2016年天津卷(理科数学)含答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（天津卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅰ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

•如果事件A，B互斥，那么

•如果事件A，B相互，那么P(A

B)P(A)P(B).

P(AB)P(A)P(B).

•圆柱的体积公式VSh.•圆锥的体积公式V1Sh. 3其中S表示圆柱的底面面积， 其中S表示圆锥的底面面积， h表示圆柱的高.h表示圆锥的高.

一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1,2,3,4，Byy3x2,xA，则AB【D】 （1）已知集合A1 （A）

（B）4

 1

1,3 （C）

1,4 （D）xy2≥ 0,（2）设变量x，y满足约束条件2x3y6≥ 0,则目标函数z2x5y的最小值为【B】

3x2y9≤ 0. （A）4 （B）6

（C）10

（D）17

（3）在ABC中，若AB13，BC3，C120，

则AC【A】

（A）1

（B）2

（C）3 （D）4

（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为【B】

（A）2 （B）4 （C）6

（D）8

（5）设an是首项为正数的等比数列，公比为q则

“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n＜0”的【C】

（A）充要条件

历年高考真题 2

（B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

x2y221（b＞0）（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲4b线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为【D】

x23y2x24y2x2y2x2y21 （B）1 （C）21（D）1 （A）444344412（7）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为【B】

（A）51（B） 88 （C）

1 4 （D）

11 8x2(4a3)x3a,x＜0（8）已知函数f(x)（a＞0，且a1）在R上单调递减，且关

log(x1)1,x≥0a于x的方程f(x)2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是【C】

（A）(0,]

23

（B）[,]

2334（C）[,]{

12333} 4

（D）[,){

12333} 4第Ⅰ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共12小题, 共110分.

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.

3

（9）已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则

a的值为 2 . b7（10）(x)的展开式中x的系数为 -56 .（用数字作答）

21x8（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积 为 2 m.

3

（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE2AE2，BDED，则线段CE的长

23为 3 .

（13）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递增.若实数a满足

f(2a1)＞f(2)，

13(,)则a的取值范围是 22 .

x2pt2,（14）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦

y2pt点F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为

7B.设C(p,0)，AF与BC相交于点E.若CF2AF，

2且ACE的面积为32，则p的值为

6 .

历年高考真题 4

三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

已知函数f(x)4tanxsin(x)cos(x)3.

23（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期；

（Ⅰ）讨论f(x)在区间[,]上的单调性. 44解： 解：fx的定义域为xxk,kZ. 2fx4tanxcosxcosx34sinxcosx3

33132=4sinxcosxsinx32sinxcosx23sinx3 22=sin2x31-cos2x3sin2x3cos2x=2sin2x所以, fx的最小正周期T3.

2. 2解：令z2x由,函数y2sinz的单调递增区间是2k,2k,kZ.

23222k2x322k,得12kx5k,kZ. 12 设A5,,Bxkxk,kZ，易知AB,.

121244412所以, 当x递减.

,时,fx 在区间,上单调递增, 在区间，上单调44124412（16）（本小题满分13分）

5

某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分 别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（Ⅰ）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； （Ⅰ）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列 和数学期望. 解：()由已知，有

112C3C4C41PA, 2C103所以，事件A发生的概率为

1. 3()随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

2C32C32C4PX02C101111C3C3C3C4PX12C1011C3C4PX22C104， 157， 154. 15所以，随机变量X分布列为

X P 随机变量X的数学期望

0 4 151 7 152 4 15EX0474121. 151515（17）（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为

历年高考真题 6

矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中 点，ABBE2.

（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF； （Ⅰ）求二面角OEFC的正弦值； （Ⅰ）设H为线段AF上的点，且AH求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

2HF， 3

解：依题意，OF平面ABCD，如图，以O为点，分别以AD,BA,OF的方向为x轴，y轴、

z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，

A1,1,0,B(1,1,0),C(1,1,0),D(11，,0),E(1,1,2),F(0,0,2),G(1,0,0).

历年高考真题 7

（I）证明：依题意，AD(2,0,0),AF1,1,2.设n1x,y,z为平面ADF的法向量，

2x0n1AD0则，即 .不妨设z1，可得n10,2,1，又EG0,1,2，可

xy2z0n1AF0得EGn10，又因为直线EG平面ADF，所以EG//平面ADF.

（II）解：易证，OA1,1,0为平面OEF的一个法向量.依题意，

n2EF0，即EF1,1,0,CF1,1,2.设n2x,y,z为平面CEF的法向量，则n2CF0xy0 .不妨设x1，可得n21,1,1. xy2z0因此有cosOA,n2OAn2OAn23. 336，于是sinOA,n2，所以，二面角

33OEFC的正弦值为（III）解：由AH22HF，得AHAF.因为AF1,1,2，所以35AH2224334284AF,,，进而有H,,，从而BH,,，因此5555555555cosBH,n2BHn2BHn277.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.

