些的凹槽

【解析】 【点评】

【例题6】如右图所示，光滑轨道的半径为2m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是〖 A 〗

A．C点 B．C点右侧 C．C点左侧 D．不能确定 【解析】 【点评】

【例题7】固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5°，末端切线水平。两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：ta＿＿tb，Ea＿＿2Eb。

【解析】两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以ta= tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea>2Eb。 【点评】

【例题7】如图所示，光滑圆弧轨道的半径为R，圆弧底部中点为O，两个相同的小球分别在O正上方h处的A点和离O很近的轨道B点，现同时释放两球，使两球正好在O点相碰。问h应为多高？

B A

B O h

（2）、等效双线摆：

【例题1】如图所示为一双线摆，它是在一水平天花板上用两根等长细线悬挂一小球而构成，每根摆线的长均为l，摆线与天花板之间的夹角为α，当小球在垂直纸面的平面内做简谐运动时，其振动的周期是多少？

【解析】双线摆可等效为摆长为Lsinα的单摆，利用单摆振动的周期公式得双线摆的周期为T2 α l lsin． g【小结】单摆是一种理想化的振动模型，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，在最大偏角＜5°时，回复力F【点评】

mglx，其运动是简谐运动，周期T2． lg

（3）、组合摆：

【例题1】如图，摆长为L的单摆，若在悬点O的正下方A点固定一颗钉子，A点距悬点O的距离为L/3，试求这个单摆完成一个全振动的时间是多少？

选题目的：此题主要考查振动周期公式的灵活使用情况．

【解析】在摆角很小时，单摆的振动可视为简谐运动，当摆线不碰到钉子时，A点成为“悬点”，单摆的摆长由L变为2L/3。由题意知：

T2TlgT1T222L2L22g3gL2L22g3g

【点评】

【例题2】 已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？ 【解析】该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为：

l和l，

T2ggl

gT12因此该摆的周期为 ：TT1T23222【点评】

【例题3】（2001全国高考题·9）细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方12摆长处有一个能挡住摆线的钉子A，如图所示，现将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是〖 AB 〗 ．．

A、摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小 B、摆球在左、右两侧上升的最大高度一样 C、摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等 D、摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍

【解析】有钉子时，摆长变短，周期变小，A正确；量损失，B正确；

由示意图可知，弧长变小，C错误；D错误。 【点拨】正确理解物理过程，画出示意图，可顺利求解。

【例题4】将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，以下说法正确的是( AC ) ．．

A.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9∶4

· A B.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为3∶2

C.摆线经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆线张力变大 D.摆线经过最低点时，角速度变大，半径减小，摆线张力不变大 【解析】 【点拨】

【例题5】如图所示，三根等长的绳L1、L2、L3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d，L2、L3与天花板的夹角α<30°。若摆球在纸面内作小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O1处，故摆长为 ，周期 。

d(L1L2sina)2dT2L11g2，【解析】

【点评】在振动系统中L不是摆线的长度。而应是从悬点到小球重心之距。

α O α L3 L2 O1 l1 m 2、等效重力加速度问题：

1、如果将一单摆放在一有超重或失重的升降机内，以及放在航天飞行器或其它星球上时，g就应该是当时当地的加速度，所以此话题完全就有可能与超重或失重相联系，加上近几年高考中较少涉及，请同学们倍加注意以下内容。

2、公式中的g由单摆所处的空间位置决定。

由GMmg知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单R2摆所在处的等效值gˊ代入公式，即g不一定等于9.8m/s2。

4、g还由单摆系统的运动状态决定。如果单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值为gˊ= g + a。再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值gˊ=0，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了。

5、g还由单摆所处的物理环境决定。如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直方向电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有gˊ的问题。

1、公式中的g由单摆所处的空间位置决定：

【例题1】将摆长为l、摆球质量为m的单摆放置在倾角为α的光滑斜面上，如图所示。求该单摆的周期。 【解析】2 【点评】

【例题2】宇航员将一个单摆带到某一行星上去，发现该单摆在这颗行星表面的振动的周期是它在地球上的2倍，以g0表示地球表面的重力加速度，以g表示这颗行星表面上的重力加速度，则〖 A 〗

A、g/g0=1/4 B、g/g0=4/1 C、g/g0=1/2 D、g/g0=2/1

【解析】挖掘隐含条件：摆长不变。不同星球表面的重力加速度不同。

l

gsinαT1T2g。 g0【点拨】明确公式T2

L中的g、L是等效重力加速度和等效摆长一切就解决。 g【例题3】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。

【解析】设单摆的摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分别为：gGMM,gG h22R(Rh)据单摆的周期公式可知：T02LL,T2 ggh由以上各式可求得：h(【点评】

