带电粒子在三角形磁场中的运动例析(精品)

河南省信阳高级中学 陈庆威 2017.12.21

带电粒子在有界磁场中运动，该类题型主要考查带电粒子磁场中的运动规律。带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，从而得出半径公式Rmv2m，周期公式T，运动时间公式tT，

2BqBq知道粒子在磁场中运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，并结合几何知识分析解题。

题型一：等腰直角三角形

例题1：如图所示，等腰直角三角形abc区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.三个相同的带电粒子从b点沿bc方向分别以不同的速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、 t2、 t3，且t1∶t2∶t3＝3∶3∶1.直角边bc的长度为L，不计粒子的重力，下列说法正确的是( ) A. 三个速度的大小关系可能是v1＞v2＞v3 B. 三个速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3 C. 粒子的比荷D. 粒子的比荷【答案】BCD

【解析】因为三个粒子在磁场中运动的时间之比为t1：t2：t3=3：3：1，显然它们在磁场中的偏转角度之比为3：3：1．即粒子1、2打在ab上，而粒子3打在ac上，轨迹大致如图所示．粒子轨迹如图所示：

1

vq3 m2BLq m2Bt1速度为v1 、v2 的粒子从ab边穿出，则偏转角为90°，但两者的速度大小关系不定，但其半径一定比速度为v3的粒子半径小，由半径公式： rmv，qB可知v3一定大于v1和v2，故A错误，B正确；对粒子3，其偏转角为，由几何关系得到半径r3=2L，

12m则飞行时间为： t6T，从运动学公式

212qBvq12r3L，联立可得： 3，故C正确；由于速m2BL12v33v36可得： t度为v1的粒子偏转90°，则t1D正确。所以BCD正确，A错误。

12mmq，则有： ，故

4qB2qBm2Bt1题型二：含30角的直角三角形

例题2：如图，xOy坐标轴上有A（L,0）C（0, 3L）两点．在△OCA区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场B．一群质量为m、电荷量为q（q>0）的同种粒子（粒子间相互作用不计），同一时刻从OC边以平行于x轴方向射入磁场．粒子射入磁场前间距均匀（极小）、速度相同．从OC边射出的粒子占粒子总数75%．不计重力．下列说法正确的是( ) A. 粒子在磁场中按顺时针方向运动 B. 粒子在磁场中运动时间最长为

mqB0

2

C. 粒子速度大小为

3qBL 12mD. 粒子在磁场中运动时间最短为【答案】BC

m 6qB【解析】试题分析：粒子运动方向运用左手定则分析；根据周期公式

T2m结合转过的最大和最小圆心角，即可求出粒子运动的最长和qB最短时间；根据题中所给的从OC边射出粒子百分比，利用几何关系求出粒子半径，再与半径公式联立即可求出粒子速度．

用左手定则可以判断粒子在磁场中按逆时针方向运动，A错误；粒子在磁场中运动的周期为T，所以运动时间最长为t2m，轨迹对应的圆心角最大值为qBmT，故B正确；设从OC边P点2qB入射的粒子恰能从OC边射出，半径为r，其轨迹恰好与AC相切，因为C点坐标为（0，3L），所以OC3L，因为粒子从OC边均匀射入，75%粒子能从OC边射出，故OC边75%长度射入的粒子能从OC射出，即：从OP段入射的粒子均能从OC边射出，CP段入射粒子不能从OC边射出，可知CPOC143L，根据几何关系可得4r33，解得粒子轨迹半径CPrLrL…①，根据洛伦兹力

sin30412v2提供向心力可得： qvBm…②，联立①②式可得粒子速度大小

rv

3qBL，C正确；从C点入射的粒子在磁场中运动时间最短为0，12m3

故D错误；

题型三：等边三角形

例题3：如图所示，边长为L的正三角形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v从O点沿OB方向射入磁场，并从AB的中点C离开磁场，则磁场的磁感应强度的大小为（） A. C.23mv3mv B. 3qL3qL3mv3mvD. 2qLqL【答案】A

【解析】如图所示O'为粒子在磁场做匀速圆周运动的圆心，过C点做弧线的切线，交BO于E点，因为C与O关于O'E对称，所以∠OEC=120°，即OO'C=60°根据几何知识可得OC3过O'点做CO的垂线，交点为D，L，21COCD32故DO'C=30°，所以rL，

1sin3022根据半径公式rmv23mv可得B，A正确。 Bq3qL拓展训练1：如图所示，边长为L的等边三角形abc为两个匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，三角形外的磁场范围足够大，方向垂直纸面向里，磁感应强度也为B,把一粒子源放在顶点a处，它将沿∠a的角平分线发射质量为m、

4

电荷量为q、初速度为v0qBL的带负电粒子（粒子重力不计）。在m下列说法中正确的是( )

A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是L/2 B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是

3L/2

C．带电粒子第一次返回a点所用的时间是7πm/(3qB) D．带电粒子第二次到达a点所用的时间是6πm/(qB) 【答案】CD

【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是rmv0qBL，AB

错；带电粒子在电场中的部分运动轨迹如图所示，做匀速圆周运动的周期为T2m，则带电粒子第一次到达c点所用的时间是t11T，带

qB6电粒子第一次返回a点所用的时间是t21T5T1T7T，C对。当粒

6666子第二次到a点时刚好相当于转了三个完整的圆。如图。

拓展训练2：在纸面内固定一边长为L的等边三角形框架abc，荧光

5

屏ef平行ac边放置， ef与ac的距离为

1L，整个装置处在垂直纸10面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。质量为m、电荷量为+q的粒子从a点在纸面内沿垂直ab边的方向射出，如图所示，最终经c点进入acfe区域。若粒子与三角形框架ab、bc边碰撞，则在碰撞过程中粒子不损失能量且电荷量保持不变，并要求碰撞时速度方向与被碰边垂直，不计粒子的重力。求：

(1)若粒子与ab边发生多次碰撞，相邻两次碰撞的时间间隔； (2)粒子做圆周运动的半径；

(3)粒子从a点到第一次通过c点过程中通过的路程；

(4)若粒子能够打到荧光屏ef上，粒子从a点发射时的速度大小。 【答案】(1)t=

πmqB

(2) R=

qBLm

L2n+1

(n=0,1,2,3…..)(3)sac=

nL(6n+5)3(2n+1)

(n=0,1,2,3…..)（4）v=

T2

v2R

2πRv

【解析】（1）相邻两次碰撞时间间隔：t=，由qvB=m，T=得t=

πmqB

，解

（2）由题意可知：L=(2n+1)R，(n=1.2.3.4....)，

解得R=

L(2n+1)

，(n=1.2.3.4....)

（3）粒子做圆周运动过程中一个周期通过的路程

2πL

s0=2πR=，(n=1.2.3.4....)

2n+1

6

粒子从a点射出后，第一次通过c点过程中通过的路程：

sac=(π+)s0，(n=1.2.3.4....)，

65

解得：sac=

πL(6n+5)2(2n+1)

，(n=1.2.3.4....)

（4）如图所示，根据题意可知θ=30°， 假设粒子恰好与ef相切，满足Rcos30°=R−

110

L，得R=

L

2+ 3L5

<𝐿

9−5 32

代入R=

(2n+1)

，(n=1.2.3.4....)，可得n=

=0.17

若粒子能够打到荧光屏ef上，只有n=0满足条件 此时粒子从a点发射时的速度为v，由R=L=

mvqB

，解得v=

qBLm

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