函数的图像是函数知识的重要组成部分,在研究函数的性质和解决与函数有关的问题起着非常重要的作用。三角函数图像的问题大致有四种类型:一是根据函数的解析式画或找函数的图像,二是根据函数的图像确定函数的解析式,三是函数图像的变换,四是函数图像的应用。本文就这四种类型的三角函数图像的问题提出解决策略,以供参考。一、给函数的解析式画出或找出函数的图像例1画出函数y=Zin{2s+粤{的图像。x、J尹分析解析此函数是一个周期函数,要画出了(:)图像,应该先画出长度为一个周期的图列表:X叮6像,再扩充就可以。如何画出长度为一个周期的图像?常用“五点法”。二l22匹37叮叮l225叮叮6x十二2二30匹2下3叮叮22叮叮二Zsin{、+粤{{、J/020一20描点并画出图像:\\由于此函数的最小正周期为二,将此一个周期的图像向左向右扩充,即可得到函数,=251。{、+粤}的图像。\\Jj点评函数图像的画法常用描点法,大致分为三个步骤:列表、描点、连线。列表取值时一定要注意取值要具有代表性、典型性,也就是说描出的点一定要是关键的点,如图像与两坐标轴的交点、最高点、最低点、断点等。特别地,形如y=Asin(。+沪)的函数用五点法画图像,列表取值时一定要使。+*取到。、于2、二妙、22、二。例2已知a是实数,则函鲜(x)=l+asin二的图像不可能是(_少二门I八\\}一/}.丁一鱿一1_`_]分析因为a是不确定的实数,所以要全面考虑a所有可能取值,如a或为O、或大于l、或小于l、或为正数、或为负数等情况下函数的图像。*解析a”、,=0时_,:,此,._~函数的图像为C~~~*、:_。“`0时__._.,此,_~函数为周期函数~、,~*一、;_其,、周期T~。,=_愉27T,若>la`',则T<2二,因而D不符合要求,它的振幅大于1,但周期反而大于了2二。故选D。点评此题是一个考查三角函数图像的问题,但考查的知识点因含有参数而丰富。若已知函数解析式,选择函数图像时可以通过直接法:先做出函数的图像,再与给出的图像进行对照选择。也可以通过检验函数图像经过的一些特殊点或综合考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质进行排除和选择。二、给函数的图像确定函数的解析式例3乙知山铆(x)=跳_,_.__`(n,血+甲)的图像如图片下、_._._.___,_._则月几万}二_77T\\、1乙分析妥想得牟叨兀不~}的谊_,_,___._/7下、,一、t、_、~二__、.,,_,、__、,一,_,、.,一入1乙,就应议无把图到(x)=2sln(姚+印)日9解价式甲“、甲的沮确定出来,再代人求值。一麟机、,_L~田团琢~翔、_~困~狱敢。小,止一二二)司朋。_1二—2z57卜一厂一一了T下}{二—2叮二—27T,以田二j;3、44`3田又x二二+二.一,口、,3叮、~、46=丝时.八:)=212一,即2、i。(丝+\\4,2!二2,日J4寻沪二乙凡下一—4又人任L).所以、!号)=251·(,·鲁一晋!=。。点评根据函数图像确定函数的解析式,关键是要善于从图像上观察到一些有用的数据和图像的一些特征,如图像经过哪些点,最高点、最低点坐标是什么,对称性、单调性、奇偶性、周期性怎样等。确定函数y=a8in(`+沪)的解析式的关键是A、。、甲的确定。其中A可由图像的最高点或最低点确定;。可通过函数的周期T=丝来确定;,可以用代入法确定,即把一个已知点(最好代人图像的最高点或最低点的坐标)代入函数解析式求解而得。三、函数图像的变换例4将函数,=sinZx的图像向左平移卫个单位,再向上平移1个单位,所得图像的函4数解析式是()。A;=一Z·x分析B·,=2一、C·,=,+·`·(2x+晋)D·,=25`·、根据函数图像平移变换的规律,考虑向左、向上平移后,解析式应该做怎样的变化,再与选项对照可得答案。解析将函数,=sinZx的图像向左平移二个单位,得到函数,=sinZ一({二+二).即,=-一二'一4”'--一“4)'i。s{入+粤)=csZx,再,所得图像对应的函数解析式为,=1+cs、二\\2/o-的图像-一””一向上平移1个单位`'一”一”一'`”'`一'一`一`'一一`一-一`'“'一、“了一'o---一ZeosZx,故选B。点评本题主要考查三角函数图像的平移变换,也考查了诱导公式及二倍角公式在化简函数解析式中的应用。在高中阶段,函数图像的变换通常有三种:平移变换、对称变换、伸缩变换。其中平移变换又是常见的一种变换,其变换方法:函数y=(xf)图像向左平移沪(华>0)个单位后,图像对应的解析式为y=f(x+叫;函数y:f(x)图像向右平移切个单位后,图像对应的解析式为y:f(x一甲);函数y=(二)图像向上平移。f(。>0)个单位后,图像对应的解析式为y=(二)+fc;函数y:f(x)图像向下平移。个单位后,图像对应的解析式为y=f(二)一。。一般的,函娜(二)=asin(。+沪)(其中a>0,。>o)的图像,可以邮(x)=sinx的图像作以下变换而得到:先把正弦曲线上所有的点向左(当沪>0时)或向右(当甲<0时)平行移动l例个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短(当。>1时)或伸长(当。<。<1时)到原来的生倍(纵坐口标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