T1)R T0

【例题4】（2007四川理综·17）我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假如宇航员在月球上测得摆长为L的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为（ B ）

A．

L3GrT2 B．

3L16L3L C． D． 222GrT16GrT3GrT42LL【解析】利用单摆的周期公式T2，g。

T2gr2gM3LG 月球密度，答案选B。 24Vr3GrT3【点拨】

【例题5】一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面所受万有引力的

1。在地球上走时准确的4机械摆钟移到此行星表面上后，摆钟的分针走一圈所用的时间为地球时间（ ）

A、

11h B、h C、2h D、4h 42g'G'1== gG4【解析】

T'2= T1t’=2h

C选项正确。

【点评】机械摆钟是利用利用机械传动装置使摆锤带动指针运动，因此表盘指针运动的周期与摆锤振动周期成正比

【例题6】北京地区重力加速度g1=9.812m/s，南京地区重力加速度g2=9.795m/s．在北京地区准确计时的摆钟搬到南京地区时，该钟是“走”快了还是“走”慢了？一昼夜相差几秒？应如何调节，该钟在南京地区才能准确计时？

选题目的：此题主要考查重力加速度对振动周期的影响情况．

2

2

【解析】（1）该钟在北京和南京的摆动周期比：

T1T2g2g19.7950.9991 9.812（或

T1T2g2g1，T2>T1，在南京一天摆动的次数少了，所以“走”慢了． 1.00087）

（2）在北京计时准确，一昼夜摆动的次数为：n1246060

T1该钟搬到南京时摆动周期为T2，摆动n1次实际时间为n1T2，所以走时差为：

tn1(T2T1)T2246060T1

175.2(s)即一昼夜慢了75.2s。

（3）调整的办法是将摆长缩短一点，使T2=T1，即：2【点评】

【例题7】有一天体，其半径为地球半径的两不日，平均密度与地球相同。在地球表面走时准确的机械摆钟移到该天体表面，秒针走一圈的实际时间为地球时间（ B ）

g2l1l22 l2l10.9983l1 g1g2g1A、

21min B、min C、2min D、2min

22【解析】 【点评】

2、g还由单摆系统的运动状态决定。

【例题1】如图所示，将摆长为l的单摆放在以加速度a匀加速上升的升降机中，求单摆的振动周期。 【解析】2π 【点评】

【例题3】在一加速系统中有一摆长为l的单摆.

(1)当加速系统以加速度a竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直向下加速呢？ (2)当加速系统在水平方向以加速度a做匀加速直线运动时，单摆的周期多大？

【解析】（1）当单摆随加速系统向上加速时，设在平衡位置相对静止的摆球的视重为F，如图甲所示，则：

F－mg＝ma

故F＝m(g＋a)，由F＝mg′得g′＝g＋a 所以单摆周期T1＝2π

ll＝2π

gagl gal · a 同理，当加速系统竖直向下加速时，视重F＝m(g－a) 则g′＝g－a，故T2＝2π

l ga（2）当系统在水平方向加速时，相对系统静止时摆球的位置如图乙所示，视重F＝mg2a2.故等效重力加速度g′＝g2a2，所以T3＝2π

1ga22

【点评】等效重力加速度的大小等于摆球相对系统静止于平衡位置时，绳的拉力F(即视重)与质量m的比值.

【例题4】试确定下列几个摆球在平衡位置附近来回振动的周期．

（1）如图（甲）所示．悬挂在水平横梁上的双线摆球．摆线长为L，摆线与水平横梁夹角θ。 （2）如图（乙）所示．光滑斜面上的摆球．斜面倾角为θ，摆线长为L．

（3）如图（丙）所示．悬挂在升降机中的单摆，摆长为l，升降机以加速度a竖直向上做匀加速运动．

选题目的：本题主要考查等效摆长、等效重力加速度的实际运用情况．

【解析】（1）双线摆在垂直于纸面的竖直面里作简谐运动，等效摆长为Lsinθ，故振动周期为

T2lsin g（2）摆球在光滑的斜面上来回振动，回复力由小球重力沿斜面向下的分力mgsinθ决定，等效重力加速度为gsinθ，其振动周期为T2l

gsin（3）升降机竖直向上作匀加速运动时，摆球“超重”，回复力由m(g+a)决定，等效重力加速度为g+a，摆球振动周期为T2【点评】

l ga

3、g还由单摆所处的物理环境决定：

【例题1】如图所示，用绝缘丝线将一带正电小球放入平行板电容器中，则与它没放入电场中时比较小球摆动的周期〖 B 〗

A、T变大 B、T变小 C、T不变 D、无法确定

【解析】考虑到电源与电容器的连接方法以及小球带正电，小球所受电场力方向向

下，重力与电场力合力的方向就向下，相当与重力增大了。g就增大，与它没放入电场中时比较T就变小。 【点拨】明确公式T2

【例题2】如图所示，在光滑水平面上的O点系一长为l的绝缘细线，线的另一端系一质量为m、带电荷量为q的小球，当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态，现给小球一垂直于细线的初速度v0，使小球在水平面上开始运动，若v0很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为 π【解析】球离开平衡位置后，由于v0很小，故做简谐运动，回复力为电场力在运动方向的分量.由周期公式T＝2π第一次回到平衡位置的时间为【点评】

