2015全国高考数学卷一理科

绝密★ 启封并使用完毕前 试题类型：A

2015年高考课标全国卷I

理科数学 第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分. （1）设复数z满足

1z，则z=（ ） 1z（A）1 （B）2 （C）3 （D）2 （2） sin20ocos10ocos160osin10o （A）3311 （B） （C） （D） 2222（3）设命题p:nN,n22n,则p为≥

(A) nN,n22n (B) nN,n22n (C) nN,n22n (D) nN,n22n

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概

率为0.6，且各次投篮是否投中相互，则该同学通过测试的概率为 (A) 0.8 (B) 0.432 (C) 0.36 (D) 0.312

x2y0)是双曲线C:y21 上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若 （5）已知M(x0，2MF1MF20，则y0的取值范围是 (A)（333322222323,,） (B)（） (C) (，) (D) (，) 33663333(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有

如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 (7)设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则

1414(A) ADABAC (B) ADABAC

3333专心 专注 分享 1

高考数学试题汇编系列

(C) AD4141ABAC (D) ADABAC 3333(8)函数fxcosx的部分图像如图所示，则fx的单调递减区间为

1313(A)( k,k)，kZ (B)( 2k,2k)，kZ

44441313(C)( k,k)，kZ (D)( 2k,2k)，kZ

4444

y开始

1

输入t

5x O1441

S1,n0,m 2 2r

SSm

rm m,nn1 2

正视图 是 St r

否 输出n 2r

结束

俯视图

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n

(A) 5 (B ) 6 (C) 7 (D) 8 （10）(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为

(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 （12）设函数fxex(2x1)ax＋a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则

a的取值范围是( )

专心 专注 分享 2

高考数学试题汇编系列

(A) [

333333,1) (B) [,) (C) [,) (D) [,1) 2e2e42e42e第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

(13)若函数fxxlnx(xax2)为偶函数，则a

x2y21的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 . (14)一个圆经过椭圆1x10y(15)若x，y满足约束条件xy0，则的最大值为 .

xxy40(16)在平面四边形ABCD中，A＝B＝C＝75，BC2，则AB的取值范围是 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

Sn为数列an的前n项和,已知an0,an22an4Sn3. (Ⅰ)求an的通项公式： (Ⅱ)设bn1 ，求数列bn的前n项和. anan1

(18) (本小题满分12分)

如图，四边形ABCD为菱形，ABC＝120，E,F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面

ABCD，DF平面ABCD，BE＝2DF，AEEC. (Ⅰ)证明：平面AEC平面AFC；

(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

专心 专注 分享 3

E

F

A

B

D

C

高考数学试题汇编系列

(19) (本小题满分12分)

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量

yii1,2,,8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

620600年销售量/t◆◆◆◆◆◆◆◆5805605405205004803436384042444850525456年宣传费（千元）y

2ix 46.6 w 6.8 (xx)ii182 (ww)i18 (xx)(yy) (ww)(yy) iiiii1i188563 2.8 1.6 1469 108.8 18表中wixi,wwi

8i1(Ⅰ)根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的

回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z0.2yx.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

(i)年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据u1,v1,u2,v2,估计分别为：

专心 专注 分享 4

,un,vn,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘

高考数学试题汇编系列

β(uu)(vv)iii1n(uu)ii1n,vβu.

2

(20) (本小题满分12分)

x2 在直角坐标系xOy中，曲线C:y与直线ykxa(a0)交于M,N两点.

4(Ⅰ)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM＝OPN？说明理由.

(21) (本小题满分12分)

1 已知函数fxx3ax,g(x)lnx.

4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线yfx的切线；

(Ⅱ)用minm,n表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x0)，讨论h(x)零点 的个数.

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.

(22) (本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E. (Ⅰ)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线； (Ⅱ)若OA3CE，求ACB的大小.

(23) (本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

CEDABO(x1)2(y2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的在直角坐标系xOy中.直线C1:x2，圆C2：正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程； (Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为

(24) (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

专心 专注 分享 5

4R，设C2与C3的交点为M,N，求C2MN的面积.