2121（18）（本小题满分13分）

已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的nN，bn是an和an1的等比

中项.

22（Ⅰ）设cnbn1bn，nN，求证：数列cn是等差数列；

（Ⅰ）设a1d，Tn(1)b，nN，求证k2k2nk111＜2. 2dk1Tkn 8

222解：（I）证明：由题意得bnanan1，有cnbn1bnan1an2anan12dan1，因此

cn1cn2dan2an12d2，所以cn是等差数列.

（II）证明：Tnb1b2b3b4b2n1b2n

2222222da2a4na2n2dna2a2n2d2nn1

211n11n11111所以. 22122T2dkk12dkk12dn12dk1kk1k1（19）（本小题满分14分）

x2y2113e1(a＞3)的右焦点为F，右顶点为A.已知设椭圆2， a3OFOAFA其中O为原点，e为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅰ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOA≤MAO，求直线l的斜率的取值范 围.

（1）解：设F(c,0)，由

113c113c222，即，可得ac3c，|OF||OA||FA|caa(ac)22x2y21. 又acb3，所以c1，因此a4，所以椭圆的方程为43222（2）（Ⅱ）解：设直线l的斜率为k（k0），则直线l的方程为yk(x2).设B(xB,yB)，

x2y212222由方程组4，消去y，整理得(4k3)x16kx16k120. 3yk(x2)12k8k268k26yx解得x2，或x，由题意得，从而. BB4k234k234k2394k212k,2).由BFHF，由（Ⅰ）知，F(1,0)，设H(0,yH)，有FH(1,yH)，BF(24k34k3 9

94k294k212kyH0，解得yH得BFHF0，所以.因此直线MH的方程为

12k4k234k23194k2yx.

k12k194k220k29yx设M(xM,yM)，由方程组.在MAO中，k12k消去y，解得xM212(k1)yk(x2)222MOAMAO|MA||MO|，即(xM2)2yMxMyM，化简得xM1，即

6620k29kk，解得或. 124412(k1)所以，直线l的斜率的取值范围为(,（20）（本小题满分14分）

设函数f(x)(x1)axb，xR，其中a，bR. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅰ）若f(x)存在极值点x0，且f(x1)f(x0)，其中x1x0，求证：x12x03； （Ⅰ）设a＞0，函数g(x)f(x)，求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于．．．366][,). 4414

（Ⅰ）解：由f(x)(x1)axb，可得f'(x)3(x1)a. 下面分两种情况讨论：

（1）当a0时，有f'(x)3(x1)a0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(,). （2）当a0时，令f'(x)0，解得x12323a3a，或x1. 33当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

10

x (,1＋ 3a3a3a3a3a3a) 1,1) 1,) (1 (13333330 极大值 － 单调递减 0 极小值 ＋ 单调递增 f'(x) f(x) 单调递增 所以f(x)的单调递减区间为(13a3a3a,1)，单调递增区间为(,1)，333(13a,). 3（Ⅰ）证明：因为f(x)存在极值点，所以由（Ⅰ）知a0，且x01，由题意，得

f'(x0)3(x01)2a0，即(x01)2a， 3进而f(x0)(x01)ax0b32aax0b. 338a(1x0)2ax03ab 3又f(32x0)(22x0)a(32x0)b32aax0bf(x0)，且32x0x0，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足

33f(x1)f(x0)，且x1x0，因此x132x0，所以x12x03；

（Ⅰ）证明：设g(x)在区间[0,2]上的最大值为M，max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况同理： （1）当a3时，13a3a021，由（Ⅰ）知，f(x)在区间[0,2]上单调递减，所33以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(2),f(0)]，因此

Mmax{|f(2)|,|f(0)|}max{|12ab|,|1b|} max{|a1(ab)|,|a1(ab)|}

历年高考真题 11

a1(ab),ab0，所以Ma1|ab|2. a1(ab),ab0（2）当

23a3a3a23a301121a3时，1，由（Ⅰ）和（Ⅰ）43333知，f(0)f(123a3)f(13a3)，f(2)f(123a3a3)f(13)，

所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(13a33),f(1a3)]，因此 Mmax{|f(13a3)|,|f(13a3)|}max{|2a93aab|,|2a93aab|} max{|2a93a(ab)|,|2a93a(ab)|} 2a293a|ab|33194344. （3）当0a33a4时，01313a32，由（Ⅰ）和（Ⅰ）知， f(0)f(123a3a23a33)f(13)，f(2)f(13)f(1a3)， 所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(0),f(2)]，因此

Mmax{|f(0)|,|f(2)|}max{|1b|,|12ab|} max{|1a(ab)|,|1a(ab)|}

1a|ab|14. 综上所述，当a0时，g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于14.

12