【例题3】如图所示，单摆的摆线是绝缘的，长为L，摆球带正电，单摆悬挂于O点，当它摆过竖直线OC

lmlqE知，g可等效为，代入公式得T＝2π，则gqEmmlT＝π

qE2ml . qEL中的g、L是等效重力加速度和等效摆长一切就解决。 g时，便进入或离开一个匀强磁场，磁场的方向垂直于单摆的摆动平面，在摆角小于5时，摆球沿着AB来

0

O 回摆动，下列说法正确的是（ ABC ）

B D A A、A点和B点处在同一个水平面上

B、在A点和B点，摆线的拉力大小是相同的 C、单摆的摆动周期T2L gD、单摆向右或向左摆过D点时，摆线的拉力一样大 【解析】 【点拨】

三、关于单摆的综合应用：

【例题1】将一个动力传感器连接到计算机上，我们就可以测量快速变化的力，某一小球用一条不可伸长的轻绳连接，绳的另端固定在悬点上，当小球在竖直面内来回摆动时，用动力传感器测得绳子对悬点的拉力随时间变化的曲线如图所示，取重力加速度g=10m/s，求绳子的最大偏角θ。

【解析】设小球的质量为m，绳子长度为L，绳子拉力的最小值和最大值各为F1和F2，小球摆至最高点F/N 时，绳子拉力最小，F1=mgcosθ （1） 小球摆至最低点时，绳子拉力最大：

θ 2.0 2

V2F2—mg=m （2）

L摆动过程小球机械能守恒：

0.5 0 t 12mvmghmgl(1cos） （3） 2由以上各式得：cosθ=

3F1=0.5 （4）

F22F1θ=600 （5） 【点评】

【释例3】将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将小摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，∠AOB=∠COB=θ ，θ小于10° 且是未知量。图乙表示由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t的变化的曲线，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息求：(g取l0m／s)

θθ 2

O 0.510 F/N 0.495 0 C B A 甲

0.1π 0.2π 0.3π 乙

t/s (1)单摆的振动周期和摆长； (2)摆球的质量；

(3)摆球运动过程中的最大速度。

【解析】（1）由图乙得小球在A、C之间做简谐运动的周期T由单摆振动周期公式T22s ① 5R gT2g得单摆摆线长l，代入数据，得L=0.4m ② 24（2）在最高点A，有Fminmgcos,式中Fmin0.495N ③

v2,式中Fmax0.510N ④ 在最低点B，有FmaxmgmR从A到B过程中，滑块机械能守恒，

12mvmgR(1cos) ⑤ 2由②③④⑤解得：cos0.99,则m0.05kg ⑥ 滑块机械能E12mvmgR(1cos)5104J ⑦ 2从以上分析可求出小滑块质量m=0.05kg，容器的半径R=0.1m，滑块运动的守恒量是机械能

E5104J

【点拨】

【例题3】 将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信息做出下列判断： ①t＝0.2s时刻摆球正经过最低点； ②t＝1．1s时摆球正处于最高点；

③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；

④摆球摆动的周期约是T＝0．6s。上述判断中正确的是（ ） ．．A．①③ B．②④ C．①② D．③④

【解析】注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大。

F/N 2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

t/s 因此①②正确。从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振

动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小。在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是T＝1.2s。因此答案③④错误。本题应选C。

【例题2】如图所示，光滑的弧形槽的半径为R（R远大于弧长MN），A为弧形槽的最低点。小球B放在A点正上方离A点的高度为h，小球C放在M点。同时释放两球，使两球正好在A点相碰，则h应为多大？

错解 :对B球，可视为单摆，延用单摆周期公式可求C球到达O点的时间：tCTC42R g对B球，它做自由落体运动，自h高度下落至O点tB2h g2h要求两球相碰，则应有tB=tC,即g22RR ，解得：h8g【解析】上述答案并没有完全错，分析过程中有一点没有考虑，即是振动的周期性，因为C球在圆形轨道上自C点释放后可以做往复的周期性运动，除了经过TC/4时间可能与A相碰外，经过t=TC/4+NtC(N=0,1,2……)的时间都可以与A相碰。正确答案是：

1h2(2n1)2R (n=1,2,3,4……)

8【点评】因忽视周期性引起的多解而出错。

【例题3】（2007全国理综II·16）如图所示，PQS是固定于竖直平面内的光滑的

1圆周轨道，圆心O在4O

P

S的正上方。在O、P两点各有一质量为m的有物块a和b，从同时刻开始，a自由下落，b沿圆弧下滑。以下说法正确的是（ A ） A.a比b先到达S，它们在S点的动量不相等 B.a与b同时到达S，它们在S点的动量不相等 C.a比b先到达S，它们在S点的动量相等 D.b比a先到达S，它们在S点的动量相等

S

Q 2RT12RR【解析】a做自由落体运动，ta＝,b做变速圆周运动，视为振动处理，tb＝＝2＝，

444gggta＜tb；根据机械能守恒得知，a、b到达S的速度大小相等，但方向不同，动量mv大小相等，但方向不同，故A选项正确。

【高考考点】动量、机械能守恒定律、单摆的周期等。

【易错点】容易忽视动量的矢量性，小角度的变速圆周运动可近似当作单摆处理。

【点评】机械能守恒定律是高考重点考查的知识，小角度的变速圆周运动可近似当作单摆处理，重视抓好基础知识复习。

【例题4】（2007北京理综·19）如图所示的单摆，摆球a向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球b发生碰撞，并粘在一起，且摆动平面不变。已知碰撞前a球摆动的最高点与最低点的高度差为h，摆动的周期为T，a球质量是b球质量的5倍，碰撞前a球在最低点的速度是b球速度的一半。则碰撞后（ D ）

O A、摆动的周期为5T 6h a b 6T B、摆动的周期为5C、摆球最高点与最低点的高度差为0.3h D、摆球最高点与最低点的高度差为0.25h 【解析】单摆周期T2L，与摆球质量和摆角无关，故A、B都错。 gmagh12maa………………………………（1） 2 maamb(2a)(mamb)………………（2） (mamb)gh1(mamb)2………………（3） 2 ma5mb，hˊ=0.25h。故D对。 【点评】

【例题5】如图，有一水平轨道AB，在B点处与半径R=160m的光滑弧形轨道BC相切，一质量为M=0.99kg的木块静止于B处，现有一颗质量为m=10g的子弹以υ0=500m/s的水平速度从左边射入木块且未穿出，如图所示，已知木块与该水平轨道的动摩擦因数μ=0.5，g=10m/s，试求子弹射入木块后，木块需经多长时间停止？（cos5=0.096）

【解析】子弹射入木块由动量守恒定律得子弹和木块的共同速度为:vmv0/(Mm)5m/s

子弹和木块在光滑弧形轨道BC上的运动可看作简谐运动，T2A

V0 0

2

O C

B

R8s，t1T/24s，子弹在水平轨道上作匀减速运动加速度： gaf/(mM)5m/s2，t11s，tt1t2(14)s。

【点评】注意子弹击中木块过程中有机械能损失，子弹冲上圆弧及返回过程中，为一变速圆周运动，运动时间无其它办法求解，只能利用简谐运动中的单摆模型；所以建立和应用物理模型在物理学习中是至关重要的。

【例题6】（1998全国卷·12）如图，两个单摆摆长相等，平衡时两摆球刚好接触.现在将摆球A在两摆球所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两个摆球各自做简谐运动，以mA和mB分别表示两球质量，则( CD )

A.如果mA>mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 B.如果mA>mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧 C.无论两摆球的质量关系如何，下一次碰撞都不可能发生在平衡位置右侧

D.无论两摆球的质量关系如何，下一次碰撞都不可能发生在平衡位置左侧

A B 0 A2 x B A1 【解析】由于碰撞后两摆球分开各自做简谐运动的周期相同，任作出B球的振动图象如图6所示，而A球碰撞后可能向右运动，也可能向左运动，因此A球的振动图象就有两种情况，如图6中A1和A2。从图中很容易看出无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞只能发生在平衡位置。即CD选项正确。

从上例可以看出， 利用振动图象分析问题非常简便。希望同学们养成利用图象分析问题的习惯。 从单摆的周期公式可以知道，当摆长相等时，周期就相等.两球碰后有两种可能：一是速度方向相反，这样两球各自到达最高点再返回平衡位置都是半个周期的时间.只能在平衡位置相碰；二是碰后速度向同一方向摆动，也都是分别摆到各自的最大高度处再返回平衡位置，时间还是半个周期，仍在平衡位置相碰. 【点评】单摆的周期与摆球质量无关。

【例题7】一个秒摆A的旁边，挂一个摆长为秒摆摆长1/4的B摆，中图所示，两摆球是相同的弹性小球，互相接触重心等高，今把B球拉开一个不大的角度后自由释放，它在4s内可与A球发生碰撞的次数是〖 D 〗

A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【解析】 【点评】

【例题8】摆长为l摆球质量为m的单摆，以摆角θ（θ<50）摆动，摆球从最大位移处摆到平衡位置的过程中，下列说法中正确的是（ C ） ．．

A、重力的冲量为mgl 2B、重力做的功为mglcosθ

C、合外力的冲量为m2gl(1cos)

D、合外力的冲量为零 【解析】 【点评】

【例题9】一单摆的振动图线如图示，设所在地重力加速度等于10 m/s，则该单在振动过程中指向平衡位置的最大加速度是 m/s 。

2

2

Lm【解析】T2 2gkk42421002 2mT0.16x/cm8 0 0.4π-80.8πt/sam【点评】

kA1000.080.5m/s2 m16【例题10】地震仪水平摆的周期)图所示是一种记录地震装置的水平摆，摆球固定在边长为l、质量可忽略不计的等边三角形的顶点A上，它的对边BC跟竖直线成不大的夹角α，摆球可绕固定轴BC摆动，求摆球微小摆动时的周期。

【解析】解法一:如图所示,过A点做BC的垂线,交BC于O点,OA即为等效摆长,为

llsin603l,摆球在平衡位置时,把摆球的重力G分解为与BC平行的分力G1和与2BC垂直的分力G2,G2=mgsinа其等效重力加速度g′=gsinа,故该摆做微小摆动时的周期为

T2l3l2. g2gsinl3lsin60, sin2sin解法二:若重力加速度不变时其等效摆长如图所示,l同理可得T2l3l2 g2gsin【点评】

备 ○讲 例题——题型对应训练

一、填空题：

1．把弹簧振子从平衡位置拉开5cm后自由释放，振子的振动频率为2HZ，则该弹簧振子的振幅为_______cm，若从释放振子开始计时，则在1s内振子通过的路程是_____cm，在1s末振子离开平衡位置的距离是______cm． 5 40 5

2．弹簧振子沿直线做简谐运动，先后以相同的动量P0通过a、b两点，历时0.1s，过b点后又经过0.1s反向再次通过b点，则弹簧振子的振动频率为_______HZ．2.5

3．一弹簧振子的振子被分别拉离平衡位置4cm和1cm后自由释放，使它们都做简谐运动，则前后两次的振幅之比为_______，周期之比为_______，最大回复力之比为______，通过同一位置（除平衡位置）时的加速度之比为______． 4:1 1:1 4:1 1:1

4．如图所示，质量为M的物块与直立于水平桌面上劲度系数为k的轻弹簧上端相连，弹簧的下端固定在桌面上，质量为m的小物块放在大物块呈水平的上表面，现用力竖直下压m、M后由静止释放，若释放后可使m、M在某处分离，则弹簧的总压缩量至少为____________， 2（M+m）g/K

5． 如图所示，弹簧振子在AAˊ间做简谐运动，测得AAˊ相距8 cm，则： ①4cm； ②cm ①振幅为______。

②振子完成4次全振动所经过的总路程为_______。

6． 弹簧振子做简谐运动，从振子第一次通过平衡位置时开始计时，到第15次通过平衡位置时停止计时，测得这段时间为14ｓ，则该弹簧振子的周期为_______，频率为_____. 2s；0.5HZ

7． 在2题的图中，弹簧振子在AA′间做简谐运动，已知频率为2HZ，若从振子到达A点时开始计时，1分钟内振子经过平衡位置O点______次，经过Aˊ点_______次。 240；120

8．弹簧振子做简谐运动的振幅为A，周期为T，若将振幅减小为原来的1/5，那么周期将是原来的______倍，若将振幅增大为原来的3倍，那么周期将是原来的______倍。 1；1

9．如图所示，在光滑水平面上弹簧振子以振幅A做简谐振动，在质量为M的滑块上面放一质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为K，试求： ①使砝码随滑块一起振动的回复力是______力；

②当砝码与滑块的滑动摩擦因数为μ时，要使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅_____。 静摩擦力；μg（M+m）/k

10．一个弹簧振子被分别拉离平衡位置3cm和6cm处放手，使它们都做简谐运动，则前后两次振幅之比为_______，周期之比为______，回复力的最大值之比为______.

11．弹簧振子做简谐运动，从振子第一次通过平衡位置时开始计时，到第15次通过平衡位置时停止计时，测得这段时间为14S，则该弹簧振子的周期为_______，频率为_____。 2s；0.5HZ

12．在2题的图中，弹簧振子在AA′间做简谐运动，已知频率为2HZ，若从振子到达A点时开始计时，1分钟内振子经过平衡位置O点______次，经过Aˊ点_______次。 240；120

13．一单摆摆长L，摆球质量为m，最大偏角为θ（<5°），在摆球从最大偏角位置摆到平衡位置的过程中，重力的冲量大小为______；合力的冲量大小为_______．

2mgl；m2gl(1cos)

14．已知月球表面的重力加速度是地球表面的1/6，在地球表面的一个弹簧振子和一个单摆的振动周期相等，若把它们放到月球表面，则它们振动的周期之比为_________．

1:6

15．甲、乙两个单摆，甲摆的摆长是乙摆摆长的4倍，乙摆摆球质量是甲摆摆球质量的2倍，则在甲摆完成5次全振动的时间内，乙摆完成全振动的次数为________．10

16．有一单摆，摆长为L，周期为T，若在悬点正下方距悬点距离为L/2处和3L/4L处的A、B两点分别固定一个光滑的圆钉，A钉在绳左侧，B钉在绳右侧，并使摆做振幅很小的振动，则周期将变为________T．

12 4

17．在相同的时间内，单摆A摆动了6次，单摆B摆动了8次，若两摆摆长相差14 cm，那么A摆摆长为________cm，B摆摆长为_________cm．32；18

19．两个摆长分别为L1和L2的单摆均作小振幅振动，它们的振动图像如图所示，那么它们的振动周期之比

T1∶T2=__ ___；摆长之比L1∶L2=_____．1∶3；1∶9

20．已知悬挂在地球表面附近的摆长为L的单摆，振动周期为T，地球半径为R，则地球的密度为______．

3L 2GRT21．在相同时间内，单摆A振动了6次，单摆B振动了8次，若两摆摆长相差14km，那么A摆的摆长是________，B摆的摆长是_______．0.32m；0.18m

22．将单摆摆球拉到悬点后由静止释放，到摆线伸直的时间为t1，将摆球拉开使摆线与竖直方向的夹角为3°，从静止放开摆球回到平衡位置的时间为t2，则t1∶t2＝______. 22∶π

23．如图为一双线摆，二摆线长均为L，悬点在同一水平面上，使摆球A在垂直于纸面的方向上振动，当A球从平衡位置通过的同时，小球B在A球的正上方由静止放开，小球A、B刚好正碰，则小球B距小球A的平衡位置的最小距离等于_________。π/2 Lsinα/2

2

二、选择题：

1、弹簧振子作简谐运动时，以下说法正确的是〖 ABCD 〗 A 、振子通过平衡位置时，回复力一定为零 B 、振子若做减速运动，加速度一定在增加

C 、振子向平衡位置运动时，加速度一定与速度方向一致

D、 在平衡位置两侧，振子速率相同的两个位置是相对平衡位置对称的

2、一弹簧振子周期为2.4s，当它从平衡位置向右运动了1.5s 时，其运动情况是〖 B 〗

A、 向右减速 B 、向左减速 C 、向右加速 D、 向左加速

6．弹簧振子从最大位移处向平衡位置运动的过程中，位移逐渐________，回复力逐渐________，加速度逐渐______，速度逐渐______．〖 A 〗

A．变小 变小 变小 变大 B．变小 变大 变小 变小 C．变小 变小 变大 变小 D．变大 变小 变小 变小

7．弹簧振子的质量是0.2kg，在水平方向做简谐运动，当它运动到平衡位置左侧X1=2cm的位置时，受到的回复力大小F1=4N，则当它运动到平衡位置右侧X2=4cm的位置时，它的加速度是〖 C 〗 A．20m/s，方向向左 B．20m/s，方向向右 C．40m/s，方向向左 D．40m/s，方向向右

8．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩X后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2X后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为〖 B 〗 A．1∶1 1∶1 B．1∶1 1∶2 C．1∶4 1∶4 D．1∶2 1∶2

9．关于弹簧振子所处的位置和通过的路程，下列说法正确的是〖 AC 〗 A．运动一个周期后位置一定不变，通过的路程一定是振幅的4倍 B．运动半个周期后位置一定不变，通过的路程一定是振幅的2倍 C．运动T/4周期后位置可能不变，路程不一定等于振幅 D．运动一段后若位置不变，通过的路程一定是4A

10．一个水平放置的弹簧振子，其周期为3.6s，当它从平衡位置开始向右运动1.9s时，其运动状态是〖 D 〗 A．向右加速运动 B．向右减速运动 C．向左加速运动 D．向左减速运动

11．弹簧振子做简谐运动时，从振子经过某一位置A开始计时，则〖 C 〗 A．当振子再次与零时刻速度相同时，所用的时间一定是一个周期 B．当振子再次经过A时，所用的时间一定是半个周期

C．当振子的加速度再次与零时刻的加速度相同时，一定又到达位置A D．一定还有另一个位置跟位置A有相同的位移

12．做简谐振动的弹簧振子，振子质量为m，最大速率为υ，则下列说法中正确的是〖 AD 〗 A．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零

B．从某时刻起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到mυ/2之间的某一个值 C．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力的冲量一定为零

D．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力的冲量大小可能是零到2mυ之间的某一个值

13．弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从振子通过O点时开始计时，振子第一次到达M点用了0.3s，又经过0.2s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是〖 AC 〗 A．1s/3 B．8s/15 C．1.4s D．1.6s

2

2

2

2

2

14．一个弹簧振子的振动周期为0.4 S，当振子从平衡位置开始向右运动，经1.26s时振子做的是〖 C 〗 A.振子正向右做加速运动 B.振子正向右做减速运动 C.振子正向左做加速运动 D.振子正向左做减速运动

15．一个弹簧振子，第一次用把弹簧压缩x后开始振动，第二次把弹簧压缩2x后开始振动，则两次振动的周期之比为〖 C 〗

A．1：2 B．2：1 C．1：1 D．1：4

16．已知某弹簧振子做简谐运动的振幅为4cm，下列说法正确的是〖 BC 〗 A.振子的最大位移是8cm

B.从任意时刻起，一个周期内振子通过的路程是16cm C.从任意时刻起，半个周期内振子通过的路程是8cm D.从任意时刻起，1/4周期内振子通过的路程是4cm

17．已知某弹簧振子做简谐运动的振幅为4cm，下列说法正确的是〖 BC 〗 A.振子的最大位移是8cm

B.从任意时刻起，一个周期内振子通过的路程是16cm C.从任意时刻起，半个周期内振子通过的路程是8cm D.从任意时刻起，1/4周期内振子通过的路程是4cm

18．把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动〖 B 〗 A．变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长 B．变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长 C．变快了，要使它恢复准确，应增加摆长 D．变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长

19．一个质量为m的空心球用一根长线把它悬挂起来，先让空腔中充满水，然后让水从底部的小孔慢慢地流出，如果让球摆动，那么在摆动过程中振动周期的变化情况是〖 C 〗

A．变大 B．变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大

22．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是〖 B 〗 A．摆球受重力，摆线的张力、回复力、向心力作用

B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大 C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大 D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向

23．如图所示，一摆长为L的单摆，在悬点的正下方的P处有一钉子，P与悬点相距L-L′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为〖 C 〗

A．2ll B．2 ggllll) D．2() gg2gC．(26．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减为原来的1/2，则单摆振动的〖 B 〗 A．频率不变，振幅不变 B．频率不变，振幅改变 C．频率改变，振幅改变 D．频率改变，振幅不变

28．一个做简谐运动的单摆从最大位移处向平衡位置运动过程中，下列说法中正确的是〖 ABD 〗 A．速率逐渐增大 B．重力势能逐渐减小 C．回复力逐渐增大 D．加速度逐渐减小 29．关于单摆，下列说法中正确的是〖 B 〗 A．摆球运动的回复力是摆线拉力与重力的合力 B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一步，加速度不变 C．摆球运动过程中加速度方向始终指向平衡位置 D．摆球经过平衡位置时，加速度为零

30．甲、乙两个摆长相同的单摆，甲放在地面上，乙放在距地面上h高处，当甲完成15次全振动的时间内，乙恰振动10次，设地球半径为R，同h∶R为〖 C 〗 A．3∶2 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶1

31．一个单摆在电梯内，单摆周期增大为原来的2倍，可见电梯在做变速运动，则加速度为〖 D 〗

A．方向向上，大小为g/2 B．方向向上，大小为3g/4 C．方向向下，大小为g/2 D．方向向下，大小为3g/4

32．一物体在某行星表面受到的万有引力大小是它在地球表面上受到的万有引力的1/4，在地球上走得很准的摆针搬到此行星上，此钟的分针走一圈所经历的实际时间是〖 A 〗 A．2h B．4h C．h/4 D．h/2 33．关于简谐振动，以下说法正确的是〖 BC 〗 A．振子在不同时刻通过同一位置时速度,动能必定相同 B．回复力方向总与位移方向相反

C．在平衡位置回复力为零，振子的惯性维持了振动 D．单摆在平衡位置时回复力为零，加速度也为零

35．质点做简谐振动，从质点经过某一位置时开始记时，下列说法正确的是〖 D 〗 A．当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期

B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期 C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期 D．当质点经过的路程为振幅的4倍时，经过的时间为一个周期 19．关于单摆，下列说法正确的是〖 A 〗

A．摆球受到的回复力的方向总是指向摆球的平衡位置 B．摆球受到的回复力是重力和绳子拉力的合力

C．在摆角很小的情况下，摆球所受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比 D．摆球经过平衡位置时，所受合力为零

20．如图：两个单摆A和B的摆长LA＞LB，将它们都拉离竖直方向一个很小的角度θ然后释放，那么这两个摆球到达最低点时的速度υ的大小和经历时间t的多少应满足〖 A 〗

A．υA＞υB，tA＞tB B．υA＞υB，tA＜tB C．υA＜υB，tA＜tB D．υA＜υB，tA＞tB

23．升降机中装着一只单摆，当升降机匀速运动时，单摆的周期为T，现升降机做变速运动，设加速度的绝对值小于g，则〖 BC 〗

A．升降机向上匀加速运动时，单摆的振动周期大于T

B．升降机向上匀加速运动时，单摆的振动周期小于T C．升降机向下匀加速运动时，单摆振动周期大于T D．升降机向下匀加速运动时，单摆振动周期小于T

24．下列单摆的周期相对于在地面上的固有周期变大的是〖 C 〗 A．加速向上的电梯中的单摆

B．在匀速水平方向前进的列车中的单摆 C．减速上升的电梯中的单摆 D．在匀速向上运动的电梯中的单摆

25．一个单摆在地面上的周期为T，当将此摆放到离地面某一高度的地方时，周期变为3T，则此高度为地球半径的〖 A 〗

A．2倍 B．3倍 C．8倍 D．9倍

26．一根绳长为L的单摆，在悬点正下方（L—L′）处的P处有一个钉子，如图所示，这个摆的周期是〖 D 〗

A．T＝２π

L B．T＝２πgL' gL'L'LLC．T＝２π（+） D．T＝π（+）

gggg27．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2，则单摆摆动的〖 B 〗

A．频率不变，振幅不变 B．频率不变，振幅改变 C．频率改变，振幅改变 D．频率改变，振幅不变

29．用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是〖 C 〗 A．不变 B．变大

C．先变大后变小再回到原值 D．先变小后变大再回到原值

30．一单摆的摆长为40cm，摆球在t＝0时刻正从平衡位置向右运动，若g取10m/s，则在1s时摆球的运动情况是〖 D 〗

A．正向左做减速运动，加速度正在增大 B．正向左做加速运动，加速度正在减小

2

C．正向右做减速运动，加速度正在增大 D．正向右做加速运动，加速度正在减小

31．一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是〖 C 〗

A．g甲＞g乙，将摆长适当增长 B．g甲＞g乙，将摆长适当缩短

C．g甲＜g乙，将摆长适当增长 D．g甲＜g乙，将摆长适当缩短

32．一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周期增大为原来的2倍，可见电梯在做加速运动，加速度a为〖A．方向向上，大小为g/2 B．方向向上，大小为3g/4

C．方向向下，大小为g/4 D．方向向下，大小为3/4g

6.在用单摆测定重力加速度的实验中，下列说法中正确的是（ ABD ）

A、对重力加速度测量值影响较大的周期的测量

B、应选用较长的细线做摆线，密度较大的金属小球做摆球 C、实验发现测量值偏小，可能是由于摆动次数多数一次 D、实验中如果发现测量周期等于秒摆周期，则摆长约为1m

7.关于单摆，下列说法正确的是（ BCD ）

A、单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线对摆球拉力的合力 B、单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力 C、在最大位移处，重力势能最大，摆球动能为零 D、在平衡位置时，摆线弹力最大，回复力为零

〗 D

三、计算题：

1．如图所示，用两根长都为l的细线悬挂一个小球A，两悬挂点等高，线与水平天花板间的夹角都是α，使球A在垂直于纸面的平面内做小幅度的摆动，当A经过平衡位置的瞬间，另一小球B从A球的正上方自由下落，若B球恰能击中A球，求B球开始下落时离A球振动平衡位置的高度。

122nlsin（n=1、2、3…） 2

2．在相同的时间内，甲摆作了n1=10次全振动，乙摆作了n2=6次全振动，两摆的摆长差△l=16cm，求甲、乙两摆的摆长和分别是多少？9cm；25cm

3．如图所示，在O点悬有一细绳，细绳穿过小球B的通过直径的小孔，使B球能顺着绳子滑下来．在O点正下方有一半径为R的光滑圆弧形轨道，圆心位置恰好在O点，在弧形轨道上接近O′处，另一小球A，今A、B两球同时开始无初速释放，假如A球第一次到达平衡位置时正好能够和B球碰上，则B球与绳之间摩擦力与B球重力大小之比是多少？（取π=10，g=10m/s）1∶5

2

2

5、一平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于平台上随平台运动，振动平台处于什么位置时，物体对台面的压力最大？（ C ）

A、当振动平台运动到最高点时 B、当振动平台向下运动过振动中心时 C、当振动平台运动到最低点时 D、当振动平台向上运动过振动中心时